wallispilem5 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem wallispilem5 47187

Description: The sequence 𝐻 converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
wallispilem5.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
wallispilem5.2	⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
wallispilem5.3	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
wallispilem5.4	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
wallispilem5.5	⊢ 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))

**Assertion**
Ref	Expression
wallispilem5	⊢ 𝐻 ⇝ 1

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛,𝑥 𝑥,𝐹 𝑘,𝐺 𝑘,𝐿 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑘, 𝑛) 𝐺(𝑥, 𝑛) 𝐻(𝑥, 𝑘, 𝑛) 𝐼(𝑥, 𝑘, 𝑛) 𝐿(𝑥, 𝑛)

**Proof of Theorem wallispilem5**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		wallispilem5.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
2		wallispilem5.2	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
3		wallispilem5.3	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
4		wallispilem5.4	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
5	1, 2, 3, 4	wallispilem4 47186	. 2 ⊢ 𝐺 = 𝐻
6		nnuz 13011	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
7		1zzd 12734	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
8		wallispilem5.5	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))
9		2cnd 12428	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
10		2ne0 12456	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
12		1cnd 11309	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
13	8, 9, 11, 12	clim1fr1 46721	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐿 ⇝ 1)
14		nnex 12348	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
15	14	mptex 7233	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V
16	3, 15	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐺 ∈ V)
18		2nn0 12630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
20		nnnn0 12620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ₀)
21	19, 20	nn0mulcld 12679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
22		1nn0 12629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
24	21, 23	nn0addcld 12678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ₀)
25	24	nn0red 12675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
26	21	nn0red 12675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
27		2cnd 12428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
28		nncn 12350	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
29	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
30		nnne0 12379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
31	27, 28, 29, 30	mulne0d 11975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ≠ 0)
32	25, 26, 31	redivcld 12152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
33	8, 32	fmpti 7117	. . . . . 6 ⊢ 𝐿:ℕ⟶ℝ
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
35	34	ffvelcdmda 7089	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐿‘𝑘) ∈ ℝ)
36	2	wallispilem3 47185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺)
37	21, 36	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺)
38	37	rpred 13171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
39	2	wallispilem3 47185	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ⁺)
40	24, 39	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ⁺)
41	38, 40	rerpdivcld 13202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℝ)
42	3, 41	fmpti 7117	. . . . . 6 ⊢ 𝐺:ℕ⟶ℝ
43	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
44	43	ffvelcdmda 7089	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
45	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
46		nnnn0 12620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ₀)
47	45, 46	nn0mulcld 12679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ₀)
48	2	wallispilem3 47185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ⁺)
49	47, 48	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ⁺)
50	49	rpred 13171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ)
51		2nn 12423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
53		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
54	52, 53	nnmulcld 12398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
55		nnm1nn0 12654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀)
56	54, 55	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀)
57	2	wallispilem3 47185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ⁺)
58	56, 57	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ⁺)
59	58	rpred 13171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
60	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
61	47, 60	nn0addcld 12678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ₀)
62	2	wallispilem3 47185	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ⁺)
63	61, 62	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ⁺)
64		2cnd 12428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
65		nncn 12350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
66	64, 65	mulcld 11336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
67		1cnd 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
68	66, 67	npcand 11680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) + 1) = (2 · 𝑘))
69	68	fveq2d 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) − 1) + 1)) = (𝐼‘(2 · 𝑘)))
70	2, 56	wallispilem1 47183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) − 1) + 1)) ≤ (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
71	69, 70	eqbrtrrd 5128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ≤ (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
72	50, 59, 63, 71	lediv1dd 13229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
73	66, 67	addcld 11335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
74	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
75		nnne0 12379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
76	64, 65, 74, 75	mulne0d 11975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ≠ 0)
77	73, 66, 76	divcld 12100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
78	63	rpcnd 13173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
79	63	rpne0d 13176	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ≠ 0)
80	77, 78, 79	divcan4d 12106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
81		2re 12424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
83		nnre 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
84	82, 83	remulcld 11346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
85		1red 11316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
86	84, 85	readdcld 11345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
87	45	nn0ge0d 12677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
88		nnge1 12373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
89	82, 83, 87, 88	lemulge11d 12261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≤ (2 · 𝑘))
90	84	ltp1d 12254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) < ((2 · 𝑘) + 1))
91	82, 84, 86, 89, 90	lelttrd 11475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 < ((2 · 𝑘) + 1))
92	82, 86, 91	ltled 11465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
93	45	nn0zd 12725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
94	61	nn0zd 12725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ)
95		eluz 12986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1)))
96	93, 94, 95	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1)))
97	92, 96	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
98	2, 97	itgsinexp 47073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2))))
99	66, 67	pncand 11677	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
100	99	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))
101		1e2m1 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = (2 − 1)
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 = (2 − 1))
103	102	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑘) − (2 − 1)))
104	66, 64, 67	subsub3d 11706	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) − 2))
105	103, 104	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) − 2) = ((2 · 𝑘) − 1))
106	105	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2)) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
107	100, 106	oveq12d 7442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2))) = (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
108	98, 107	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
109	108	oveq2d 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))))
110	54	peano2nnd 12359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
111	110	nnne0d 12395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
112	66, 73, 111	divcld 12100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
113	58	rpcnd 13173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
114	77, 112, 113	mulassd 11339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))))
115	73, 66, 111, 76	divcan6d 12119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = 1)
116	115	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (1 · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
117	113	mullidd 11334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
118	116, 117	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
119	109, 114, 118	3eqtr2d 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
120	119	oveq1d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
121	80, 120	eqtr3d 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) = ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
122	72, 121	breqtrrd 5132	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
123	49, 63	rpdivcld 13188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℝ⁺)
124		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
125		nfmpt1 5203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
126	2, 125	nfcxfr 2920	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝐼
127		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(2 · 𝑘)
128	126, 127	nffv 6900	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐼‘(2 · 𝑘))
129		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 /
130		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((2 · 𝑘) + 1)
131	126, 130	nffv 6900	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))
132	128, 129, 131	nfov 7454	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))
133		oveq2 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
134	133	fveq2d 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐼‘(2 · 𝑛)) = (𝐼‘(2 · 𝑘)))
135	133	fvoveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) = (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))
136	134, 135	oveq12d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
137	124, 132, 136, 3	fvmptf 7020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℝ⁺) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
138	123, 137	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
139	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛))))
140		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
141	140	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
142	141	oveq1d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
143	142, 141	oveq12d 7442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
144	139, 143, 53, 77	fvmptd 7006	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐿‘𝑘) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
145	122, 138, 144	3brtr4d 5136	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐿‘𝑘))
146	145	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐿‘𝑘))
147	78, 79	dividd 12098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = 1)
148	63	rpred 13171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
149	2, 47	wallispilem1 47183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (𝐼‘(2 · 𝑘)))
150	148, 50, 63, 149	lediv1dd 13229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
151	147, 150	eqbrtrrd 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
152	151, 138	breqtrrd 5132	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐺‘𝑘))
153	152	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐺‘𝑘))
154	6, 7, 13, 17, 35, 44, 146, 153	climsqz2 15818	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 1)
155	154	mptru 1576	. 2 ⊢ 𝐺 ⇝ 1
156	5, 155	eqbrtrri 5127	1 ⊢ 𝐻 ⇝ 1

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ↔ wb 209 ∧ wa 401 = wceq 1569 ⊤wtru 1570 ∈ wcel 2144 ≠ wne 2955 Vcvv 3450 class class class wbr 5102 ↦ cmpt 5185 ⟶wf 6539 ‘cfv 6543 (class class class)co 7424 ℂcc 11205 ℝcr 11206 0cc0 11207 1c1 11208 + caddc 11210 · cmul 11212 ≤ cle 11351 − cmin 11548 / cdiv 11980 ℕcn 12342 2c2 12404 ℕ₀cn0 12613 ℤcz 12700 ℤ_≥cuz 12972 ℝ⁺crp 13127 (,)cioo 13483 seqcseq 14151 ↑cexp 14211 ⇝ cli 15660 sincsin 16238 πcpi 16241 ∫citg 25948

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-rep 5231 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7755 ax-inf2 9649 ax-cc 10520 ax-cnex 11263 ax-resscn 11264 ax-1cn 11265 ax-icn 11266 ax-addcl 11267 ax-addrcl 11268 ax-mulcl 11269 ax-mulrcl 11270 ax-mulcom 11271 ax-addass 11272 ax-mulass 11273 ax-distr 11274 ax-i2m1 11275 ax-1ne0 11276 ax-1rid 11277 ax-rnegex 11278 ax-rrecex 11279 ax-cnre 11280 ax-pre-lttri 11281 ax-pre-lttrn 11282 ax-pre-ltadd 11283 ax-pre-mulgt0 11284 ax-pre-sup 11285 ax-addf 11286

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-ss 3897 df-pss 4013 df-dif 4046 df-in 4090 df-un 4150 df-symdif 4197 df-nul 4278 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4835 df-uni 4867 df-int 4907 df-iun 4952 df-iin 4953 df-disj 5070 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6307 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6497 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7381 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-of 7697 df-ofr 7698 df-om 7882 df-1st 8005 df-2nd 8006 df-supp 8184 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8386 df-rdg 8425 df-1o 8483 df-2o 8484 df-oadd 8487 df-omul 8488 df-er 8724 df-map 8856 df-pm 8857 df-ixp 8933 df-en 8981 df-dom 8982 df-sdom 8983 df-fin 8984 df-fsupp 9361 df-fi 9410 df-sup 9441 df-inf 9442 df-oi 9511 df-dju 9989 df-card 10027 df-acn 10030 df-pnf 11352 df-mnf 11353 df-xr 11354 df-ltxr 11355 df-le 11356 df-sub 11550 df-neg 11551 df-div 11981 df-nn 12343 df-2 12412 df-3 12413 df-4 12414 df-5 12415 df-6 12416 df-7 12417 df-8 12418 df-9 12419 df-n0 12614 df-z 12701 df-dec 12822 df-uz 12973 df-q 13083 df-rp 13128 df-xneg 13248 df-xadd 13249 df-xmul 13250 df-ioo 13487 df-ioc 13488 df-ico 13489 df-icc 13490 df-fz 13647 df-fzo 13796 df-fl 13939 df-mod 14017 df-seq 14152 df-exp 14212 df-fac 14425 df-bc 14454 df-hash 14482 df-shft 15229 df-cj 15275 df-re 15276 df-im 15277 df-sqrt 15411 df-abs 15412 df-limsup 15647 df-clim 15664 df-rlim 15665 df-sum 15863 df-ef 16242 df-sin 16244 df-cos 16245 df-pi 16247 df-struct 17334 df-sets 17351 df-slot 17369 df-ndx 17381 df-base 17397 df-ress 17418 df-plusg 17450 df-mulr 17451 df-starv 17452 df-sca 17453 df-vsca 17454 df-ip 17455 df-tset 17456 df-ple 17457 df-ds 17459 df-unif 17460 df-hom 17461 df-cco 17462 df-rest 17602 df-topn 17603 df-0g 17621 df-gsum 17622 df-topgen 17623 df-pt 17624 df-prds 17627 df-xrs 17683 df-qtop 17688 df-imas 17689 df-xps 17691 df-mre 17765 df-mrc 17766 df-acs 17768 df-mgm 18825 df-sgrp 18917 df-mnd 18933 df-submnd 18988 df-mulg 19287 df-cntz 19540 df-cmn 20005 df-psmet 21679 df-xmet 21680 df-met 21681 df-bl 21682 df-mopn 21683 df-fbas 21684 df-fg 21685 df-cnfld 21688 df-top 23221 df-topon 23238 df-topsp 23260 df-bases 23273 df-cld 23346 df-ntr 23347 df-cls 23348 df-nei 23425 df-lp 23463 df-perf 23464 df-cn 23554 df-cnp 23555 df-haus 23642 df-cmp 23714 df-tx 23890 df-hmeo 24083 df-fil 24174 df-fm 24266 df-flim 24267 df-flf 24268 df-xms 24648 df-ms 24649 df-tms 24650 df-cncf 25208 df-ovol 25794 df-vol 25795 df-mbf 25949 df-itg1 25950 df-itg2 25951 df-ibl 25952 df-itg 25953 df-0p 26000 df-limc 26195 df-dv 26196

This theorem is used by: wallispi 47188

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