![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 4sqlem5 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for 4sq 16940. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
4sqlem5.2 | โข (๐ โ ๐ด โ โค) |
4sqlem5.3 | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
4sqlem5.4 | โข ๐ต = (((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐) โ (๐ / 2)) |
Ref | Expression |
---|---|
4sqlem5 | โข (๐ โ (๐ต โ โค โง ((๐ด โ ๐ต) / ๐) โ โค)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 4sqlem5.2 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โ โค) | |
2 | 1 | zcnd 12705 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
3 | 4sqlem5.4 | . . . . 5 โข ๐ต = (((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐) โ (๐ / 2)) | |
4 | 1 | zred 12704 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
5 | 4sqlem5.3 | . . . . . . . . . . 11 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
6 | 5 | nnred 12265 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
7 | 6 | rehalfcld 12497 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ (๐ / 2) โ โ) |
8 | 4, 7 | readdcld 11281 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (๐ด + (๐ / 2)) โ โ) |
9 | 5 | nnrpd 13054 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ ๐ โ โ+) |
10 | 8, 9 | modcld 13880 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐) โ โ) |
11 | 10 | recnd 11280 | . . . . . 6 โข (๐ โ ((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐) โ โ) |
12 | 7 | recnd 11280 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ / 2) โ โ) |
13 | 11, 12 | subcld 11609 | . . . . 5 โข (๐ โ (((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐) โ (๐ / 2)) โ โ) |
14 | 3, 13 | eqeltrid 2833 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
15 | 2, 14 | nncand 11614 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด โ (๐ด โ ๐ต)) = ๐ต) |
16 | 2, 14 | subcld 11609 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ด โ ๐ต) โ โ) |
17 | 6 | recnd 11280 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
18 | 5 | nnne0d 12300 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ 0) |
19 | 16, 17, 18 | divcan1d 12029 | . . . . 5 โข (๐ โ (((๐ด โ ๐ต) / ๐) ยท ๐) = (๐ด โ ๐ต)) |
20 | 3 | oveq2i 7437 | . . . . . . . . 9 โข (๐ด โ ๐ต) = (๐ด โ (((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐) โ (๐ / 2))) |
21 | 2, 11, 12 | subsub3d 11639 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ (๐ด โ (((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐) โ (๐ / 2))) = ((๐ด + (๐ / 2)) โ ((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐))) |
22 | 20, 21 | eqtrid 2780 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (๐ด โ ๐ต) = ((๐ด + (๐ / 2)) โ ((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐))) |
23 | 22 | oveq1d 7441 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ((๐ด โ ๐ต) / ๐) = (((๐ด + (๐ / 2)) โ ((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐)) / ๐)) |
24 | moddifz 13888 | . . . . . . . 8 โข (((๐ด + (๐ / 2)) โ โ โง ๐ โ โ+) โ (((๐ด + (๐ / 2)) โ ((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐)) / ๐) โ โค) | |
25 | 8, 9, 24 | syl2anc 582 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (((๐ด + (๐ / 2)) โ ((๐ด + (๐ / 2)) mod ๐)) / ๐) โ โค) |
26 | 23, 25 | eqeltrd 2829 | . . . . . 6 โข (๐ โ ((๐ด โ ๐ต) / ๐) โ โค) |
27 | 5 | nnzd 12623 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โค) |
28 | 26, 27 | zmulcld 12710 | . . . . 5 โข (๐ โ (((๐ด โ ๐ต) / ๐) ยท ๐) โ โค) |
29 | 19, 28 | eqeltrrd 2830 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด โ ๐ต) โ โค) |
30 | 1, 29 | zsubcld 12709 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด โ (๐ด โ ๐ต)) โ โค) |
31 | 15, 30 | eqeltrrd 2830 | . 2 โข (๐ โ ๐ต โ โค) |
32 | 31, 26 | jca 510 | 1 โข (๐ โ (๐ต โ โค โง ((๐ด โ ๐ต) / ๐) โ โค)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7426 โcc 11144 โcr 11145 + caddc 11149 ยท cmul 11151 โ cmin 11482 / cdiv 11909 โcn 12250 2c2 12305 โคcz 12596 โ+crp 13014 mod cmo 13874 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 ax-pre-sup 11224 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-2nd 8000 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-sup 9473 df-inf 9474 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-div 11910 df-nn 12251 df-2 12313 df-n0 12511 df-z 12597 df-uz 12861 df-rp 13015 df-fl 13797 df-mod 13875 |
This theorem is referenced by: 4sqlem7 16920 4sqlem8 16921 4sqlem9 16922 4sqlem10 16923 4sqlem14 16934 4sqlem15 16935 4sqlem16 16936 4sqlem17 16937 2sqlem8a 27378 2sqlem8 27379 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |