wallispilem5 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem wallispilem5 43285

Description: The sequence 𝐻 converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
wallispilem5.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
wallispilem5.2	⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
wallispilem5.3	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
wallispilem5.4	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
wallispilem5.5	⊢ 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))

**Assertion**
Ref	Expression
wallispilem5	⊢ 𝐻 ⇝ 1

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛,𝑥 𝑥,𝐹 𝑘,𝐺 𝑘,𝐿 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑘,𝑛) 𝐺(𝑥,𝑛) 𝐻(𝑥,𝑘,𝑛) 𝐼(𝑥,𝑘,𝑛) 𝐿(𝑥,𝑛)

**Proof of Theorem wallispilem5**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		wallispilem5.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
2		wallispilem5.2	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
3		wallispilem5.3	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
4		wallispilem5.4	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
5	1, 2, 3, 4	wallispilem4 43284	. 2 ⊢ 𝐺 = 𝐻
6		nnuz 12477	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
7		1zzd 12208	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
8		wallispilem5.5	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))
9		2cnd 11908	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
10		2ne0 11934	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
12		1cnd 10828	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
13	8, 9, 11, 12	clim1fr1 42817	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐿 ⇝ 1)
14		nnex 11836	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
15	14	mptex 7039	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V
16	3, 15	eqeltri 2834	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐺 ∈ V)
18		2nn0 12107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
20		nnnn0 12097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ₀)
21	19, 20	nn0mulcld 12155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
22		1nn0 12106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
24	21, 23	nn0addcld 12154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ₀)
25	24	nn0red 12151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
26	21	nn0red 12151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
27		2cnd 11908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
28		nncn 11838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
29	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
30		nnne0 11864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
31	27, 28, 29, 30	mulne0d 11484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ≠ 0)
32	25, 26, 31	redivcld 11660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
33	8, 32	fmpti 6929	. . . . . 6 ⊢ 𝐿:ℕ⟶ℝ
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
35	34	ffvelrnda 6904	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐿‘𝑘) ∈ ℝ)
36	2	wallispilem3 43283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺)
37	21, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺)
38	37	rpred 12628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
39	2	wallispilem3 43283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ⁺)
40	24, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ⁺)
41	38, 40	rerpdivcld 12659	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℝ)
42	3, 41	fmpti 6929	. . . . . 6 ⊢ 𝐺:ℕ⟶ℝ
43	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
44	43	ffvelrnda 6904	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
45	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
46		nnnn0 12097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ₀)
47	45, 46	nn0mulcld 12155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ₀)
48	2	wallispilem3 43283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ⁺)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ⁺)
50	49	rpred 12628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ)
51		2nn 11903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
53		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
54	52, 53	nnmulcld 11883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
55		nnm1nn0 12131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑘) ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀)
57	2	wallispilem3 43283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ⁺)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ⁺)
59	58	rpred 12628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
60	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
61	47, 60	nn0addcld 12154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ₀)
62	2	wallispilem3 43283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ⁺)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ⁺)
64		2cnd 11908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
65		nncn 11838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
66	64, 65	mulcld 10853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
67		1cnd 10828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
68	66, 67	npcand 11193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) + 1) = (2 · 𝑘))
69	68	fveq2d 6721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) − 1) + 1)) = (𝐼‘(2 · 𝑘)))
70	2, 56	wallispilem1 43281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) − 1) + 1)) ≤ (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
71	69, 70	eqbrtrrd 5077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ≤ (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
72	50, 59, 63, 71	lediv1dd 12686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
73	66, 67	addcld 10852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
74	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
75		nnne0 11864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
76	64, 65, 74, 75	mulne0d 11484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ≠ 0)
77	73, 66, 76	divcld 11608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
78	63	rpcnd 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
79	63	rpne0d 12633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ≠ 0)
80	77, 78, 79	divcan4d 11614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
81		2re 11904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
83		nnre 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
84	82, 83	remulcld 10863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
85		1red 10834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
86	84, 85	readdcld 10862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
87	45	nn0ge0d 12153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
88		nnge1 11858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
89	82, 83, 87, 88	lemulge11d 11769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≤ (2 · 𝑘))
90	84	ltp1d 11762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) < ((2 · 𝑘) + 1))
91	82, 84, 86, 89, 90	lelttrd 10990	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 < ((2 · 𝑘) + 1))
92	82, 86, 91	ltled 10980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
93	45	nn0zd 12280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
94	61	nn0zd 12280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ)
95		eluz 12452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1)))
96	93, 94, 95	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1)))
97	92, 96	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
98	2, 97	itgsinexp 43171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2))))
99	66, 67	pncand 11190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
100	99	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))
101		1e2m1 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = (2 − 1)
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 = (2 − 1))
103	102	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑘) − (2 − 1)))
104	66, 64, 67	subsub3d 11219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) − 2))
105	103, 104	eqtr2d 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) − 2) = ((2 · 𝑘) − 1))
106	105	fveq2d 6721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2)) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
107	100, 106	oveq12d 7231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2))) = (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
108	98, 107	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
109	108	oveq2d 7229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))))
110	54	peano2nnd 11847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
111	110	nnne0d 11880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
112	66, 73, 111	divcld 11608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
113	58	rpcnd 12630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
114	77, 112, 113	mulassd 10856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))))
115	73, 66, 111, 76	divcan6d 11627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = 1)
116	115	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (1 · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
117	113	mulid2d 10851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
118	116, 117	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
119	109, 114, 118	3eqtr2d 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
120	119	oveq1d 7228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
121	80, 120	eqtr3d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) = ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
122	72, 121	breqtrrd 5081	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
123	49, 63	rpdivcld 12645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℝ⁺)
124		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
125		nfmpt1 5153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
126	2, 125	nfcxfr 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝐼
127		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(2 · 𝑘)
128	126, 127	nffv 6727	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐼‘(2 · 𝑘))
129		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 /
130		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((2 · 𝑘) + 1)
131	126, 130	nffv 6727	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))
132	128, 129, 131	nfov 7243	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))
133		oveq2 7221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
134	133	fveq2d 6721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐼‘(2 · 𝑛)) = (𝐼‘(2 · 𝑘)))
135	133	fvoveq1d 7235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) = (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))
136	134, 135	oveq12d 7231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
137	124, 132, 136, 3	fvmptf 6839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℝ⁺) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
138	123, 137	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
139	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛))))
140		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
141	140	oveq2d 7229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
142	141	oveq1d 7228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
143	142, 141	oveq12d 7231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
144	139, 143, 53, 77	fvmptd 6825	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐿‘𝑘) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
145	122, 138, 144	3brtr4d 5085	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐿‘𝑘))
146	145	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐿‘𝑘))
147	78, 79	dividd 11606	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = 1)
148	63	rpred 12628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
149	2, 47	wallispilem1 43281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (𝐼‘(2 · 𝑘)))
150	148, 50, 63, 149	lediv1dd 12686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
151	147, 150	eqbrtrrd 5077	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
152	151, 138	breqtrrd 5081	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐺‘𝑘))
153	152	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐺‘𝑘))
154	6, 7, 13, 17, 35, 44, 146, 153	climsqz2 15203	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 1)
155	154	mptru 1550	. 2 ⊢ 𝐺 ⇝ 1
156	5, 155	eqbrtrri 5076	1 ⊢ 𝐻 ⇝ 1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ↔ wb 209 ∧ wa 399 = wceq 1543 ⊤wtru 1544 ∈ wcel 2110 ≠ wne 2940 Vcvv 3408 class class class wbr 5053 ↦ cmpt 5135 ⟶wf 6376 ‘cfv 6380 (class class class)co 7213 ℂcc 10727 ℝcr 10728 0cc0 10729 1c1 10730 + caddc 10732 · cmul 10734 ≤ cle 10868 − cmin 11062 / cdiv 11489 ℕcn 11830 2c2 11885 ℕ₀cn0 12090 ℤcz 12176 ℤ_≥cuz 12438 ℝ⁺crp 12586 (,)cioo 12935 seqcseq 13574 ↑cexp 13635 ⇝ cli 15045 sincsin 15625 πcpi 15628 ∫citg 24515

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1976 ax-7 2016 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2708 ax-rep 5179 ax-sep 5192 ax-nul 5199 ax-pow 5258 ax-pr 5322 ax-un 7523 ax-inf2 9256 ax-cc 10049 ax-cnex 10785 ax-resscn 10786 ax-1cn 10787 ax-icn 10788 ax-addcl 10789 ax-addrcl 10790 ax-mulcl 10791 ax-mulrcl 10792 ax-mulcom 10793 ax-addass 10794 ax-mulass 10795 ax-distr 10796 ax-i2m1 10797 ax-1ne0 10798 ax-1rid 10799 ax-rnegex 10800 ax-rrecex 10801 ax-cnre 10802 ax-pre-lttri 10803 ax-pre-lttrn 10804 ax-pre-ltadd 10805 ax-pre-mulgt0 10806 ax-pre-sup 10807 ax-addf 10808 ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 848 df-3or 1090 df-3an 1091 df-tru 1546 df-fal 1556 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2071 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3066 df-rex 3067 df-reu 3068 df-rmo 3069 df-rab 3070 df-v 3410 df-sbc 3695 df-csb 3812 df-dif 3869 df-un 3871 df-in 3873 df-ss 3883 df-pss 3885 df-symdif 4157 df-nul 4238 df-if 4440 df-pw 4515 df-sn 4542 df-pr 4544 df-tp 4546 df-op 4548 df-uni 4820 df-int 4860 df-iun 4906 df-iin 4907 df-disj 5019 df-br 5054 df-opab 5116 df-mpt 5136 df-tr 5162 df-id 5455 df-eprel 5460 df-po 5468 df-so 5469 df-fr 5509 df-se 5510 df-we 5511 df-xp 5557 df-rel 5558 df-cnv 5559 df-co 5560 df-dm 5561 df-rn 5562 df-res 5563 df-ima 5564 df-pred 6160 df-ord 6216 df-on 6217 df-lim 6218 df-suc 6219 df-iota 6338 df-fun 6382 df-fn 6383 df-f 6384 df-f1 6385 df-fo 6386 df-f1o 6387 df-fv 6388 df-isom 6389 df-riota 7170 df-ov 7216 df-oprab 7217 df-mpo 7218 df-of 7469 df-ofr 7470 df-om 7645 df-1st 7761 df-2nd 7762 df-supp 7904 df-wrecs 8047 df-recs 8108 df-rdg 8146 df-1o 8202 df-2o 8203 df-oadd 8206 df-omul 8207 df-er 8391 df-map 8510 df-pm 8511 df-ixp 8579 df-en 8627 df-dom 8628 df-sdom 8629 df-fin 8630 df-fsupp 8986 df-fi 9027 df-sup 9058 df-inf 9059 df-oi 9126 df-dju 9517 df-card 9555 df-acn 9558 df-pnf 10869 df-mnf 10870 df-xr 10871 df-ltxr 10872 df-le 10873 df-sub 11064 df-neg 11065 df-div 11490 df-nn 11831 df-2 11893 df-3 11894 df-4 11895 df-5 11896 df-6 11897 df-7 11898 df-8 11899 df-9 11900 df-n0 12091 df-z 12177 df-dec 12294 df-uz 12439 df-q 12545 df-rp 12587 df-xneg 12704 df-xadd 12705 df-xmul 12706 df-ioo 12939 df-ioc 12940 df-ico 12941 df-icc 12942 df-fz 13096 df-fzo 13239 df-fl 13367 df-mod 13443 df-seq 13575 df-exp 13636 df-fac 13840 df-bc 13869 df-hash 13897 df-shft 14630 df-cj 14662 df-re 14663 df-im 14664 df-sqrt 14798 df-abs 14799 df-limsup 15032 df-clim 15049 df-rlim 15050 df-sum 15250 df-ef 15629 df-sin 15631 df-cos 15632 df-pi 15634 df-struct 16700 df-sets 16717 df-slot 16735 df-ndx 16745 df-base 16761 df-ress 16785 df-plusg 16815 df-mulr 16816 df-starv 16817 df-sca 16818 df-vsca 16819 df-ip 16820 df-tset 16821 df-ple 16822 df-ds 16824 df-unif 16825 df-hom 16826 df-cco 16827 df-rest 16927 df-topn 16928 df-0g 16946 df-gsum 16947 df-topgen 16948 df-pt 16949 df-prds 16952 df-xrs 17007 df-qtop 17012 df-imas 17013 df-xps 17015 df-mre 17089 df-mrc 17090 df-acs 17092 df-mgm 18114 df-sgrp 18163 df-mnd 18174 df-submnd 18219 df-mulg 18489 df-cntz 18711 df-cmn 19172 df-psmet 20355 df-xmet 20356 df-met 20357 df-bl 20358 df-mopn 20359 df-fbas 20360 df-fg 20361 df-cnfld 20364 df-top 21791 df-topon 21808 df-topsp 21830 df-bases 21843 df-cld 21916 df-ntr 21917 df-cls 21918 df-nei 21995 df-lp 22033 df-perf 22034 df-cn 22124 df-cnp 22125 df-haus 22212 df-cmp 22284 df-tx 22459 df-hmeo 22652 df-fil 22743 df-fm 22835 df-flim 22836 df-flf 22837 df-xms 23218 df-ms 23219 df-tms 23220 df-cncf 23775 df-ovol 24361 df-vol 24362 df-mbf 24516 df-itg1 24517 df-itg2 24518 df-ibl 24519 df-itg 24520 df-0p 24567 df-limc 24763 df-dv 24764

This theorem is referenced by: wallispi 43286

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