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Theorem wallispilem5 45083
Description: The sequence 𝐻 converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispilem5.1 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
wallispilem5.2 𝐼 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
wallispilem5.3 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) / (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1))))
wallispilem5.4 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))
wallispilem5.5 𝐿 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
wallispilem5 𝐻 ⇝ 1
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘₯,𝐹   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐿
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘˜,𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐻(π‘₯,π‘˜,𝑛)   𝐼(π‘₯,π‘˜,𝑛)   𝐿(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem5
StepHypRef Expression
1 wallispilem5.1 . . 3 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
2 wallispilem5.2 . . 3 𝐼 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
3 wallispilem5.3 . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) / (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1))))
4 wallispilem5.4 . . 3 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))
51, 2, 3, 4wallispilem4 45082 . 2 𝐺 = 𝐻
6 nnuz 12869 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
7 1zzd 12597 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
8 wallispilem5.5 . . . . 5 𝐿 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛)))
9 2cnd 12294 . . . . 5 (⊀ β†’ 2 ∈ β„‚)
10 2ne0 12320 . . . . . 6 2 β‰  0
1110a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 2 β‰  0)
12 1cnd 11213 . . . . 5 (⊀ β†’ 1 ∈ β„‚)
138, 9, 11, 12clim1fr1 44615 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐿 ⇝ 1)
14 nnex 12222 . . . . . . 7 β„• ∈ V
1514mptex 7226 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) / (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1)))) ∈ V
163, 15eqeltri 2827 . . . . 5 𝐺 ∈ V
1716a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐺 ∈ V)
18 2nn0 12493 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•0)
20 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
2119, 20nn0mulcld 12541 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•0)
22 1nn0 12492 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„•0)
2421, 23nn0addcld 12540 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•0)
2524nn0red 12537 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
2621nn0red 12537 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ ℝ)
27 2cnd 12294 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
28 nncn 12224 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
2910a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 β‰  0)
30 nnne0 12250 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
3127, 28, 29, 30mulne0d 11870 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) β‰  0)
3225, 26, 31redivcld 12046 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛)) ∈ ℝ)
338, 32fmpti 7112 . . . . . 6 𝐿:β„•βŸΆβ„
3433a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐿:β„•βŸΆβ„)
3534ffvelcdmda 7085 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
362wallispilem3 45081 . . . . . . . . . 10 ((2 Β· 𝑛) ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) ∈ ℝ+)
3721, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) ∈ ℝ+)
3837rpred 13020 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) ∈ ℝ)
392wallispilem3 45081 . . . . . . . . 9 (((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ ℝ+)
4024, 39syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ ℝ+)
4138, 40rerpdivcld 13051 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) / (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1))) ∈ ℝ)
423, 41fmpti 7112 . . . . . 6 𝐺:β„•βŸΆβ„
4342a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
4443ffvelcdmda 7085 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4518a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•0)
46 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
4745, 46nn0mulcld 12541 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„•0)
482wallispilem3 45081 . . . . . . . . . 10 ((2 Β· π‘˜) ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) ∈ ℝ+)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) ∈ ℝ+)
5049rpred 13020 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) ∈ ℝ)
51 2nn 12289 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•)
53 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•)
5452, 53nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„•)
55 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . . . 11 ((2 Β· π‘˜) ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
572wallispilem3 45081 . . . . . . . . . 10 (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
5958rpred 13020 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
6022a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„•0)
6147, 60nn0addcld 12540 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„•0)
622wallispilem3 45081 . . . . . . . . 9 (((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ ℝ+)
6361, 62syl 17 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ ℝ+)
64 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
65 nncn 12224 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
6664, 65mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„‚)
67 1cnd 11213 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
6866, 67npcand 11579 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) + 1) = (2 Β· π‘˜))
6968fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) + 1)) = (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)))
702, 56wallispilem1 45079 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) + 1)) ≀ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
7169, 70eqbrtrrd 5171 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) ≀ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
7250, 59, 63, 71lediv1dd 13078 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) ≀ ((πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
7366, 67addcld 11237 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„‚)
7410a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 β‰  0)
75 nnne0 12250 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ β‰  0)
7664, 65, 74, 75mulne0d 11870 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) β‰  0)
7773, 66, 76divcld 11994 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) ∈ β„‚)
7863rpcnd 13022 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ β„‚)
7963rpne0d 13025 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) β‰  0)
8077, 78, 79divcan4d 12000 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) = (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)))
81 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ)
83 nnre 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
8482, 83remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ ℝ)
85 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
8684, 85readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ ℝ)
8745nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 0 ≀ 2)
88 nnge1 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ≀ π‘˜)
8982, 83, 87, 88lemulge11d 12155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ≀ (2 Β· π‘˜))
9084ltp1d 12148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) < ((2 Β· π‘˜) + 1))
9182, 84, 86, 89, 90lelttrd 11376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 < ((2 Β· π‘˜) + 1))
9282, 86, 91ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ≀ ((2 Β· π‘˜) + 1))
9345nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„€)
9461nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„€)
95 eluz 12840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„€) β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ 2 ≀ ((2 Β· π‘˜) + 1)))
9693, 94, 95syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ 2 ≀ ((2 Β· π‘˜) + 1)))
9792, 96mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
982, 97itgsinexp 44969 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) = (((((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 1) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) Β· (πΌβ€˜(((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 2))))
9966, 67pncand 11576 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 1) = (2 Β· π‘˜))
10099oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 1) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) = ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
101 1e2m1 12343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (2 βˆ’ 1)
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 = (2 βˆ’ 1))
103102oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) = ((2 Β· π‘˜) βˆ’ (2 βˆ’ 1)))
10466, 64, 67subsub3d 11605 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ (2 βˆ’ 1)) = (((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 2))
105103, 104eqtr2d 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 2) = ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))
106105fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 2)) = (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
107100, 106oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 1) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) Β· (πΌβ€˜(((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 2))) = (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
10898, 107eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) = (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
109108oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) = ((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))))
11054peano2nnd 12233 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„•)
111110nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) β‰  0)
11266, 73, 111divcld 11994 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ β„‚)
11358rpcnd 13022 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
11477, 112, 113mulassd 11241 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = ((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))))
11573, 66, 111, 76divcan6d 12013 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))) = 1)
116115oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = (1 Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
117113mullidd 11236 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
118116, 117eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
119109, 114, 1183eqtr2d 2776 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) = (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
120119oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) = ((πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
12180, 120eqtr3d 2772 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) = ((πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
12272, 121breqtrrd 5175 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) ≀ (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)))
12349, 63rpdivcld 13037 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) ∈ ℝ+)
124 nfcv 2901 . . . . . . . 8 β„²π‘›π‘˜
125 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
1262, 125nfcxfr 2899 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛𝐼
127 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(2 Β· π‘˜)
128126, 127nffv 6900 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(πΌβ€˜(2 Β· π‘˜))
129 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛 /
130 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛((2 Β· π‘˜) + 1)
131126, 130nffv 6900 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))
132128, 129, 131nfov 7441 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)))
133 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· π‘˜))
134133fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) = (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)))
135133fvoveq1d 7433 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1)) = (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)))
136134, 135oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) / (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1))) = ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
137124, 132, 136, 3fvmptf 7018 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) ∈ ℝ+) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
138123, 137mpdan 683 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
1398a1i 11 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 𝐿 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛))))
140 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ 𝑛 = π‘˜)
141140oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· π‘˜))
142141oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) = ((2 Β· π‘˜) + 1))
143142, 141oveq12d 7429 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛)) = (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)))
144139, 143, 53, 77fvmptd 7004 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΏβ€˜π‘˜) = (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)))
145122, 138, 1443brtr4d 5179 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΏβ€˜π‘˜))
146145adantl 480 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΏβ€˜π‘˜))
14778, 79dividd 11992 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) = 1)
14863rpred 13020 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ ℝ)
1492, 47wallispilem1 45079 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) ≀ (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)))
150148, 50, 63, 149lediv1dd 13078 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) ≀ ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
151147, 150eqbrtrrd 5171 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ≀ ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
152151, 138breqtrrd 5175 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
153152adantl 480 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 1 ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
1546, 7, 13, 17, 35, 44, 146, 153climsqz2 15590 . . 3 (⊀ β†’ 𝐺 ⇝ 1)
155154mptru 1546 . 2 𝐺 ⇝ 1
1565, 155eqbrtrri 5170 1 𝐻 ⇝ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  βŠ€wtru 1540   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  Vcvv 3472   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978  (,)cioo 13328  seqcseq 13970  β†‘cexp 14031   ⇝ cli 15432  sincsin 16011  Ο€cpi 16014  βˆ«citg 25367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370  df-ibl 25371  df-itg 25372  df-0p 25419  df-limc 25615  df-dv 25616
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