Theorem cshwidxm 14449

Description: The symbol at index (n-N) of a word of length n (not 0) cyclically shifted by N positions (not 0) is the symbol at index 0 of the original word. (Contributed by AV, 18-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidxm	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem cshwidxm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		elfzelz 13185	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		ubmelfzo 13380	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝑁) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 𝑁) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6		cshwidxmod 14444	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝑁) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
8		elfz1b 13254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
9		nncn 11911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
10		nncn 11911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
11	9, 10	anim12ci 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
12	11	3adant3 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
13	8, 12	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
14		npcan 11160	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) = (♯‘𝑊))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) = (♯‘𝑊))
16	15	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)))
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)))
18		nnrp 12670	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
19		modid0 13545	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
21	20	3ad2ant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
22	8, 21	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
23	22	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
24	17, 23	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = 0)
25	24	fveq2d 6760	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
26	7, 25	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311   mod cmo 13517  ♯chash 13972  Word cword 14145   cyclShift ccsh 14429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-csh 14430

This theorem is referenced by: (None)