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Theorem wallispilem5 44785
Description: The sequence 𝐻 converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispilem5.1 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
wallispilem5.2 𝐼 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
wallispilem5.3 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) / (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1))))
wallispilem5.4 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))
wallispilem5.5 𝐿 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
wallispilem5 𝐻 ⇝ 1
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘₯,𝐹   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐿
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘˜,𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐻(π‘₯,π‘˜,𝑛)   𝐼(π‘₯,π‘˜,𝑛)   𝐿(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem5
StepHypRef Expression
1 wallispilem5.1 . . 3 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
2 wallispilem5.2 . . 3 𝐼 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
3 wallispilem5.3 . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) / (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1))))
4 wallispilem5.4 . . 3 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))
51, 2, 3, 4wallispilem4 44784 . 2 𝐺 = 𝐻
6 nnuz 12865 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
7 1zzd 12593 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
8 wallispilem5.5 . . . . 5 𝐿 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛)))
9 2cnd 12290 . . . . 5 (⊀ β†’ 2 ∈ β„‚)
10 2ne0 12316 . . . . . 6 2 β‰  0
1110a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 2 β‰  0)
12 1cnd 11209 . . . . 5 (⊀ β†’ 1 ∈ β„‚)
138, 9, 11, 12clim1fr1 44317 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐿 ⇝ 1)
14 nnex 12218 . . . . . . 7 β„• ∈ V
1514mptex 7225 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) / (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1)))) ∈ V
163, 15eqeltri 2830 . . . . 5 𝐺 ∈ V
1716a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐺 ∈ V)
18 2nn0 12489 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•0)
20 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
2119, 20nn0mulcld 12537 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•0)
22 1nn0 12488 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„•0)
2421, 23nn0addcld 12536 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•0)
2524nn0red 12533 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
2621nn0red 12533 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ ℝ)
27 2cnd 12290 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
28 nncn 12220 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
2910a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 β‰  0)
30 nnne0 12246 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
3127, 28, 29, 30mulne0d 11866 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) β‰  0)
3225, 26, 31redivcld 12042 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛)) ∈ ℝ)
338, 32fmpti 7112 . . . . . 6 𝐿:β„•βŸΆβ„
3433a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐿:β„•βŸΆβ„)
3534ffvelcdmda 7087 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
362wallispilem3 44783 . . . . . . . . . 10 ((2 Β· 𝑛) ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) ∈ ℝ+)
3721, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) ∈ ℝ+)
3837rpred 13016 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) ∈ ℝ)
392wallispilem3 44783 . . . . . . . . 9 (((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ ℝ+)
4024, 39syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ ℝ+)
4138, 40rerpdivcld 13047 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) / (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1))) ∈ ℝ)
423, 41fmpti 7112 . . . . . 6 𝐺:β„•βŸΆβ„
4342a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
4443ffvelcdmda 7087 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4518a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•0)
46 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
4745, 46nn0mulcld 12537 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„•0)
482wallispilem3 44783 . . . . . . . . . 10 ((2 Β· π‘˜) ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) ∈ ℝ+)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) ∈ ℝ+)
5049rpred 13016 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) ∈ ℝ)
51 2nn 12285 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•)
53 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•)
5452, 53nnmulcld 12265 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„•)
55 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . . 11 ((2 Β· π‘˜) ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
572wallispilem3 44783 . . . . . . . . . 10 (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
5958rpred 13016 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
6022a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„•0)
6147, 60nn0addcld 12536 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„•0)
622wallispilem3 44783 . . . . . . . . 9 (((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ ℝ+)
6361, 62syl 17 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ ℝ+)
64 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
65 nncn 12220 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
6664, 65mulcld 11234 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„‚)
67 1cnd 11209 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
6866, 67npcand 11575 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) + 1) = (2 Β· π‘˜))
6968fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) + 1)) = (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)))
702, 56wallispilem1 44781 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) + 1)) ≀ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
7169, 70eqbrtrrd 5173 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) ≀ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
7250, 59, 63, 71lediv1dd 13074 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) ≀ ((πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
7366, 67addcld 11233 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„‚)
7410a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 β‰  0)
75 nnne0 12246 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ β‰  0)
7664, 65, 74, 75mulne0d 11866 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) β‰  0)
7773, 66, 76divcld 11990 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) ∈ β„‚)
7863rpcnd 13018 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ β„‚)
7963rpne0d 13021 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) β‰  0)
8077, 78, 79divcan4d 11996 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) = (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)))
81 2re 12286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ)
83 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
8482, 83remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ ℝ)
85 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
8684, 85readdcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ ℝ)
8745nn0ge0d 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 0 ≀ 2)
88 nnge1 12240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ≀ π‘˜)
8982, 83, 87, 88lemulge11d 12151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ≀ (2 Β· π‘˜))
9084ltp1d 12144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) < ((2 Β· π‘˜) + 1))
9182, 84, 86, 89, 90lelttrd 11372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 < ((2 Β· π‘˜) + 1))
9282, 86, 91ltled 11362 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ≀ ((2 Β· π‘˜) + 1))
9345nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„€)
9461nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„€)
95 eluz 12836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„€) β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ 2 ≀ ((2 Β· π‘˜) + 1)))
9693, 94, 95syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ 2 ≀ ((2 Β· π‘˜) + 1)))
9792, 96mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
982, 97itgsinexp 44671 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) = (((((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 1) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) Β· (πΌβ€˜(((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 2))))
9966, 67pncand 11572 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 1) = (2 Β· π‘˜))
10099oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 1) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) = ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
101 1e2m1 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (2 βˆ’ 1)
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 = (2 βˆ’ 1))
103102oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) = ((2 Β· π‘˜) βˆ’ (2 βˆ’ 1)))
10466, 64, 67subsub3d 11601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ (2 βˆ’ 1)) = (((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 2))
105103, 104eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 2) = ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))
106105fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 2)) = (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
107100, 106oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 1) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) Β· (πΌβ€˜(((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 2))) = (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
10898, 107eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) = (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
109108oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) = ((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))))
11054peano2nnd 12229 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„•)
111110nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) β‰  0)
11266, 73, 111divcld 11990 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ β„‚)
11358rpcnd 13018 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
11477, 112, 113mulassd 11237 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = ((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))))
11573, 66, 111, 76divcan6d 12009 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))) = 1)
116115oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = (1 Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
117113mullidd 11232 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
118116, 117eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
119109, 114, 1183eqtr2d 2779 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) = (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
120119oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) = ((πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
12180, 120eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) = ((πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
12272, 121breqtrrd 5177 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) ≀ (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)))
12349, 63rpdivcld 13033 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) ∈ ℝ+)
124 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘›π‘˜
125 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
1262, 125nfcxfr 2902 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛𝐼
127 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(2 Β· π‘˜)
128126, 127nffv 6902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(πΌβ€˜(2 Β· π‘˜))
129 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛 /
130 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛((2 Β· π‘˜) + 1)
131126, 130nffv 6902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))
132128, 129, 131nfov 7439 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)))
133 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· π‘˜))
134133fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) = (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)))
135133fvoveq1d 7431 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1)) = (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)))
136134, 135oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) / (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1))) = ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
137124, 132, 136, 3fvmptf 7020 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) ∈ ℝ+) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
138123, 137mpdan 686 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
1398a1i 11 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 𝐿 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛))))
140 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ 𝑛 = π‘˜)
141140oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· π‘˜))
142141oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) = ((2 Β· π‘˜) + 1))
143142, 141oveq12d 7427 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛)) = (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)))
144139, 143, 53, 77fvmptd 7006 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΏβ€˜π‘˜) = (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)))
145122, 138, 1443brtr4d 5181 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΏβ€˜π‘˜))
146145adantl 483 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΏβ€˜π‘˜))
14778, 79dividd 11988 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) = 1)
14863rpred 13016 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ ℝ)
1492, 47wallispilem1 44781 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) ≀ (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)))
150148, 50, 63, 149lediv1dd 13074 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) ≀ ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
151147, 150eqbrtrrd 5173 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ≀ ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
152151, 138breqtrrd 5177 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
153152adantl 483 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 1 ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
1546, 7, 13, 17, 35, 44, 146, 153climsqz2 15586 . . 3 (⊀ β†’ 𝐺 ⇝ 1)
155154mptru 1549 . 2 𝐺 ⇝ 1
1565, 155eqbrtrri 5172 1 𝐻 ⇝ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  seqcseq 13966  β†‘cexp 14027   ⇝ cli 15428  sincsin 16007  Ο€cpi 16010  βˆ«citg 25135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384
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