MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem5 16980
Description: Lemma for 4sq 17002. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
Assertion
Ref Expression
4sqlem5 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))

Proof of Theorem 4sqlem5
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zcnd 12723 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 4sqlem5.4 . . . . 5 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
41zred 12722 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
65nnred 12281 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
76rehalfcld 12513 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
84, 7readdcld 11290 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
95nnrpd 13075 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
108, 9modcld 13915 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
1110recnd 11289 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
127recnd 11289 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
1311, 12subcld 11620 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) ∈ ℂ)
143, 13eqeltrid 2845 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
152, 14nncand 11625 . . 3 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = 𝐵)
162, 14subcld 11620 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
176recnd 11289 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
185nnne0d 12316 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ≠ 0)
1916, 17, 18divcan1d 12044 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / 𝑀) · 𝑀) = (𝐴𝐵))
203oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) = (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
212, 11, 12subsub3d 11650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
2220, 21eqtrid 2789 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
2322oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀))
24 moddifz 13923 . . . . . . . 8 (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
258, 9, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
2623, 25eqeltrd 2841 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
275nnzd 12640 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2826, 27zmulcld 12728 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / 𝑀) · 𝑀) ∈ ℤ)
2919, 28eqeltrrd 2842 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
301, 29zsubcld 12727 . . 3 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴𝐵)) ∈ ℤ)
3115, 30eqeltrrd 2842 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3231, 26jca 511 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  cz 12613  +crp 13034   mod cmo 13909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910
This theorem is referenced by:  4sqlem7  16982  4sqlem8  16983  4sqlem9  16984  4sqlem10  16985  4sqlem14  16996  4sqlem15  16997  4sqlem16  16998  4sqlem17  16999  2sqlem8a  27469  2sqlem8  27470
  Copyright terms: Public domain W3C validator