wallispilem5 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem wallispilem5 46050

Description: The sequence 𝐻 converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
wallispilem5.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
wallispilem5.2	⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
wallispilem5.3	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
wallispilem5.4	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
wallispilem5.5	⊢ 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))

**Assertion**
Ref	Expression
wallispilem5	⊢ 𝐻 ⇝ 1

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛,𝑥 𝑥,𝐹 𝑘,𝐺 𝑘,𝐿 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑘,𝑛) 𝐺(𝑥,𝑛) 𝐻(𝑥,𝑘,𝑛) 𝐼(𝑥,𝑘,𝑛) 𝐿(𝑥,𝑛)

**Proof of Theorem wallispilem5**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		wallispilem5.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
2		wallispilem5.2	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
3		wallispilem5.3	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
4		wallispilem5.4	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
5	1, 2, 3, 4	wallispilem4 46049	. 2 ⊢ 𝐺 = 𝐻
6		nnuz 12778	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
7		1zzd 12506	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
8		wallispilem5.5	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))
9		2cnd 12206	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
10		2ne0 12232	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
12		1cnd 11110	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
13	8, 9, 11, 12	clim1fr1 45582	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐿 ⇝ 1)
14		nnex 12134	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
15	14	mptex 7159	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V
16	3, 15	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐺 ∈ V)
18		2nn0 12401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
20		nnnn0 12391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ₀)
21	19, 20	nn0mulcld 12450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
22		1nn0 12400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
24	21, 23	nn0addcld 12449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ₀)
25	24	nn0red 12446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
26	21	nn0red 12446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
27		2cnd 12206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
28		nncn 12136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
29	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
30		nnne0 12162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
31	27, 28, 29, 30	mulne0d 11772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ≠ 0)
32	25, 26, 31	redivcld 11952	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
33	8, 32	fmpti 7046	. . . . . 6 ⊢ 𝐿:ℕ⟶ℝ
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
35	34	ffvelcdmda 7018	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐿‘𝑘) ∈ ℝ)
36	2	wallispilem3 46048	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺)
37	21, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺)
38	37	rpred 12937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
39	2	wallispilem3 46048	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ⁺)
40	24, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ⁺)
41	38, 40	rerpdivcld 12968	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℝ)
42	3, 41	fmpti 7046	. . . . . 6 ⊢ 𝐺:ℕ⟶ℝ
43	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
44	43	ffvelcdmda 7018	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
45	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
46		nnnn0 12391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ₀)
47	45, 46	nn0mulcld 12450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ₀)
48	2	wallispilem3 46048	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ⁺)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ⁺)
50	49	rpred 12937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ)
51		2nn 12201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
53		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
54	52, 53	nnmulcld 12181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
55		nnm1nn0 12425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀)
57	2	wallispilem3 46048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ⁺)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ⁺)
59	58	rpred 12937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
60	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
61	47, 60	nn0addcld 12449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ₀)
62	2	wallispilem3 46048	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ⁺)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ⁺)
64		2cnd 12206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
65		nncn 12136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
66	64, 65	mulcld 11135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
67		1cnd 11110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
68	66, 67	npcand 11479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) + 1) = (2 · 𝑘))
69	68	fveq2d 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) − 1) + 1)) = (𝐼‘(2 · 𝑘)))
70	2, 56	wallispilem1 46046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) − 1) + 1)) ≤ (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
71	69, 70	eqbrtrrd 5116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ≤ (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
72	50, 59, 63, 71	lediv1dd 12995	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
73	66, 67	addcld 11134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
74	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
75		nnne0 12162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
76	64, 65, 74, 75	mulne0d 11772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ≠ 0)
77	73, 66, 76	divcld 11900	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
78	63	rpcnd 12939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
79	63	rpne0d 12942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ≠ 0)
80	77, 78, 79	divcan4d 11906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
81		2re 12202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
83		nnre 12135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
84	82, 83	remulcld 11145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
85		1red 11116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
86	84, 85	readdcld 11144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
87	45	nn0ge0d 12448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
88		nnge1 12156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
89	82, 83, 87, 88	lemulge11d 12062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≤ (2 · 𝑘))
90	84	ltp1d 12055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) < ((2 · 𝑘) + 1))
91	82, 84, 86, 89, 90	lelttrd 11274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 < ((2 · 𝑘) + 1))
92	82, 86, 91	ltled 11264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
93	45	nn0zd 12497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
94	61	nn0zd 12497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ)
95		eluz 12749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1)))
96	93, 94, 95	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1)))
97	92, 96	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
98	2, 97	itgsinexp 45936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2))))
99	66, 67	pncand 11476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
100	99	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))
101		1e2m1 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = (2 − 1)
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 = (2 − 1))
103	102	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑘) − (2 − 1)))
104	66, 64, 67	subsub3d 11505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) − 2))
105	103, 104	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) − 2) = ((2 · 𝑘) − 1))
106	105	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2)) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
107	100, 106	oveq12d 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2))) = (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
108	98, 107	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
109	108	oveq2d 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))))
110	54	peano2nnd 12145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
111	110	nnne0d 12178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
112	66, 73, 111	divcld 11900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
113	58	rpcnd 12939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
114	77, 112, 113	mulassd 11138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))))
115	73, 66, 111, 76	divcan6d 11919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = 1)
116	115	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (1 · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
117	113	mullidd 11133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
118	116, 117	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
119	109, 114, 118	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
120	119	oveq1d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
121	80, 120	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) = ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
122	72, 121	breqtrrd 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
123	49, 63	rpdivcld 12954	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℝ⁺)
124		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
125		nfmpt1 5191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
126	2, 125	nfcxfr 2889	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝐼
127		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(2 · 𝑘)
128	126, 127	nffv 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐼‘(2 · 𝑘))
129		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 /
130		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((2 · 𝑘) + 1)
131	126, 130	nffv 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))
132	128, 129, 131	nfov 7379	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))
133		oveq2 7357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
134	133	fveq2d 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐼‘(2 · 𝑛)) = (𝐼‘(2 · 𝑘)))
135	133	fvoveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) = (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))
136	134, 135	oveq12d 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
137	124, 132, 136, 3	fvmptf 6951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℝ⁺) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
138	123, 137	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
139	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛))))
140		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
141	140	oveq2d 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
142	141	oveq1d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
143	142, 141	oveq12d 7367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
144	139, 143, 53, 77	fvmptd 6937	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐿‘𝑘) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
145	122, 138, 144	3brtr4d 5124	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐿‘𝑘))
146	145	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐿‘𝑘))
147	78, 79	dividd 11898	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = 1)
148	63	rpred 12937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
149	2, 47	wallispilem1 46046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (𝐼‘(2 · 𝑘)))
150	148, 50, 63, 149	lediv1dd 12995	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
151	147, 150	eqbrtrrd 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
152	151, 138	breqtrrd 5120	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐺‘𝑘))
153	152	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐺‘𝑘))
154	6, 7, 13, 17, 35, 44, 146, 153	climsqz2 15549	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 1)
155	154	mptru 1547	. 2 ⊢ 𝐺 ⇝ 1
156	5, 155	eqbrtrri 5115	1 ⊢ 𝐻 ⇝ 1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ⊤wtru 1541 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 Vcvv 3436 class class class wbr 5092 ↦ cmpt 5173 ⟶wf 6478 ‘cfv 6482 (class class class)co 7349 ℂcc 11007 ℝcr 11008 0cc0 11009 1c1 11010 + caddc 11012 · cmul 11014 ≤ cle 11150 − cmin 11347 / cdiv 11777 ℕcn 12128 2c2 12183 ℕ₀cn0 12384 ℤcz 12471 ℤ_≥cuz 12735 ℝ⁺crp 12893 (,)cioo 13248 seqcseq 13908 ↑cexp 13968 ⇝ cli 15391 sincsin 15970 πcpi 15973 ∫citg 25517

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5218 ax-sep 5235 ax-nul 5245 ax-pow 5304 ax-pr 5371 ax-un 7671 ax-inf2 9537 ax-cc 10329 ax-cnex 11065 ax-resscn 11066 ax-1cn 11067 ax-icn 11068 ax-addcl 11069 ax-addrcl 11070 ax-mulcl 11071 ax-mulrcl 11072 ax-mulcom 11073 ax-addass 11074 ax-mulass 11075 ax-distr 11076 ax-i2m1 11077 ax-1ne0 11078 ax-1rid 11079 ax-rnegex 11080 ax-rrecex 11081 ax-cnre 11082 ax-pre-lttri 11083 ax-pre-lttrn 11084 ax-pre-ltadd 11085 ax-pre-mulgt0 11086 ax-pre-sup 11087 ax-addf 11088

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3395 df-v 3438 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-symdif 4204 df-nul 4285 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-tp 4582 df-op 4584 df-uni 4859 df-int 4897 df-iun 4943 df-iin 4944 df-disj 5060 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5174 df-tr 5200 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-se 5573 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6249 df-ord 6310 df-on 6311 df-lim 6312 df-suc 6313 df-iota 6438 df-fun 6484 df-fn 6485 df-f 6486 df-f1 6487 df-fo 6488 df-f1o 6489 df-fv 6490 df-isom 6491 df-riota 7306 df-ov 7352 df-oprab 7353 df-mpo 7354 df-of 7613 df-ofr 7614 df-om 7800 df-1st 7924 df-2nd 7925 df-supp 8094 df-frecs 8214 df-wrecs 8245 df-recs 8294 df-rdg 8332 df-1o 8388 df-2o 8389 df-oadd 8392 df-omul 8393 df-er 8625 df-map 8755 df-pm 8756 df-ixp 8825 df-en 8873 df-dom 8874 df-sdom 8875 df-fin 8876 df-fsupp 9252 df-fi 9301 df-sup 9332 df-inf 9333 df-oi 9402 df-dju 9797 df-card 9835 df-acn 9838 df-pnf 11151 df-mnf 11152 df-xr 11153 df-ltxr 11154 df-le 11155 df-sub 11349 df-neg 11350 df-div 11778 df-nn 12129 df-2 12191 df-3 12192 df-4 12193 df-5 12194 df-6 12195 df-7 12196 df-8 12197 df-9 12198 df-n0 12385 df-z 12472 df-dec 12592 df-uz 12736 df-q 12850 df-rp 12894 df-xneg 13014 df-xadd 13015 df-xmul 13016 df-ioo 13252 df-ioc 13253 df-ico 13254 df-icc 13255 df-fz 13411 df-fzo 13558 df-fl 13696 df-mod 13774 df-seq 13909 df-exp 13969 df-fac 14181 df-bc 14210 df-hash 14238 df-shft 14974 df-cj 15006 df-re 15007 df-im 15008 df-sqrt 15142 df-abs 15143 df-limsup 15378 df-clim 15395 df-rlim 15396 df-sum 15594 df-ef 15974 df-sin 15976 df-cos 15977 df-pi 15979 df-struct 17058 df-sets 17075 df-slot 17093 df-ndx 17105 df-base 17121 df-ress 17142 df-plusg 17174 df-mulr 17175 df-starv 17176 df-sca 17177 df-vsca 17178 df-ip 17179 df-tset 17180 df-ple 17181 df-ds 17183 df-unif 17184 df-hom 17185 df-cco 17186 df-rest 17326 df-topn 17327 df-0g 17345 df-gsum 17346 df-topgen 17347 df-pt 17348 df-prds 17351 df-xrs 17406 df-qtop 17411 df-imas 17412 df-xps 17414 df-mre 17488 df-mrc 17489 df-acs 17491 df-mgm 18514 df-sgrp 18593 df-mnd 18609 df-submnd 18658 df-mulg 18947 df-cntz 19196 df-cmn 19661 df-psmet 21253 df-xmet 21254 df-met 21255 df-bl 21256 df-mopn 21257 df-fbas 21258 df-fg 21259 df-cnfld 21262 df-top 22779 df-topon 22796 df-topsp 22818 df-bases 22831 df-cld 22904 df-ntr 22905 df-cls 22906 df-nei 22983 df-lp 23021 df-perf 23022 df-cn 23112 df-cnp 23113 df-haus 23200 df-cmp 23272 df-tx 23447 df-hmeo 23640 df-fil 23731 df-fm 23823 df-flim 23824 df-flf 23825 df-xms 24206 df-ms 24207 df-tms 24208 df-cncf 24769 df-ovol 25363 df-vol 25364 df-mbf 25518 df-itg1 25519 df-itg2 25520 df-ibl 25521 df-itg 25522 df-0p 25569 df-limc 25765 df-dv 25766

This theorem is referenced by: wallispi 46051

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