Theorem dnibndlem8 36997

Description: Lemma for dnibnd 37003. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dnibndlem8.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem8	⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem8.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		halfre 12457	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
4	1, 3	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
5		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
7	5, 6	readdcld 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
8	4, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9		reflcl 13829	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
11	1, 10	resubcld 11642	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℝ)
12	1	dnicld1 36984	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
13	11	leabsd 15466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))))
14	1	recnd 11237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
15	10	recnd 11237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
16	14, 15	abssubd 15507	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
17	13, 16	breqtrd 5139	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
18	11, 12, 3, 17	lesub2dd 11831	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ ((1 / 2) − (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))))
19	3	recnd 11237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
20	19, 14, 15	subsub3d 11599	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))) = (((1 / 2) + (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 𝐴))
21	19, 15	addcomd 11412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
22	21	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 𝐴) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
23	20, 22	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
24	18, 23	breqtrd 5139	1 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5111  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  1c1 11101   + caddc 11103   ≤ cle 11244   − cmin 11441   / cdiv 11871  2c2 12295  ⌊cfl 13823  abscabs 15285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287

This theorem is referenced by:  dnibndlem9  36998