Theorem subrgvr1cl 21433

Description: The variables in a polynomial algebra are contained in every subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgvr1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
subrgvr1.r	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgvr1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrgvr1cl.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
subrgvr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subrgvr1cl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem subrgvr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgvr1.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 21363	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
4		1on 8309	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
6		subrgvr1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
7		subrgvr1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝐻) = (1o mPoly 𝐻)
9		subrgvr1cl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
10		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (PwSer1‘𝐻) = (PwSer1‘𝐻)
11		subrgvr1cl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
12	9, 10, 11	ply1bas 21366	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝐻))
13	3, 5, 6, 7, 8, 12	subrgmvrf 21235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1o mVar 𝑅):1o⟶𝐵)
14		0lt1o 8334	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 1o
15		ffvelrn 6959	. . 3 ⊢ (((1o mVar 𝑅):1o⟶𝐵 ∧ ∅ ∈ 1o) → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
16	13, 14, 15	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
17	2, 16	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∅c0 4256  Oncon0 6266  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1_oc1o 8290  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  SubRingcsubrg 20020   mVar cmvr 21108   mPoly cmpl 21109  PwSer₁cps1 21346  var₁cv1 21347  Poly₁cpl1 21348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-ple 16982  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-vr1 21352  df-ply1 21353

This theorem is referenced by:  evls1var  21504  plypf1  25373