MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem5 16918
Description: Lemma for 4sq 16940. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4sqlem5.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
4sqlem5.4 ๐ต = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
Assertion
Ref Expression
4sqlem5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))

Proof of Theorem 4sqlem5
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
21zcnd 12705 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 4sqlem5.4 . . . . 5 ๐ต = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
41zred 12704 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
65nnred 12265 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
76rehalfcld 12497 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„)
84, 7readdcld 11281 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„)
95nnrpd 13054 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
108, 9modcld 13880 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆˆ โ„)
1110recnd 11280 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
127recnd 11280 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„‚)
1311, 12subcld 11609 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„‚)
143, 13eqeltrid 2833 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
152, 14nncand 11614 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) = ๐ต)
162, 14subcld 11609 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
176recnd 11280 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
185nnne0d 12300 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
1916, 17, 18divcan1d 12029 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) ยท ๐‘€) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
203oveq2i 7437 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ด โˆ’ (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2)))
212, 11, 12subsub3d 11639 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€)))
2220, 21eqtrid 2780 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€)))
2322oveq1d 7441 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€)) / ๐‘€))
24 moddifz 13888 . . . . . . . 8 (((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€)) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
258, 9, 24syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€)) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
2623, 25eqeltrd 2829 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
275nnzd 12623 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
2826, 27zmulcld 12710 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
2919, 28eqeltrrd 2830 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
301, 29zsubcld 12709 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
3115, 30eqeltrrd 2830 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
3231, 26jca 510 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145   + caddc 11149   ยท cmul 11151   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  2c2 12305  โ„คcz 12596  โ„+crp 13014   mod cmo 13874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fl 13797  df-mod 13875
This theorem is referenced by:  4sqlem7  16920  4sqlem8  16921  4sqlem9  16922  4sqlem10  16923  4sqlem14  16934  4sqlem15  16935  4sqlem16  16936  4sqlem17  16937  2sqlem8a  27378  2sqlem8  27379
  Copyright terms: Public domain W3C validator