Theorem cshwidxm 14815

Description: The symbol at index (n-N) of a word of length n (not 0) cyclically shifted by N positions (not 0) is the symbol at index 0 of the original word. (Contributed by AV, 18-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidxm	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem cshwidxm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		elfzelz 13523	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		ubmelfzo 13730	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝑁) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
5	4	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 𝑁) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6		cshwidxmod 14810	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝑁) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1389	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
8		elfz1b 13592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
9		nncn 12212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
10		nncn 12212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
11	9, 10	anim12ci 623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
12	11	3adant3 1144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
13	8, 12	sylbi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
14		npcan 11433	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) = (♯‘𝑊))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) = (♯‘𝑊))
16	15	oveq1d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)))
17	16	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)))
18		nnrp 12999	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
19		modid0 13901	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
21	20	3ad2ant2 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
22	8, 21	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
23	22	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
24	17, 23	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = 0)
25	24	fveq2d 6866	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
26	7, 25	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   ≤ cle 11211   − cmin 11408  ℕcn 12204  ℤcz 12562  ℝ⁺crp 12987  ...cfz 13506  ..^cfzo 13653   mod cmo 13873  ♯chash 14337  Word cword 14520   cyclShift ccsh 14795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-hash 14338  df-word 14521  df-concat 14578  df-substr 14649  df-pfx 14679  df-csh 14796

This theorem is referenced by: (None)