wallispilem5 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem wallispilem5 46084

Description: The sequence 𝐻 converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
wallispilem5.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
wallispilem5.2	⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
wallispilem5.3	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
wallispilem5.4	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
wallispilem5.5	⊢ 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))

**Assertion**
Ref	Expression
wallispilem5	⊢ 𝐻 ⇝ 1

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛,𝑥 𝑥,𝐹 𝑘,𝐺 𝑘,𝐿 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑘,𝑛) 𝐺(𝑥,𝑛) 𝐻(𝑥,𝑘,𝑛) 𝐼(𝑥,𝑘,𝑛) 𝐿(𝑥,𝑛)

**Proof of Theorem wallispilem5**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		wallispilem5.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
2		wallispilem5.2	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
3		wallispilem5.3	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
4		wallispilem5.4	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
5	1, 2, 3, 4	wallispilem4 46083	. 2 ⊢ 𝐺 = 𝐻
6		nnuz 12921	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
7		1zzd 12648	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
8		wallispilem5.5	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))
9		2cnd 12344	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
10		2ne0 12370	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
12		1cnd 11256	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
13	8, 9, 11, 12	clim1fr1 45616	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐿 ⇝ 1)
14		nnex 12272	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
15	14	mptex 7243	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V
16	3, 15	eqeltri 2837	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐺 ∈ V)
18		2nn0 12543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
20		nnnn0 12533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ₀)
21	19, 20	nn0mulcld 12592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
22		1nn0 12542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
24	21, 23	nn0addcld 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ₀)
25	24	nn0red 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
26	21	nn0red 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
27		2cnd 12344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
28		nncn 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
29	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
30		nnne0 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
31	27, 28, 29, 30	mulne0d 11915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ≠ 0)
32	25, 26, 31	redivcld 12095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
33	8, 32	fmpti 7132	. . . . . 6 ⊢ 𝐿:ℕ⟶ℝ
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
35	34	ffvelcdmda 7104	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐿‘𝑘) ∈ ℝ)
36	2	wallispilem3 46082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺)
37	21, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺)
38	37	rpred 13077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
39	2	wallispilem3 46082	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ⁺)
40	24, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ⁺)
41	38, 40	rerpdivcld 13108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℝ)
42	3, 41	fmpti 7132	. . . . . 6 ⊢ 𝐺:ℕ⟶ℝ
43	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
44	43	ffvelcdmda 7104	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
45	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
46		nnnn0 12533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ₀)
47	45, 46	nn0mulcld 12592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ₀)
48	2	wallispilem3 46082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ⁺)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ⁺)
50	49	rpred 13077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ)
51		2nn 12339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
53		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
54	52, 53	nnmulcld 12319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
55		nnm1nn0 12567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀)
57	2	wallispilem3 46082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ⁺)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ⁺)
59	58	rpred 13077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
60	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
61	47, 60	nn0addcld 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ₀)
62	2	wallispilem3 46082	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ⁺)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ⁺)
64		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
65		nncn 12274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
66	64, 65	mulcld 11281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
67		1cnd 11256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
68	66, 67	npcand 11624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) + 1) = (2 · 𝑘))
69	68	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) − 1) + 1)) = (𝐼‘(2 · 𝑘)))
70	2, 56	wallispilem1 46080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) − 1) + 1)) ≤ (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
71	69, 70	eqbrtrrd 5167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ≤ (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
72	50, 59, 63, 71	lediv1dd 13135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
73	66, 67	addcld 11280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
74	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
75		nnne0 12300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
76	64, 65, 74, 75	mulne0d 11915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ≠ 0)
77	73, 66, 76	divcld 12043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
78	63	rpcnd 13079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
79	63	rpne0d 13082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ≠ 0)
80	77, 78, 79	divcan4d 12049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
81		2re 12340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
83		nnre 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
84	82, 83	remulcld 11291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
85		1red 11262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
86	84, 85	readdcld 11290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
87	45	nn0ge0d 12590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
88		nnge1 12294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
89	82, 83, 87, 88	lemulge11d 12205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≤ (2 · 𝑘))
90	84	ltp1d 12198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) < ((2 · 𝑘) + 1))
91	82, 84, 86, 89, 90	lelttrd 11419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 < ((2 · 𝑘) + 1))
92	82, 86, 91	ltled 11409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
93	45	nn0zd 12639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
94	61	nn0zd 12639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ)
95		eluz 12892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1)))
96	93, 94, 95	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1)))
97	92, 96	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
98	2, 97	itgsinexp 45970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2))))
99	66, 67	pncand 11621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
100	99	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))
101		1e2m1 12393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = (2 − 1)
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 = (2 − 1))
103	102	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑘) − (2 − 1)))
104	66, 64, 67	subsub3d 11650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) − 2))
105	103, 104	eqtr2d 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) − 2) = ((2 · 𝑘) − 1))
106	105	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2)) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
107	100, 106	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2))) = (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
108	98, 107	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
109	108	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))))
110	54	peano2nnd 12283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
111	110	nnne0d 12316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
112	66, 73, 111	divcld 12043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
113	58	rpcnd 13079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
114	77, 112, 113	mulassd 11284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))))
115	73, 66, 111, 76	divcan6d 12062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = 1)
116	115	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (1 · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
117	113	mullidd 11279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
118	116, 117	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
119	109, 114, 118	3eqtr2d 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
120	119	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
121	80, 120	eqtr3d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) = ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
122	72, 121	breqtrrd 5171	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
123	49, 63	rpdivcld 13094	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℝ⁺)
124		nfcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
125		nfmpt1 5250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
126	2, 125	nfcxfr 2903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝐼
127		nfcv 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(2 · 𝑘)
128	126, 127	nffv 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐼‘(2 · 𝑘))
129		nfcv 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 /
130		nfcv 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((2 · 𝑘) + 1)
131	126, 130	nffv 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))
132	128, 129, 131	nfov 7461	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))
133		oveq2 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
134	133	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐼‘(2 · 𝑛)) = (𝐼‘(2 · 𝑘)))
135	133	fvoveq1d 7453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) = (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))
136	134, 135	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
137	124, 132, 136, 3	fvmptf 7037	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℝ⁺) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
138	123, 137	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
139	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛))))
140		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
141	140	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
142	141	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
143	142, 141	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
144	139, 143, 53, 77	fvmptd 7023	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐿‘𝑘) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
145	122, 138, 144	3brtr4d 5175	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐿‘𝑘))
146	145	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐿‘𝑘))
147	78, 79	dividd 12041	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = 1)
148	63	rpred 13077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
149	2, 47	wallispilem1 46080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (𝐼‘(2 · 𝑘)))
150	148, 50, 63, 149	lediv1dd 13135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
151	147, 150	eqbrtrrd 5167	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
152	151, 138	breqtrrd 5171	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐺‘𝑘))
153	152	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐺‘𝑘))
154	6, 7, 13, 17, 35, 44, 146, 153	climsqz2 15678	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 1)
155	154	mptru 1547	. 2 ⊢ 𝐺 ⇝ 1
156	5, 155	eqbrtrri 5166	1 ⊢ 𝐻 ⇝ 1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ⊤wtru 1541 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2940 Vcvv 3480 class class class wbr 5143 ↦ cmpt 5225 ⟶wf 6557 ‘cfv 6561 (class class class)co 7431 ℂcc 11153 ℝcr 11154 0cc0 11155 1c1 11156 + caddc 11158 · cmul 11160 ≤ cle 11296 − cmin 11492 / cdiv 11920 ℕcn 12266 2c2 12321 ℕ₀cn0 12526 ℤcz 12613 ℤ_≥cuz 12878 ℝ⁺crp 13034 (,)cioo 13387 seqcseq 14042 ↑cexp 14102 ⇝ cli 15520 sincsin 16099 πcpi 16102 ∫citg 25653

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-rep 5279 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-inf2 9681 ax-cc 10475 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232 ax-pre-sup 11233 ax-addf 11234

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-symdif 4253 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-tp 4631 df-op 4633 df-uni 4908 df-int 4947 df-iun 4993 df-iin 4994 df-disj 5111 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-isom 6570 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-of 7697 df-ofr 7698 df-om 7888 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-supp 8186 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-1o 8506 df-2o 8507 df-oadd 8510 df-omul 8511 df-er 8745 df-map 8868 df-pm 8869 df-ixp 8938 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-fin 8989 df-fsupp 9402 df-fi 9451 df-sup 9482 df-inf 9483 df-oi 9550 df-dju 9941 df-card 9979 df-acn 9982 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-div 11921 df-nn 12267 df-2 12329 df-3 12330 df-4 12331 df-5 12332 df-6 12333 df-7 12334 df-8 12335 df-9 12336 df-n0 12527 df-z 12614 df-dec 12734 df-uz 12879 df-q 12991 df-rp 13035 df-xneg 13154 df-xadd 13155 df-xmul 13156 df-ioo 13391 df-ioc 13392 df-ico 13393 df-icc 13394 df-fz 13548 df-fzo 13695 df-fl 13832 df-mod 13910 df-seq 14043 df-exp 14103 df-fac 14313 df-bc 14342 df-hash 14370 df-shft 15106 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-sqrt 15274 df-abs 15275 df-limsup 15507 df-clim 15524 df-rlim 15525 df-sum 15723 df-ef 16103 df-sin 16105 df-cos 16106 df-pi 16108 df-struct 17184 df-sets 17201 df-slot 17219 df-ndx 17231 df-base 17248 df-ress 17275 df-plusg 17310 df-mulr 17311 df-starv 17312 df-sca 17313 df-vsca 17314 df-ip 17315 df-tset 17316 df-ple 17317 df-ds 17319 df-unif 17320 df-hom 17321 df-cco 17322 df-rest 17467 df-topn 17468 df-0g 17486 df-gsum 17487 df-topgen 17488 df-pt 17489 df-prds 17492 df-xrs 17547 df-qtop 17552 df-imas 17553 df-xps 17555 df-mre 17629 df-mrc 17630 df-acs 17632 df-mgm 18653 df-sgrp 18732 df-mnd 18748 df-submnd 18797 df-mulg 19086 df-cntz 19335 df-cmn 19800 df-psmet 21356 df-xmet 21357 df-met 21358 df-bl 21359 df-mopn 21360 df-fbas 21361 df-fg 21362 df-cnfld 21365 df-top 22900 df-topon 22917 df-topsp 22939 df-bases 22953 df-cld 23027 df-ntr 23028 df-cls 23029 df-nei 23106 df-lp 23144 df-perf 23145 df-cn 23235 df-cnp 23236 df-haus 23323 df-cmp 23395 df-tx 23570 df-hmeo 23763 df-fil 23854 df-fm 23946 df-flim 23947 df-flf 23948 df-xms 24330 df-ms 24331 df-tms 24332 df-cncf 24904 df-ovol 25499 df-vol 25500 df-mbf 25654 df-itg1 25655 df-itg2 25656 df-ibl 25657 df-itg 25658 df-0p 25705 df-limc 25901 df-dv 25902

This theorem is referenced by: wallispi 46085

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