Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem8 33009
Description: Lemma for dnibnd 33015. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
dnibndlem8.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
dnibndlem8 (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem8
StepHypRef Expression
1 dnibndlem8.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 halfre 11573 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
41, 3jca 509 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
5 simpl 476 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
62a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
75, 6readdcld 10387 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
84, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9 reflcl 12893 . . . . 5 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
111, 10resubcld 10783 . . 3 (𝜑 → (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℝ)
121dnicld1 32996 . . 3 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
1311leabsd 14531 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))))
141recnd 10386 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1510recnd 10386 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
1614, 15abssubd 14570 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
1713, 16breqtrd 4900 . . 3 (𝜑 → (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
1811, 12, 3, 17lesub2dd 10970 . 2 (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ ((1 / 2) − (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))))
193recnd 10386 . . . 4 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
2019, 14, 15subsub3d 10744 . . 3 (𝜑 → ((1 / 2) − (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))) = (((1 / 2) + (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 𝐴))
2119, 15addcomd 10558 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 2) + (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
2221oveq1d 6921 . . 3 (𝜑 → (((1 / 2) + (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 𝐴) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
2320, 22eqtrd 2862 . 2 (𝜑 → ((1 / 2) − (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
2418, 23breqtrd 4900 1 (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wcel 2166   class class class wbr 4874  cfv 6124  (class class class)co 6906  cr 10252  1c1 10254   + caddc 10256  cle 10393  cmin 10586   / cdiv 11010  2c2 11407  cfl 12887  abscabs 14352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-sup 8618  df-inf 8619  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-fl 12889  df-seq 13097  df-exp 13156  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354
This theorem is referenced by:  dnibndlem9  33010
  Copyright terms: Public domain W3C validator