Theorem dnibndlem7 36467

Description: Lemma for dnibnd 36474. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dnibndlem7.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem7	⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))

Proof of Theorem dnibndlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem7.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		halfre 12478	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
4	1, 3	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
5		readdcl 11236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
7		reflcl 13833	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
9	8, 1	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
10		resubcl 11571	. . . 4 ⊢ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) ∈ ℝ)
12	1	dnicld1 36455	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
13	11	leabsd 15450	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
14	11, 12, 3, 13	lesub2dd 11878	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ ((1 / 2) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
15	3	recnd 11287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
16	8	recnd 11287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
17	1	recnd 11287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	15, 16, 17	subsub3d 11648	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) = (((1 / 2) + 𝐵) − (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
19	15, 17	addcomd 11461	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + 𝐵) = (𝐵 + (1 / 2)))
20	19	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + 𝐵) − (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) = ((𝐵 + (1 / 2)) − (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
21	17, 16, 15	subsub3d 11648	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) = ((𝐵 + (1 / 2)) − (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
22	21	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (1 / 2)) − (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) = (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))
23	18, 20, 22	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) = (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))
24	14, 23	breqtrd 5174	1 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   ≤ cle 11294   − cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  ⌊cfl 13827  abscabs 15270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272

This theorem is referenced by:  dnibndlem9  36469