MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2edg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2edg1 28201
Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
usgrf1oedg.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
usgrf1oedg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgr2edg1 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem umgr2edg1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrf1oedg.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2 usgrf1oedg.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2umgr2edg 28199 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼(𝑥𝑦𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)))
4 3anrot 1101 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦) ∧ 𝑥𝑦))
5 df-ne 2941 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
653anbi3i 1160 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦) ∧ 𝑥𝑦) ↔ (𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
74, 6bitri 275 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
8 df-3an 1090 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
97, 8bitri 275 . . . . . 6 ((𝑥𝑦𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ↔ ((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
1092rexbii 3125 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼(𝑥𝑦𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
113, 10sylib 217 . . . 4 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
12 rexanali 3102 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
1312rexbii 3094 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼 ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
14 rexnal 3100 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ dom 𝐼 ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
1513, 14bitri 275 . . . 4 (∃𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
1611, 15sylib 217 . . 3 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
1716intnand 490 . 2 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)))
18 fveq2 6843 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑦))
1918eleq2d 2820 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)))
2019reu4 3690 . 2 (∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ↔ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)))
2117, 20sylnibr 329 1 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  ∃!wreu 3350  {cpr 4589  dom cdm 5634  cfv 6497  iEdgciedg 27990  Edgcedg 28040  UMGraphcumgr 28074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-hash 14237  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-upgr 28075  df-umgr 28076
This theorem is referenced by:  usgr2edg1  28202
  Copyright terms: Public domain W3C validator