Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgvr1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgvr1cl 20416
 Description: The variables in a polynomial algebra are contained in every subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgvr1.x 𝑋 = (var1𝑅)
subrgvr1.r (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgvr1.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgvr1cl.u 𝑈 = (Poly1𝐻)
subrgvr1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgvr1cl (𝜑𝑋𝐵)

Proof of Theorem subrgvr1cl
StepHypRef Expression
1 subrgvr1.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
21vr1val 20346 . 2 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3 eqid 2824 . . . 4 (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
4 1on 8092 . . . . 5 1o ∈ On
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1o ∈ On)
6 subrgvr1.r . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
7 subrgvr1.h . . . 4 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
8 eqid 2824 . . . 4 (1o mPoly 𝐻) = (1o mPoly 𝐻)
9 subrgvr1cl.u . . . . 5 𝑈 = (Poly1𝐻)
10 eqid 2824 . . . . 5 (PwSer1𝐻) = (PwSer1𝐻)
11 subrgvr1cl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑈)
129, 10, 11ply1bas 20349 . . . 4 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝐻))
133, 5, 6, 7, 8, 12subrgmvrf 20229 . . 3 (𝜑 → (1o mVar 𝑅):1o𝐵)
14 0lt1o 8112 . . 3 ∅ ∈ 1o
15 ffvelrn 6830 . . 3 (((1o mVar 𝑅):1o𝐵 ∧ ∅ ∈ 1o) → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
1613, 14, 15sylancl 589 . 2 (𝜑 → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
172, 16eqeltrid 2920 1 (𝜑𝑋𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∅c0 4274  Oncon0 6172  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  1oc1o 8078  Basecbs 16472   ↾s cress 16473  SubRingcsubrg 19517   mVar cmvr 20118   mPoly cmpl 20119  PwSer1cps1 20329  var1cv1 20330  Poly1cpl1 20331 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-fz 12884  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-tset 16573  df-ple 16574  df-0g 16704  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18095  df-subg 18265  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-subrg 19519  df-psr 20122  df-mvr 20123  df-mpl 20124  df-opsr 20126  df-psr1 20334  df-vr1 20335  df-ply1 20336 This theorem is referenced by:  evls1var  20487  plypf1  24798
 Copyright terms: Public domain W3C validator