Theorem umgr2edg1 29501

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrf1oedg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
usgrf1oedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgr2edg1	⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem umgr2edg1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrf1oedg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		usgrf1oedg.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	umgr2edg 29499	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)))
4		3anrot 1115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
5		df-ne 2965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
6	5	3anbi3i 1175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ↔ (𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
7	4, 6	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
8		df-3an 1103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
9	7, 8	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ↔ ((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
10	9	2rexbii 3147	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
11	3, 10	sylib 221	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
12		rexanali 3125	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
13	12	rexbii 3118	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼 ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
14		rexnal 3123	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼 ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
15	13, 14	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
16	11, 15	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
17	16	intnand 493	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)))
18		fveq2 6882	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦))
19	18	eleq2d 2855	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)))
20	19	reu4 3703	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)))
21	17, 20	sylnibr 332	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  ∃!wreu 3374  {cpr 4596  dom cdm 5662  ‘cfv 6537  iEdgciedg 29287  Edgcedg 29337  UMGraphcumgr 29371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-hash 14366  df-edg 29338  df-uhgr 29348  df-upgr 29372  df-umgr 29373

This theorem is referenced by:  usgr2edg1  29502