Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqid 2733 |
. 2
β’
(β€β₯βπ) = (β€β₯βπ) |
2 | | sumrb.3 |
. . 3
β’ (π β π β (β€β₯βπ)) |
3 | | eluzelz 12778 |
. . 3
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β β€) |
4 | 2, 3 | syl 17 |
. 2
β’ (π β π β β€) |
5 | | seqex 13914 |
. . 3
β’ seqπ( + , πΉ) β V |
6 | 5 | a1i 11 |
. 2
β’ (π β seqπ( + , πΉ) β V) |
7 | | eqid 2733 |
. . . 4
β’
(β€β₯βπ) = (β€β₯βπ) |
8 | | eluzel2 12773 |
. . . . 5
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β β€) |
9 | 2, 8 | syl 17 |
. . . 4
β’ (π β π β β€) |
10 | | eluzelz 12778 |
. . . . . 6
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β β€) |
11 | | iftrue 4493 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΄ β if(π β π΄, π΅, 0) = π΅) |
12 | 11 | adantl 483 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β π΄) β if(π β π΄, π΅, 0) = π΅) |
13 | | summo.2 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β π΄) β π΅ β β) |
14 | 12, 13 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β π΄) β if(π β π΄, π΅, 0) β β) |
15 | 14 | ex 414 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π β π΄ β if(π β π΄, π΅, 0) β β)) |
16 | | iffalse 4496 |
. . . . . . . 8
β’ (Β¬
π β π΄ β if(π β π΄, π΅, 0) = 0) |
17 | | 0cn 11152 |
. . . . . . . 8
β’ 0 β
β |
18 | 16, 17 | eqeltrdi 2842 |
. . . . . . 7
β’ (Β¬
π β π΄ β if(π β π΄, π΅, 0) β β) |
19 | 15, 18 | pm2.61d1 180 |
. . . . . 6
β’ (π β if(π β π΄, π΅, 0) β β) |
20 | | summo.1 |
. . . . . . 7
β’ πΉ = (π β β€ β¦ if(π β π΄, π΅, 0)) |
21 | 20 | fvmpt2 6960 |
. . . . . 6
β’ ((π β β€ β§ if(π β π΄, π΅, 0) β β) β (πΉβπ) = if(π β π΄, π΅, 0)) |
22 | 10, 19, 21 | syl2anr 598 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (πΉβπ) = if(π β π΄, π΅, 0)) |
23 | 19 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β if(π β π΄, π΅, 0) β β) |
24 | 22, 23 | eqeltrd 2834 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (πΉβπ) β β) |
25 | 7, 9, 24 | serf 13942 |
. . 3
β’ (π β seqπ( + , πΉ):(β€β₯βπ)βΆβ) |
26 | 25, 2 | ffvelcdmd 7037 |
. 2
β’ (π β (seqπ( + , πΉ)βπ) β β) |
27 | | addid1 11340 |
. . . . 5
β’ (π β β β (π + 0) = π) |
28 | 27 | adantl 483 |
. . . 4
β’ (((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β β) β (π + 0) = π) |
29 | 2 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β π β (β€β₯βπ)) |
30 | | simpr 486 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β π β (β€β₯βπ)) |
31 | 26 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (seqπ( + , πΉ)βπ) β β) |
32 | | elfzuz 13443 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π + 1)...π) β π β (β€β₯β(π + 1))) |
33 | | eluzelz 12778 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β
(β€β₯β(π + 1)) β π β β€) |
34 | 33 | adantl 483 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π β
β€) |
35 | | fsumcvg.4 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π΄ β (π...π)) |
36 | 35 | sseld 3944 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (π β π΄ β π β (π...π))) |
37 | | fznuz 13529 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (π...π) β Β¬ π β (β€β₯β(π + 1))) |
38 | 36, 37 | syl6 35 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (π β π΄ β Β¬ π β (β€β₯β(π + 1)))) |
39 | 38 | con2d 134 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π β (β€β₯β(π + 1)) β Β¬ π β π΄)) |
40 | 39 | imp 408 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β Β¬ π β π΄) |
41 | 34, 40 | eldifd 3922 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π β (β€ β π΄)) |
42 | | fveqeq2 6852 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β ((πΉβπ) = 0 β (πΉβπ) = 0)) |
43 | | eldifi 4087 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (β€ β π΄) β π β β€) |
44 | | eldifn 4088 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (β€ β π΄) β Β¬ π β π΄) |
45 | 44, 16 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (β€ β π΄) β if(π β π΄, π΅, 0) = 0) |
46 | 45, 17 | eqeltrdi 2842 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (β€ β π΄) β if(π β π΄, π΅, 0) β β) |
47 | 43, 46, 21 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (β€ β π΄) β (πΉβπ) = if(π β π΄, π΅, 0)) |
48 | 47, 45 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (β€ β π΄) β (πΉβπ) = 0) |
49 | 42, 48 | vtoclga 3533 |
. . . . . . 7
β’ (π β (β€ β π΄) β (πΉβπ) = 0) |
50 | 41, 49 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (πΉβπ) = 0) |
51 | 32, 50 | sylan2 594 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β ((π + 1)...π)) β (πΉβπ) = 0) |
52 | 51 | adantlr 714 |
. . . 4
β’ (((π β§ π β (β€β₯βπ)) β§ π β ((π + 1)...π)) β (πΉβπ) = 0) |
53 | 28, 29, 30, 31, 52 | seqid2 13960 |
. . 3
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (seqπ( + , πΉ)βπ) = (seqπ( + , πΉ)βπ)) |
54 | 53 | eqcomd 2739 |
. 2
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (seqπ( + , πΉ)βπ) = (seqπ( + , πΉ)βπ)) |
55 | 1, 4, 6, 26, 54 | climconst 15431 |
1
β’ (π β seqπ( + , πΉ) β (seqπ( + , πΉ)βπ)) |