MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2edg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2edg1 29243
Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
usgrf1oedg.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
usgrf1oedg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgr2edg1 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem umgr2edg1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrf1oedg.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2 usgrf1oedg.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2umgr2edg 29241 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼(𝑥𝑦𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)))
4 3anrot 1099 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦) ∧ 𝑥𝑦))
5 df-ne 2939 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
653anbi3i 1158 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦) ∧ 𝑥𝑦) ↔ (𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
74, 6bitri 275 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
8 df-3an 1088 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
97, 8bitri 275 . . . . . 6 ((𝑥𝑦𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ↔ ((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
1092rexbii 3127 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼(𝑥𝑦𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
113, 10sylib 218 . . . 4 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
12 rexanali 3100 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
1312rexbii 3092 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼 ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
14 rexnal 3098 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ dom 𝐼 ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
1513, 14bitri 275 . . . 4 (∃𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
1611, 15sylib 218 . . 3 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
1716intnand 488 . 2 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)))
18 fveq2 6907 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑦))
1918eleq2d 2825 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)))
2019reu4 3740 . 2 (∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ↔ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)))
2117, 20sylnibr 329 1 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  ∃!wreu 3376  {cpr 4633  dom cdm 5689  cfv 6563  iEdgciedg 29029  Edgcedg 29079  UMGraphcumgr 29113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-upgr 29114  df-umgr 29115
This theorem is referenced by:  usgr2edg1  29244
  Copyright terms: Public domain W3C validator