Theorem dnibndlem8 36451

Description: Lemma for dnibnd 36457. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dnibndlem8.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem8	⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem8.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		halfre 12507	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
4	1, 3	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
5		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
7	5, 6	readdcld 11319	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9		reflcl 13847	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
11	1, 10	resubcld 11718	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℝ)
12	1	dnicld1 36438	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
13	11	leabsd 15463	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))))
14	1	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
15	10	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
16	14, 15	abssubd 15502	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
17	13, 16	breqtrd 5192	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
18	11, 12, 3, 17	lesub2dd 11907	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ ((1 / 2) − (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))))
19	3	recnd 11318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
20	19, 14, 15	subsub3d 11677	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))) = (((1 / 2) + (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 𝐴))
21	19, 15	addcomd 11492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
22	21	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 𝐴) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
23	20, 22	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
24	18, 23	breqtrd 5192	1 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  2c2 12348  ⌊cfl 13841  abscabs 15283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285

This theorem is referenced by:  dnibndlem9  36452