MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem5 16255
Description: Lemma for 4sq 16277. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
Assertion
Ref Expression
4sqlem5 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))

Proof of Theorem 4sqlem5
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zcnd 12066 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 4sqlem5.4 . . . . 5 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
41zred 12065 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
65nnred 11630 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
76rehalfcld 11862 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
84, 7readdcld 10647 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
95nnrpd 12407 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
108, 9modcld 13226 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
1110recnd 10646 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
127recnd 10646 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
1311, 12subcld 10974 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) ∈ ℂ)
143, 13eqeltrid 2916 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
152, 14nncand 10979 . . 3 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = 𝐵)
162, 14subcld 10974 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
176recnd 10646 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
185nnne0d 11665 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ≠ 0)
1916, 17, 18divcan1d 11394 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / 𝑀) · 𝑀) = (𝐴𝐵))
203oveq2i 7141 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) = (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
212, 11, 12subsub3d 11004 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
2220, 21syl5eq 2868 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
2322oveq1d 7145 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀))
24 moddifz 13234 . . . . . . . 8 (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
258, 9, 24syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
2623, 25eqeltrd 2912 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
275nnzd 12064 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2826, 27zmulcld 12071 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / 𝑀) · 𝑀) ∈ ℤ)
2919, 28eqeltrrd 2913 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
301, 29zsubcld 12070 . . 3 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴𝐵)) ∈ ℤ)
3115, 30eqeltrrd 2913 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3231, 26jca 515 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513   + caddc 10517   · cmul 10519  cmin 10847   / cdiv 11274  cn 11615  2c2 11670  cz 11959  +crp 12367   mod cmo 13220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-fl 13145  df-mod 13221
This theorem is referenced by:  4sqlem7  16257  4sqlem8  16258  4sqlem9  16259  4sqlem10  16260  4sqlem14  16271  4sqlem15  16272  4sqlem16  16273  4sqlem17  16274  2sqlem8a  25987  2sqlem8  25988
  Copyright terms: Public domain W3C validator