MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwidxm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwidxm 14762
Description: The symbol at index (n-N) of a word of length n (not 0) cyclically shifted by N positions (not 0) is the symbol at index 0 of the original word. (Contributed by AV, 18-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshwidxm ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem cshwidxm
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 elfzelz 13505 . . . 4 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32adantl 480 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 ubmelfzo 13701 . . . 4 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝑁) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
54adantl 480 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 𝑁) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6 cshwidxmod 14757 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝑁) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
71, 3, 5, 6syl3anc 1369 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
8 elfz1b 13574 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
9 nncn 12224 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
10 nncn 12224 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
119, 10anim12ci 612 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
12113adant3 1130 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
138, 12sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
14 npcan 11473 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) = (♯‘𝑊))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) = (♯‘𝑊))
1615oveq1d 7426 . . . . 5 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)))
1716adantl 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)))
18 nnrp 12989 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
19 modid0 13866 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
21203ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
228, 21sylbi 216 . . . . 5 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
2322adantl 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
2417, 23eqtrd 2770 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = 0)
2524fveq2d 6894 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
267, 25eqtrd 2770 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104   class class class wbr 5147  cfv 6542  (class class class)co 7411  cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  cle 11253  cmin 11448  cn 12216  cz 12562  +crp 12978  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631   mod cmo 13838  chash 14294  Word cword 14468   cyclShift ccsh 14742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-csh 14743
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator