MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2edg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2edg1 26680
Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
usgrf1oedg.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
usgrf1oedg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgr2edg1 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem umgr2edg1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrf1oedg.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2 usgrf1oedg.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2umgr2edg 26678 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼(𝑥𝑦𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)))
4 3anrot 1093 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦) ∧ 𝑥𝑦))
5 df-ne 2987 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
653anbi3i 1152 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦) ∧ 𝑥𝑦) ↔ (𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
74, 6bitri 276 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
8 df-3an 1082 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
97, 8bitri 276 . . . . . 6 ((𝑥𝑦𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ↔ ((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
1092rexbii 3214 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼(𝑥𝑦𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
113, 10sylib 219 . . . 4 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
12 rexanali 3231 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
1312rexbii 3213 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼 ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
14 rexnal 3204 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ dom 𝐼 ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
1513, 14bitri 276 . . . 4 (∃𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
1611, 15sylib 219 . . 3 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
1716intnand 489 . 2 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)))
18 fveq2 6545 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑦))
1918eleq2d 2870 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)))
2019reu4 3661 . 2 (∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ↔ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)))
2117, 20sylnibr 330 1 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  wral 3107  wrex 3108  ∃!wreu 3109  {cpr 4480  dom cdm 5450  cfv 6232  iEdgciedg 26469  Edgcedg 26519  UMGraphcumgr 26553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-dju 9183  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-hash 13545  df-edg 26520  df-uhgr 26530  df-upgr 26554  df-umgr 26555
This theorem is referenced by:  usgr2edg1  26681
  Copyright terms: Public domain W3C validator