MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumrblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumrblem 15663
Description: Lemma for sumrb 15665. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„€ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0))
summo.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
sumrb.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
sumrblem ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = seq𝑁( + , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem sumrblem
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addlid 11401 . . 3 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ (0 + 𝑛) = 𝑛)
21adantl 481 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„‚) β†’ (0 + 𝑛) = 𝑛)
3 0cnd 11211 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 0 ∈ β„‚)
4 sumrb.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
54adantr 480 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
6 iftrue 4529 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) = 𝐡)
76adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) = 𝐡)
8 summo.2 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
97, 8eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) ∈ β„‚)
109ex 412 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) ∈ β„‚))
11 iffalse 4532 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) = 0)
12 0cn 11210 . . . . . . . 8 0 ∈ β„‚
1311, 12eqeltrdi 2835 . . . . . . 7 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) ∈ β„‚)
1410, 13pm2.61d1 180 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) ∈ β„‚)
1514adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) ∈ β„‚)
16 summo.1 . . . . 5 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„€ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0))
1715, 16fmptd 7109 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„€βŸΆβ„‚)
1817adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐹:β„€βŸΆβ„‚)
19 eluzelz 12836 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
204, 19syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2120adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2218, 21ffvelcdmd 7081 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
23 elfzelz 13507 . . . . 5 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2423adantl 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
25 simplr 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘))
2620zcnd 12671 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2726ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
28 ax-1cn 11170 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
29 npcan 11473 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
3027, 28, 29sylancl 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
3130fveq2d 6889 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (β„€β‰₯β€˜π‘))
3225, 31sseqtrrd 4018 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
33 fznuz 13589 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ Β¬ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
3433adantl 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ Β¬ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
3532, 34ssneldd 3980 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ Β¬ 𝑛 ∈ 𝐴)
3624, 35eldifd 3954 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑛 ∈ (β„€ βˆ– 𝐴))
37 fveqeq2 6894 . . . 4 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘›) = 0))
38 eldifi 4121 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
39 eldifn 4122 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)
4039, 11syl 17 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) = 0)
4140, 12eqeltrdi 2835 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) ∈ β„‚)
4216fvmpt2 7003 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0) ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0))
4338, 41, 42syl2anc 583 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0))
4443, 40eqtrd 2766 . . . 4 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 0)
4537, 44vtoclga 3560 . . 3 (𝑛 ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = 0)
4636, 45syl 17 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = 0)
472, 3, 5, 22, 46seqid 14018 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = seq𝑁( + , 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  ifcif 4523   ↦ cmpt 5224   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   βˆ’ cmin 11448  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973
This theorem is referenced by:  sumrb  15665
  Copyright terms: Public domain W3C validator