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Theorem wallispilem5 40926
Description: The sequence 𝐻 converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispilem5.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
wallispilem5.2 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
wallispilem5.3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
wallispilem5.4 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
wallispilem5.5 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
wallispilem5 𝐻 ⇝ 1
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑥   𝑥,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐿
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem5
StepHypRef Expression
1 wallispilem5.1 . . 3 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
2 wallispilem5.2 . . 3 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
3 wallispilem5.3 . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
4 wallispilem5.4 . . 3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
51, 2, 3, 4wallispilem4 40925 . 2 𝐺 = 𝐻
6 nnuz 11926 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
7 1zzd 11658 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
8 wallispilem5.5 . . . . 5 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))
9 2cnd 11352 . . . . 5 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
10 2ne0 11385 . . . . . 6 2 ≠ 0
1110a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 2 ≠ 0)
12 1cnd 10290 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
138, 9, 11, 12clim1fr1 40474 . . . 4 (⊤ → 𝐿 ⇝ 1)
14 nnex 11283 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
1514mptex 6681 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V
163, 15eqeltri 2840 . . . . 5 𝐺 ∈ V
1716a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐺 ∈ V)
18 2nn0 11559 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
20 nnnn0 11548 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
2119, 20nn0mulcld 11605 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
22 1nn0 11558 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
2421, 23nn0addcld 11604 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0)
2524nn0red 11601 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
2621nn0red 11601 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
27 2cnd 11352 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
28 nncn 11285 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
2910a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
30 nnne0 11312 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
3127, 28, 29, 30mulne0d 10935 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ≠ 0)
3225, 26, 31redivcld 11109 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
338, 32fmpti 6574 . . . . . 6 𝐿:ℕ⟶ℝ
3433a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
3534ffvelrnda 6551 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐿𝑘) ∈ ℝ)
362wallispilem3 40924 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+)
3721, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+)
3837rpred 12073 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
392wallispilem3 40924 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0 → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ+)
4024, 39syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ+)
4138, 40rerpdivcld 12104 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℝ)
423, 41fmpti 6574 . . . . . 6 𝐺:ℕ⟶ℝ
4342a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
4443ffvelrnda 6551 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4518a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
46 nnnn0 11548 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
4745, 46nn0mulcld 11605 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
482wallispilem3 40924 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ+)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ+)
5049rpred 12073 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ)
51 2nn 11347 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
53 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
5452, 53nnmulcld 11327 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
55 nnm1nn0 11583 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
572wallispilem3 40924 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ0 → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ+)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ+)
5958rpred 12073 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
6022a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
6147, 60nn0addcld 11604 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
622wallispilem3 40924 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0 → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ+)
6361, 62syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ+)
64 2cnd 11352 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
65 nncn 11285 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
6664, 65mulcld 10316 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
67 1cnd 10290 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
6866, 67npcand 10652 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) + 1) = (2 · 𝑘))
6968fveq2d 6381 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) − 1) + 1)) = (𝐼‘(2 · 𝑘)))
702, 56wallispilem1 40922 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) − 1) + 1)) ≤ (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
7169, 70eqbrtrrd 4835 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ≤ (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
7250, 59, 63, 71lediv1dd 12131 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
7366, 67addcld 10315 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
7410a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
75 nnne0 11312 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
7664, 65, 74, 75mulne0d 10935 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ≠ 0)
7773, 66, 76divcld 11057 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
7863rpcnd 12075 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
7963rpne0d 12078 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ≠ 0)
8077, 78, 79divcan4d 11063 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
81 2re 11348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
83 nnre 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
8482, 83remulcld 10326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
85 1red 10296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
8684, 85readdcld 10325 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
8745nn0ge0d 11603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
88 nnge1 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
8982, 83, 87, 88lemulge11d 11217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≤ (2 · 𝑘))
9084ltp1d 11210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) < ((2 · 𝑘) + 1))
9182, 84, 86, 89, 90lelttrd 10451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 2 < ((2 · 𝑘) + 1))
9282, 86, 91ltled 10441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
9345nn0zd 11730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
9461nn0zd 11730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ)
95 eluz 11903 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1)))
9693, 94, 95syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1)))
9792, 96mpbird 248 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ‘2))
982, 97itgsinexp 40811 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2))))
9966, 67pncand 10649 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
10099oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))
101 1e2m1 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (2 − 1)
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 1 = (2 − 1))
103102oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑘) − (2 − 1)))
10466, 64, 67subsub3d 10678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) − 2))
105103, 104eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) − 2) = ((2 · 𝑘) − 1))
106105fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2)) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
107100, 106oveq12d 6862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2))) = (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
10898, 107eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
109108oveq2d 6860 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))))
11054peano2nnd 11295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
111110nnne0d 11324 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
11266, 73, 111divcld 11057 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
11358rpcnd 12075 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
11477, 112, 113mulassd 10319 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))))
11573, 66, 111, 76divcan6d 11076 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = 1)
116115oveq1d 6859 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (1 · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
117113mulid2d 10314 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (1 · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
118116, 117eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
119109, 114, 1183eqtr2d 2805 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
120119oveq1d 6859 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
12180, 120eqtr3d 2801 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) = ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
12272, 121breqtrrd 4839 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
12349, 63rpdivcld 12090 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℝ+)
124 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑛𝑘
125 nfmpt1 4908 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
1262, 125nfcxfr 2905 . . . . . . . . . 10 𝑛𝐼
127 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛(2 · 𝑘)
128126, 127nffv 6387 . . . . . . . . 9 𝑛(𝐼‘(2 · 𝑘))
129 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑛 /
130 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛((2 · 𝑘) + 1)
131126, 130nffv 6387 . . . . . . . . 9 𝑛(𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))
132128, 129, 131nfov 6874 . . . . . . . 8 𝑛((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))
133 oveq2 6852 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
134133fveq2d 6381 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝐼‘(2 · 𝑛)) = (𝐼‘(2 · 𝑘)))
135133fvoveq1d 6866 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) = (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))
136134, 135oveq12d 6862 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
137124, 132, 136, 3fvmptf 6492 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℝ+) → (𝐺𝑘) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
138123, 137mpdan 678 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
1398a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛))))
140 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
141140oveq2d 6860 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
142141oveq1d 6859 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
143142, 141oveq12d 6862 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
144139, 143, 53, 77fvmptd 6479 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐿𝑘) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
145122, 138, 1443brtr4d 4843 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) ≤ (𝐿𝑘))
146145adantl 473 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐿𝑘))
14778, 79dividd 11055 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = 1)
14863rpred 12073 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
1492, 47wallispilem1 40922 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (𝐼‘(2 · 𝑘)))
150148, 50, 63, 149lediv1dd 12131 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
151147, 150eqbrtrrd 4835 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
152151, 138breqtrrd 4839 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐺𝑘))
153152adantl 473 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐺𝑘))
1546, 7, 13, 17, 35, 44, 146, 153climsqz2 14660 . . 3 (⊤ → 𝐺 ⇝ 1)
155154mptru 1660 . 2 𝐺 ⇝ 1
1565, 155eqbrtrri 4834 1 𝐻 ⇝ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wtru 1653  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350   class class class wbr 4811  cmpt 4890  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  cc 10189  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196  cle 10331  cmin 10522   / cdiv 10940  cn 11276  2c2 11329  0cn0 11540  cz 11626  cuz 11889  +crp 12031  (,)cioo 12380  seqcseq 13011  cexp 13070  cli 14503  sincsin 15079  πcpi 15082  citg 23679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cc 9512  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269  ax-addf 10270  ax-mulf 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-symdif 4007  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-disj 4780  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-of 7097  df-ofr 7098  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-supp 7500  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-2o 7767  df-oadd 7770  df-omul 7771  df-er 7949  df-map 8064  df-pm 8065  df-ixp 8116  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fsupp 8485  df-fi 8526  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-acn 9021  df-cda 9245  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12149  df-xadd 12150  df-xmul 12151  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-fl 12804  df-mod 12880  df-seq 13012  df-exp 13071  df-fac 13268  df-bc 13297  df-hash 13325  df-shft 14095  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-limsup 14490  df-clim 14507  df-rlim 14508  df-sum 14705  df-ef 15083  df-sin 15085  df-cos 15086  df-pi 15088  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-starv 16232  df-sca 16233  df-vsca 16234  df-ip 16235  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-unif 16240  df-hom 16241  df-cco 16242  df-rest 16352  df-topn 16353  df-0g 16371  df-gsum 16372  df-topgen 16373  df-pt 16374  df-prds 16377  df-xrs 16431  df-qtop 16436  df-imas 16437  df-xps 16439  df-mre 16515  df-mrc 16516  df-acs 16518  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-submnd 17605  df-mulg 17811  df-cntz 18016  df-cmn 18464  df-psmet 20014  df-xmet 20015  df-met 20016  df-bl 20017  df-mopn 20018  df-fbas 20019  df-fg 20020  df-cnfld 20023  df-top 20981  df-topon 20998  df-topsp 21020  df-bases 21033  df-cld 21106  df-ntr 21107  df-cls 21108  df-nei 21185  df-lp 21223  df-perf 21224  df-cn 21314  df-cnp 21315  df-haus 21402  df-cmp 21473  df-tx 21648  df-hmeo 21841  df-fil 21932  df-fm 22024  df-flim 22025  df-flf 22026  df-xms 22407  df-ms 22408  df-tms 22409  df-cncf 22963  df-ovol 23525  df-vol 23526  df-mbf 23680  df-itg1 23681  df-itg2 23682  df-ibl 23683  df-itg 23684  df-0p 23731  df-limc 23924  df-dv 23925
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