MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcvg 15661
Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„€ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0))
summo.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
sumrb.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
fsumcvg.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fsumcvg (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem fsumcvg
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . 2 (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π‘)
2 sumrb.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3 eluzelz 12833 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
42, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
5 seqex 13971 . . 3 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
65a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V)
7 eqid 2726 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
8 eluzel2 12828 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
92, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
10 eluzelz 12833 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
11 iftrue 4529 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) = 𝐡)
1211adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) = 𝐡)
13 summo.2 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1412, 13eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) ∈ β„‚)
1514ex 412 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) ∈ β„‚))
16 iffalse 4532 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) = 0)
17 0cn 11207 . . . . . . . 8 0 ∈ β„‚
1816, 17eqeltrdi 2835 . . . . . . 7 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) ∈ β„‚)
1915, 18pm2.61d1 180 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) ∈ β„‚)
20 summo.1 . . . . . . 7 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„€ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0))
2120fvmpt2 7002 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0))
2210, 19, 21syl2anr 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0))
2319adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) ∈ β„‚)
2422, 23eqeltrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
257, 9, 24serf 13998 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜π‘€)βŸΆβ„‚)
2625, 2ffvelcdmd 7080 . 2 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
27 addrid 11395 . . . . 5 (π‘š ∈ β„‚ β†’ (π‘š + 0) = π‘š)
2827adantl 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (π‘š + 0) = π‘š)
292adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
30 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
3126adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
32 elfzuz 13500 . . . . . 6 (π‘š ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
33 eluzelz 12833 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ π‘š ∈ β„€)
3433adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘š ∈ β„€)
35 fsumcvg.4 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝑀...𝑁))
3635sseld 3976 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝐴 β†’ π‘š ∈ (𝑀...𝑁)))
37 fznuz 13586 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (𝑀...𝑁) β†’ Β¬ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
3836, 37syl6 35 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝐴 β†’ Β¬ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
3938con2d 134 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
4039imp 406 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)
4134, 40eldifd 3954 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘š ∈ (β„€ βˆ– 𝐴))
42 fveqeq2 6893 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘š) = 0))
43 eldifi 4121 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
44 eldifn 4122 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)
4544, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) = 0)
4645, 17eqeltrdi 2835 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) ∈ β„‚)
4743, 46, 21syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0))
4847, 45eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 0)
4942, 48vtoclga 3560 . . . . . . 7 (π‘š ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = 0)
5041, 49syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = 0)
5132, 50sylan2 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = 0)
5251adantlr 712 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘š ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = 0)
5328, 29, 30, 31, 52seqid2 14016 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›))
5453eqcomd 2732 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))
551, 4, 6, 26, 54climconst 15490 1 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  ...cfz 13487  seqcseq 13969   ⇝ cli 15431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435
This theorem is referenced by:  summolem2a  15664  fsumcvg2  15676
  Copyright terms: Public domain W3C validator