Theorem 4sqlem5 16975

Description: Lemma for 4sq 16997. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem5	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))

Proof of Theorem 4sqlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12720	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		4sqlem5.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4	1	zred 12719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		4sqlem5.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6	5	nnred 12278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	rehalfcld 12510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
8	4, 7	readdcld 11287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
9	5	nnrpd 13072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
10	8, 9	modcld 13911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
12	7	recnd 11286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
13	11, 12	subcld 11617	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) ∈ ℂ)
14	3, 13	eqeltrid 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
15	2, 14	nncand 11622	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
16	2, 14	subcld 11617	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	6	recnd 11286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
18	5	nnne0d 12313	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
19	16, 17, 18	divcan1d 12041	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) · 𝑀) = (𝐴 − 𝐵))
20	3	oveq2i 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
21	2, 11, 12	subsub3d 11647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
22	20, 21	eqtrid 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
23	22	oveq1d 7445	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀))
24		moddifz 13919	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
25	8, 9, 24	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
26	23, 25	eqeltrd 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
27	5	nnzd 12637	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
28	26, 27	zmulcld 12725	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) · 𝑀) ∈ ℤ)
29	19, 28	eqeltrrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
30	1, 29	zsubcld 12724	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℤ)
31	15, 30	eqeltrrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
32	31, 26	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151   + caddc 11155   · cmul 11157   − cmin 11489   / cdiv 11917  ℕcn 12263  2c2 12318  ℤcz 12610  ℝ⁺crp 13031   mod cmo 13905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fl 13828  df-mod 13906

This theorem is referenced by:  4sqlem7  16977  4sqlem8  16978  4sqlem9  16979  4sqlem10  16980  4sqlem14  16991  4sqlem15  16992  4sqlem16  16993  4sqlem17  16994  2sqlem8a  27483  2sqlem8  27484