Theorem dnibndlem8 37267

Description: Lemma for dnibnd 37273. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dnibndlem8.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem8	⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem8.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		halfre 12514	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
4	1, 3	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
5		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
7	5, 6	readdcld 11295	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
8	4, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9		reflcl 13890	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
11	1, 10	resubcld 11699	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℝ)
12	1	dnicld1 37254	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
13	11	leabsd 15535	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))))
14	1	recnd 11294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
15	10	recnd 11294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
16	14, 15	abssubd 15576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
17	13, 16	breqtrd 5131	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
18	11, 12, 3, 17	lesub2dd 11888	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ ((1 / 2) − (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))))
19	3	recnd 11294	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
20	19, 14, 15	subsub3d 11656	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))) = (((1 / 2) + (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 𝐴))
21	19, 15	addcomd 11469	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
22	21	oveq1d 7424	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 𝐴) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
23	20, 22	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
24	18, 23	breqtrd 5131	1 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℝcr 11156  1c1 11158   + caddc 11160   ≤ cle 11301   − cmin 11498   / cdiv 11928  2c2 12352  ⌊cfl 13884  abscabs 15354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-rp 13076  df-fl 13886  df-seq 14099  df-exp 14159  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356

This theorem is used by:  dnibndlem9  37268