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Theorem wallispilem5 44396
Description: The sequence 𝐻 converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispilem5.1 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
wallispilem5.2 𝐼 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
wallispilem5.3 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) / (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1))))
wallispilem5.4 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))
wallispilem5.5 𝐿 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
wallispilem5 𝐻 ⇝ 1
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘₯,𝐹   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐿
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘˜,𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐻(π‘₯,π‘˜,𝑛)   𝐼(π‘₯,π‘˜,𝑛)   𝐿(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem5
StepHypRef Expression
1 wallispilem5.1 . . 3 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
2 wallispilem5.2 . . 3 𝐼 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
3 wallispilem5.3 . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) / (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1))))
4 wallispilem5.4 . . 3 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((Ο€ / 2) Β· (1 / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))))
51, 2, 3, 4wallispilem4 44395 . 2 𝐺 = 𝐻
6 nnuz 12811 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
7 1zzd 12539 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
8 wallispilem5.5 . . . . 5 𝐿 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛)))
9 2cnd 12236 . . . . 5 (⊀ β†’ 2 ∈ β„‚)
10 2ne0 12262 . . . . . 6 2 β‰  0
1110a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 2 β‰  0)
12 1cnd 11155 . . . . 5 (⊀ β†’ 1 ∈ β„‚)
138, 9, 11, 12clim1fr1 43928 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐿 ⇝ 1)
14 nnex 12164 . . . . . . 7 β„• ∈ V
1514mptex 7174 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) / (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1)))) ∈ V
163, 15eqeltri 2830 . . . . 5 𝐺 ∈ V
1716a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐺 ∈ V)
18 2nn0 12435 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•0)
20 nnnn0 12425 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
2119, 20nn0mulcld 12483 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•0)
22 1nn0 12434 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„•0)
2421, 23nn0addcld 12482 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•0)
2524nn0red 12479 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
2621nn0red 12479 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ ℝ)
27 2cnd 12236 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
28 nncn 12166 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
2910a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 β‰  0)
30 nnne0 12192 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
3127, 28, 29, 30mulne0d 11812 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) β‰  0)
3225, 26, 31redivcld 11988 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛)) ∈ ℝ)
338, 32fmpti 7061 . . . . . 6 𝐿:β„•βŸΆβ„
3433a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐿:β„•βŸΆβ„)
3534ffvelcdmda 7036 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
362wallispilem3 44394 . . . . . . . . . 10 ((2 Β· 𝑛) ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) ∈ ℝ+)
3721, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) ∈ ℝ+)
3837rpred 12962 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) ∈ ℝ)
392wallispilem3 44394 . . . . . . . . 9 (((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ ℝ+)
4024, 39syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ ℝ+)
4138, 40rerpdivcld 12993 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) / (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1))) ∈ ℝ)
423, 41fmpti 7061 . . . . . 6 𝐺:β„•βŸΆβ„
4342a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
4443ffvelcdmda 7036 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4518a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•0)
46 nnnn0 12425 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
4745, 46nn0mulcld 12483 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„•0)
482wallispilem3 44394 . . . . . . . . . 10 ((2 Β· π‘˜) ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) ∈ ℝ+)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) ∈ ℝ+)
5049rpred 12962 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) ∈ ℝ)
51 2nn 12231 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•)
53 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•)
5452, 53nnmulcld 12211 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„•)
55 nnm1nn0 12459 . . . . . . . . . . 11 ((2 Β· π‘˜) ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
572wallispilem3 44394 . . . . . . . . . 10 (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
5958rpred 12962 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
6022a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„•0)
6147, 60nn0addcld 12482 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„•0)
622wallispilem3 44394 . . . . . . . . 9 (((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„•0 β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ ℝ+)
6361, 62syl 17 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ ℝ+)
64 2cnd 12236 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
65 nncn 12166 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
6664, 65mulcld 11180 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„‚)
67 1cnd 11155 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
6866, 67npcand 11521 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) + 1) = (2 Β· π‘˜))
6968fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) + 1)) = (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)))
702, 56wallispilem1 44392 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) + 1)) ≀ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
7169, 70eqbrtrrd 5130 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) ≀ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
7250, 59, 63, 71lediv1dd 13020 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) ≀ ((πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
7366, 67addcld 11179 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„‚)
7410a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 β‰  0)
75 nnne0 12192 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ β‰  0)
7664, 65, 74, 75mulne0d 11812 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) β‰  0)
7773, 66, 76divcld 11936 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) ∈ β„‚)
7863rpcnd 12964 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ β„‚)
7963rpne0d 12967 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) β‰  0)
8077, 78, 79divcan4d 11942 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) = (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)))
81 2re 12232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ)
83 nnre 12165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
8482, 83remulcld 11190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ ℝ)
85 1red 11161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
8684, 85readdcld 11189 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ ℝ)
8745nn0ge0d 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 0 ≀ 2)
88 nnge1 12186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ≀ π‘˜)
8982, 83, 87, 88lemulge11d 12097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ≀ (2 Β· π‘˜))
9084ltp1d 12090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) < ((2 Β· π‘˜) + 1))
9182, 84, 86, 89, 90lelttrd 11318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 < ((2 Β· π‘˜) + 1))
9282, 86, 91ltled 11308 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ≀ ((2 Β· π‘˜) + 1))
9345nn0zd 12530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„€)
9461nn0zd 12530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„€)
95 eluz 12782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ β„€ ∧ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„€) β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ 2 ≀ ((2 Β· π‘˜) + 1)))
9693, 94, 95syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ 2 ≀ ((2 Β· π‘˜) + 1)))
9792, 96mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
982, 97itgsinexp 44282 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) = (((((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 1) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) Β· (πΌβ€˜(((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 2))))
9966, 67pncand 11518 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 1) = (2 Β· π‘˜))
10099oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 1) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) = ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
101 1e2m1 12285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (2 βˆ’ 1)
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 = (2 βˆ’ 1))
103102oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) = ((2 Β· π‘˜) βˆ’ (2 βˆ’ 1)))
10466, 64, 67subsub3d 11547 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ (2 βˆ’ 1)) = (((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 2))
105103, 104eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 2) = ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))
106105fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜(((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 2)) = (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
107100, 106oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 1) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) Β· (πΌβ€˜(((2 Β· π‘˜) + 1) βˆ’ 2))) = (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
10898, 107eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) = (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
109108oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) = ((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))))
11054peano2nnd 12175 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„•)
111110nnne0d 12208 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) β‰  0)
11266, 73, 111divcld 11936 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ β„‚)
11358rpcnd 12964 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
11477, 112, 113mulassd 11183 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = ((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· (((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))))
11573, 66, 111, 76divcan6d 11955 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))) = 1)
116115oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = (1 Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
117113mulid2d 11178 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
118116, 117eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· ((2 Β· π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1))) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
119109, 114, 1183eqtr2d 2779 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) = (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
120119oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) Β· (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) = ((πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
12180, 120eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)) = ((πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
12272, 121breqtrrd 5134 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) ≀ (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)))
12349, 63rpdivcld 12979 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) ∈ ℝ+)
124 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘›π‘˜
125 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
1262, 125nfcxfr 2902 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛𝐼
127 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(2 Β· π‘˜)
128126, 127nffv 6853 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(πΌβ€˜(2 Β· π‘˜))
129 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛 /
130 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛((2 Β· π‘˜) + 1)
131126, 130nffv 6853 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))
132128, 129, 131nfov 7388 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)))
133 oveq2 7366 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· π‘˜))
134133fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) = (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)))
135133fvoveq1d 7380 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1)) = (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)))
136134, 135oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΌβ€˜(2 Β· 𝑛)) / (πΌβ€˜((2 Β· 𝑛) + 1))) = ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
137124, 132, 136, 3fvmptf 6970 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) ∈ ℝ+) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
138123, 137mpdan 686 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
1398a1i 11 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 𝐿 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛))))
140 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ 𝑛 = π‘˜)
141140oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· π‘˜))
142141oveq1d 7373 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) = ((2 Β· π‘˜) + 1))
143142, 141oveq12d 7376 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· 𝑛)) = (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)))
144139, 143, 53, 77fvmptd 6956 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΏβ€˜π‘˜) = (((2 Β· π‘˜) + 1) / (2 Β· π‘˜)))
145122, 138, 1443brtr4d 5138 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΏβ€˜π‘˜))
146145adantl 483 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΏβ€˜π‘˜))
14778, 79dividd 11934 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) = 1)
14863rpred 12962 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ ℝ)
1492, 47wallispilem1 44392 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) ≀ (πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)))
150148, 50, 63, 149lediv1dd 13020 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))) ≀ ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
151147, 150eqbrtrrd 5130 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ≀ ((πΌβ€˜(2 Β· π‘˜)) / (πΌβ€˜((2 Β· π‘˜) + 1))))
152151, 138breqtrrd 5134 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
153152adantl 483 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 1 ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
1546, 7, 13, 17, 35, 44, 146, 153climsqz2 15530 . . 3 (⊀ β†’ 𝐺 ⇝ 1)
155154mptru 1549 . 2 𝐺 ⇝ 1
1565, 155eqbrtrri 5129 1 𝐻 ⇝ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3444   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  β„+crp 12920  (,)cioo 13270  seqcseq 13912  β†‘cexp 13973   ⇝ cli 15372  sincsin 15951  Ο€cpi 15954  βˆ«citg 24998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-symdif 4203  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247
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