wallispilem5 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem wallispilem5 46074

Description: The sequence 𝐻 converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
wallispilem5.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
wallispilem5.2	⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
wallispilem5.3	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
wallispilem5.4	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
wallispilem5.5	⊢ 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))

**Assertion**
Ref	Expression
wallispilem5	⊢ 𝐻 ⇝ 1

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛,𝑥 𝑥,𝐹 𝑘,𝐺 𝑘,𝐿 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑘,𝑛) 𝐺(𝑥,𝑛) 𝐻(𝑥,𝑘,𝑛) 𝐼(𝑥,𝑘,𝑛) 𝐿(𝑥,𝑛)

**Proof of Theorem wallispilem5**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		wallispilem5.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
2		wallispilem5.2	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
3		wallispilem5.3	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
4		wallispilem5.4	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
5	1, 2, 3, 4	wallispilem4 46073	. 2 ⊢ 𝐺 = 𝐻
6		nnuz 12843	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
7		1zzd 12571	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
8		wallispilem5.5	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))
9		2cnd 12271	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
10		2ne0 12297	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
12		1cnd 11176	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
13	8, 9, 11, 12	clim1fr1 45606	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐿 ⇝ 1)
14		nnex 12199	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
15	14	mptex 7200	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V
16	3, 15	eqeltri 2825	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐺 ∈ V)
18		2nn0 12466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
20		nnnn0 12456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ₀)
21	19, 20	nn0mulcld 12515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
22		1nn0 12465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
24	21, 23	nn0addcld 12514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ₀)
25	24	nn0red 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
26	21	nn0red 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
27		2cnd 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
28		nncn 12201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
29	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
30		nnne0 12227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
31	27, 28, 29, 30	mulne0d 11837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ≠ 0)
32	25, 26, 31	redivcld 12017	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
33	8, 32	fmpti 7087	. . . . . 6 ⊢ 𝐿:ℕ⟶ℝ
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
35	34	ffvelcdmda 7059	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐿‘𝑘) ∈ ℝ)
36	2	wallispilem3 46072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺)
37	21, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺)
38	37	rpred 13002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
39	2	wallispilem3 46072	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ⁺)
40	24, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ⁺)
41	38, 40	rerpdivcld 13033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℝ)
42	3, 41	fmpti 7087	. . . . . 6 ⊢ 𝐺:ℕ⟶ℝ
43	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
44	43	ffvelcdmda 7059	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
45	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
46		nnnn0 12456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ₀)
47	45, 46	nn0mulcld 12515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ₀)
48	2	wallispilem3 46072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ⁺)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ⁺)
50	49	rpred 13002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ)
51		2nn 12266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
53		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
54	52, 53	nnmulcld 12246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
55		nnm1nn0 12490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀)
57	2	wallispilem3 46072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ⁺)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ⁺)
59	58	rpred 13002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
60	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
61	47, 60	nn0addcld 12514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ₀)
62	2	wallispilem3 46072	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ⁺)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ⁺)
64		2cnd 12271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
65		nncn 12201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
66	64, 65	mulcld 11201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
67		1cnd 11176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
68	66, 67	npcand 11544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) + 1) = (2 · 𝑘))
69	68	fveq2d 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) − 1) + 1)) = (𝐼‘(2 · 𝑘)))
70	2, 56	wallispilem1 46070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) − 1) + 1)) ≤ (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
71	69, 70	eqbrtrrd 5134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ≤ (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
72	50, 59, 63, 71	lediv1dd 13060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
73	66, 67	addcld 11200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
74	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
75		nnne0 12227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
76	64, 65, 74, 75	mulne0d 11837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ≠ 0)
77	73, 66, 76	divcld 11965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
78	63	rpcnd 13004	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
79	63	rpne0d 13007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ≠ 0)
80	77, 78, 79	divcan4d 11971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
81		2re 12267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
83		nnre 12200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
84	82, 83	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
85		1red 11182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
86	84, 85	readdcld 11210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
87	45	nn0ge0d 12513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
88		nnge1 12221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
89	82, 83, 87, 88	lemulge11d 12127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≤ (2 · 𝑘))
90	84	ltp1d 12120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) < ((2 · 𝑘) + 1))
91	82, 84, 86, 89, 90	lelttrd 11339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 < ((2 · 𝑘) + 1))
92	82, 86, 91	ltled 11329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
93	45	nn0zd 12562	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
94	61	nn0zd 12562	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ)
95		eluz 12814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1)))
96	93, 94, 95	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1)))
97	92, 96	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
98	2, 97	itgsinexp 45960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2))))
99	66, 67	pncand 11541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
100	99	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))
101		1e2m1 12315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = (2 − 1)
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 = (2 − 1))
103	102	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑘) − (2 − 1)))
104	66, 64, 67	subsub3d 11570	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) − 2))
105	103, 104	eqtr2d 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) − 2) = ((2 · 𝑘) − 1))
106	105	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2)) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
107	100, 106	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2))) = (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
108	98, 107	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
109	108	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))))
110	54	peano2nnd 12210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
111	110	nnne0d 12243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
112	66, 73, 111	divcld 11965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
113	58	rpcnd 13004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
114	77, 112, 113	mulassd 11204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))))
115	73, 66, 111, 76	divcan6d 11984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = 1)
116	115	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (1 · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
117	113	mullidd 11199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
118	116, 117	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
119	109, 114, 118	3eqtr2d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
120	119	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
121	80, 120	eqtr3d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) = ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
122	72, 121	breqtrrd 5138	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
123	49, 63	rpdivcld 13019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℝ⁺)
124		nfcv 2892	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
125		nfmpt1 5209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
126	2, 125	nfcxfr 2890	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝐼
127		nfcv 2892	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(2 · 𝑘)
128	126, 127	nffv 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐼‘(2 · 𝑘))
129		nfcv 2892	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 /
130		nfcv 2892	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((2 · 𝑘) + 1)
131	126, 130	nffv 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))
132	128, 129, 131	nfov 7420	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))
133		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
134	133	fveq2d 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐼‘(2 · 𝑛)) = (𝐼‘(2 · 𝑘)))
135	133	fvoveq1d 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) = (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))
136	134, 135	oveq12d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
137	124, 132, 136, 3	fvmptf 6992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℝ⁺) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
138	123, 137	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
139	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛))))
140		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
141	140	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
142	141	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
143	142, 141	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
144	139, 143, 53, 77	fvmptd 6978	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐿‘𝑘) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
145	122, 138, 144	3brtr4d 5142	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐿‘𝑘))
146	145	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐿‘𝑘))
147	78, 79	dividd 11963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = 1)
148	63	rpred 13002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
149	2, 47	wallispilem1 46070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (𝐼‘(2 · 𝑘)))
150	148, 50, 63, 149	lediv1dd 13060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
151	147, 150	eqbrtrrd 5134	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
152	151, 138	breqtrrd 5138	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐺‘𝑘))
153	152	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐺‘𝑘))
154	6, 7, 13, 17, 35, 44, 146, 153	climsqz2 15615	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 1)
155	154	mptru 1547	. 2 ⊢ 𝐺 ⇝ 1
156	5, 155	eqbrtrri 5133	1 ⊢ 𝐻 ⇝ 1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ⊤wtru 1541 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2926 Vcvv 3450 class class class wbr 5110 ↦ cmpt 5191 ⟶wf 6510 ‘cfv 6514 (class class class)co 7390 ℂcc 11073 ℝcr 11074 0cc0 11075 1c1 11076 + caddc 11078 · cmul 11080 ≤ cle 11216 − cmin 11412 / cdiv 11842 ℕcn 12193 2c2 12248 ℕ₀cn0 12449 ℤcz 12536 ℤ_≥cuz 12800 ℝ⁺crp 12958 (,)cioo 13313 seqcseq 13973 ↑cexp 14033 ⇝ cli 15457 sincsin 16036 πcpi 16039 ∫citg 25526

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-rep 5237 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-inf2 9601 ax-cc 10395 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-pre-sup 11153 ax-addf 11154

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-symdif 4219 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-tp 4597 df-op 4599 df-uni 4875 df-int 4914 df-iun 4960 df-iin 4961 df-disj 5078 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-se 5595 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-isom 6523 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-of 7656 df-ofr 7657 df-om 7846 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8143 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-oadd 8441 df-omul 8442 df-er 8674 df-map 8804 df-pm 8805 df-ixp 8874 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-fsupp 9320 df-fi 9369 df-sup 9400 df-inf 9401 df-oi 9470 df-dju 9861 df-card 9899 df-acn 9902 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-div 11843 df-nn 12194 df-2 12256 df-3 12257 df-4 12258 df-5 12259 df-6 12260 df-7 12261 df-8 12262 df-9 12263 df-n0 12450 df-z 12537 df-dec 12657 df-uz 12801 df-q 12915 df-rp 12959 df-xneg 13079 df-xadd 13080 df-xmul 13081 df-ioo 13317 df-ioc 13318 df-ico 13319 df-icc 13320 df-fz 13476 df-fzo 13623 df-fl 13761 df-mod 13839 df-seq 13974 df-exp 14034 df-fac 14246 df-bc 14275 df-hash 14303 df-shft 15040 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209 df-limsup 15444 df-clim 15461 df-rlim 15462 df-sum 15660 df-ef 16040 df-sin 16042 df-cos 16043 df-pi 16045 df-struct 17124 df-sets 17141 df-slot 17159 df-ndx 17171 df-base 17187 df-ress 17208 df-plusg 17240 df-mulr 17241 df-starv 17242 df-sca 17243 df-vsca 17244 df-ip 17245 df-tset 17246 df-ple 17247 df-ds 17249 df-unif 17250 df-hom 17251 df-cco 17252 df-rest 17392 df-topn 17393 df-0g 17411 df-gsum 17412 df-topgen 17413 df-pt 17414 df-prds 17417 df-xrs 17472 df-qtop 17477 df-imas 17478 df-xps 17480 df-mre 17554 df-mrc 17555 df-acs 17557 df-mgm 18574 df-sgrp 18653 df-mnd 18669 df-submnd 18718 df-mulg 19007 df-cntz 19256 df-cmn 19719 df-psmet 21263 df-xmet 21264 df-met 21265 df-bl 21266 df-mopn 21267 df-fbas 21268 df-fg 21269 df-cnfld 21272 df-top 22788 df-topon 22805 df-topsp 22827 df-bases 22840 df-cld 22913 df-ntr 22914 df-cls 22915 df-nei 22992 df-lp 23030 df-perf 23031 df-cn 23121 df-cnp 23122 df-haus 23209 df-cmp 23281 df-tx 23456 df-hmeo 23649 df-fil 23740 df-fm 23832 df-flim 23833 df-flf 23834 df-xms 24215 df-ms 24216 df-tms 24217 df-cncf 24778 df-ovol 25372 df-vol 25373 df-mbf 25527 df-itg1 25528 df-itg2 25529 df-ibl 25530 df-itg 25531 df-0p 25578 df-limc 25774 df-dv 25775

This theorem is referenced by: wallispi 46075

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