Theorem umgr2edg1 29114

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrf1oedg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
usgrf1oedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgr2edg1	⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem umgr2edg1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrf1oedg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		usgrf1oedg.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	umgr2edg 29112	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)))
4		3anrot 1099	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
5		df-ne 2926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
6	5	3anbi3i 1159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ↔ (𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
7	4, 6	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
8		df-3an 1088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
9	7, 8	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ↔ ((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
10	9	2rexbii 3109	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
11	3, 10	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
12		rexanali 3084	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
13	12	rexbii 3076	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼 ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
14		rexnal 3082	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼 ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
15	13, 14	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
16	11, 15	sylib 218	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
17	16	intnand 488	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)))
18		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦))
19	18	eleq2d 2814	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)))
20	19	reu4 3699	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)))
21	17, 20	sylnibr 329	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ∃!wreu 3349  {cpr 4587  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  iEdgciedg 28900  Edgcedg 28950  UMGraphcumgr 28984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-hash 14272  df-edg 28951  df-uhgr 28961  df-upgr 28985  df-umgr 28986

This theorem is referenced by:  usgr2edg1  29115