MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwidxm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwidxm 13893
Description: The symbol at index (n-N) of a word of length n (not 0) cyclically shifted by N positions (not 0) is the symbol at index 0 of the original word. (Contributed by AV, 18-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshwidxm ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem cshwidxm
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 elfzelz 12596 . . . 4 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32adantl 474 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 ubmelfzo 12788 . . . 4 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝑁) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
54adantl 474 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 𝑁) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6 cshwidxmod 13888 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝑁) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
71, 3, 5, 6syl3anc 1491 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
8 elfz1b 12663 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
9 nncn 11321 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
10 nncn 11321 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
119, 10anim12ci 608 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
12113adant3 1163 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
138, 12sylbi 209 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
14 npcan 10582 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) = (♯‘𝑊))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) = (♯‘𝑊))
1615oveq1d 6893 . . . . 5 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)))
1716adantl 474 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)))
18 nnrp 12087 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
19 modid0 12951 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
21203ad2ant2 1165 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
228, 21sylbi 209 . . . . 5 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
2322adantl 474 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
2417, 23eqtrd 2833 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = 0)
2524fveq2d 6415 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
267, 25eqtrd 2833 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4843  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227  cle 10364  cmin 10556  cn 11312  cz 11666  +crp 12074  ...cfz 12580  ..^cfzo 12720   mod cmo 12923  chash 13370  Word cword 13534   cyclShift ccsh 13868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-mod 12924  df-hash 13371  df-word 13535  df-concat 13591  df-substr 13665  df-pfx 13714  df-csh 13870
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator