MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwidxm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwidxm 14261
Description: The symbol at index (n-N) of a word of length n (not 0) cyclically shifted by N positions (not 0) is the symbol at index 0 of the original word. (Contributed by AV, 18-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshwidxm ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem cshwidxm
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 elfzelz 13000 . . . 4 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32adantl 485 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 ubmelfzo 13195 . . . 4 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝑁) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
54adantl 485 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 𝑁) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6 cshwidxmod 14256 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 𝑁) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
71, 3, 5, 6syl3anc 1372 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
8 elfz1b 13069 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
9 nncn 11726 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
10 nncn 11726 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
119, 10anim12ci 617 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
12113adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
138, 12sylbi 220 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
14 npcan 10975 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) = (♯‘𝑊))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) = (♯‘𝑊))
1615oveq1d 7187 . . . . 5 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)))
1716adantl 485 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)))
18 nnrp 12485 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
19 modid0 13358 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
21203ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
228, 21sylbi 220 . . . . 5 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
2322adantl 485 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
2417, 23eqtrd 2773 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = 0)
2524fveq2d 6680 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((♯‘𝑊) − 𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
267, 25eqtrd 2773 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((♯‘𝑊) − 𝑁)) = (𝑊‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7172  cc 10615  0cc0 10617  1c1 10618   + caddc 10620  cle 10756  cmin 10950  cn 11718  cz 12064  +crp 12474  ...cfz 12983  ..^cfzo 13126   mod cmo 13330  chash 13784  Word cword 13957   cyclShift ccsh 14241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-sup 8981  df-inf 8982  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-rp 12475  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-fl 13255  df-mod 13331  df-hash 13785  df-word 13958  df-concat 14014  df-substr 14094  df-pfx 14124  df-csh 14242
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator