Theorem umgr2edg 29143

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there are more than one edges starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrf1oedg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
usgrf1oedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgr2edg	⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐺   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem umgr2edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgruhgr 29038	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2	1	anim1i 615	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
4		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5		usgrf1oedg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	4, 5	umgrpredgv 29074	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
7	6	ad2ant2r 747	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
8	7	simprd 495	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
9	4, 5	umgrpredgv 29074	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
10	9	ad2ant2rl 749	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
11	10	simpld 494	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
12	7	simpld 494	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
13		simpr 484	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸))
14		usgrf1oedg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
15	14, 5, 4	uhgr2edg 29142	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)))
16	3, 8, 11, 12, 13, 15	syl131anc 1385	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  {cpr 4594  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  Vtxcvtx 28930  iEdgciedg 28931  Edgcedg 28981  UHGraphcuhgr 28990  UMGraphcumgr 29015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303  df-edg 28982  df-uhgr 28992  df-upgr 29016  df-umgr 29017

This theorem is referenced by:  usgr2edg  29144  umgr2edg1  29145