MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcvg 14919
Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
summo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
sumrb.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fsumcvg.4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fsumcvg (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcvg
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2772 . 2 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
2 sumrb.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzelz 12061 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5 seqex 13179 . . 3 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
65a1i 11 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V)
7 eqid 2772 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
8 eluzel2 12056 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
92, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 eluzelz 12061 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
11 iftrue 4350 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
1211adantl 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
13 summo.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1412, 13eqeltrd 2860 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
1514ex 405 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
16 iffalse 4353 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
17 0cn 10423 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
1816, 17syl6eqel 2868 . . . . . . 7 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
1915, 18pm2.61d1 173 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
20 summo.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
2120fvmpt2 6599 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
2210, 19, 21syl2anr 587 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
2319adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
2422, 23eqeltrd 2860 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
257, 9, 24serf 13206 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
2625, 2ffvelrnd 6671 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
27 addid1 10612 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 + 0) = 𝑚)
2827adantl 474 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 + 0) = 𝑚)
292adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
30 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
3126adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
32 elfzuz 12713 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
33 eluzelz 12061 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
3433adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ ℤ)
35 fsumcvg.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
3635sseld 3853 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑚𝐴𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)))
37 fznuz 12798 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
3836, 37syl6 35 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑚𝐴 → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
3938con2d 132 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → ¬ 𝑚𝐴))
4039imp 398 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑚𝐴)
4134, 40eldifd 3836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
42 fveqeq2 6502 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) = 0 ↔ (𝐹𝑚) = 0))
43 eldifi 3989 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
44 eldifn 3990 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
4544, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
4645, 17syl6eqel 2868 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
4743, 46, 21syl2anc 576 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
4847, 45eqtrd 2808 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 0)
4942, 48vtoclga 3487 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑚) = 0)
5041, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑚) = 0)
5132, 50sylan2 583 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹𝑚) = 0)
5251adantlr 702 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹𝑚) = 0)
5328, 29, 30, 31, 52seqid2 13224 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
5453eqcomd 2778 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
551, 4, 6, 26, 54climconst 14751 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  Vcvv 3409  cdif 3822  wss 3825  ifcif 4344   class class class wbr 4923  cmpt 5002  cfv 6182  (class class class)co 6970  cc 10325  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330  cz 11786  cuz 12051  ...cfz 12701  seqcseq 13177  cli 14692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-fz 12702  df-seq 13178  df-exp 13238  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-clim 14696
This theorem is referenced by:  summolem2a  14922  fsumcvg2  14934
  Copyright terms: Public domain W3C validator