Theorem umgrvad2edg 27483

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there are more than one edges starting at this vertex, analogous to usgr2edg 27480. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrvad2edg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrvad2edg	⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦

Proof of Theorem umgrvad2edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → {𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸)
2		simpr 484	. 2 ⊢ (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)
3		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4		umgrvad2edg.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
5	3, 4	umgrpredgv 27413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
6	5	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))))
7	3, 4	umgrpredgv 27413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸 → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))))
9	6, 8	anim12d 608	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → ((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → ((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))))
11	10	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))))
12		simplr 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
13	4	umgredgne 27418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝑁 ≠ 𝐴)
14	13	necomd 2998	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 ≠ 𝑁)
15	14	ad2ant2r 743	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → 𝐴 ≠ 𝑁)
16	12, 15	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))
17	16	olcd 870	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁)))
18		prneimg 4782	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁)) → {𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁}))
19	18	imp 406	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))) → {𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁})
20		prid1g 4693	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴})
21	20	ad3antrrr 726	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))) → 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴})
22		prid2g 4694	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁})
23	22	ad3antrrr 726	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))) → 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁})
24	19, 21, 23	3jca 1126	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))) → ({𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁}))
25	11, 17, 24	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ({𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁}))
26		neeq1 3005	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑁, 𝐴} → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ {𝑁, 𝐴} ≠ 𝑦))
27		eleq2 2827	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑁, 𝐴} → (𝑁 ∈ 𝑥 ↔ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴}))
28	26, 27	3anbi12d 1435	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝑁, 𝐴} → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ↔ ({𝑁, 𝐴} ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ 𝑦)))
29		neeq2 3006	. . . 4 ⊢ (𝑦 = {𝐵, 𝑁} → ({𝑁, 𝐴} ≠ 𝑦 ↔ {𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁}))
30		eleq2 2827	. . . 4 ⊢ (𝑦 = {𝐵, 𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑦 ↔ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁}))
31	29, 30	3anbi13d 1436	. . 3 ⊢ (𝑦 = {𝐵, 𝑁} → (({𝑁, 𝐴} ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ↔ ({𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁})))
32	28, 31	rspc2ev 3564	. 2 ⊢ (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸 ∧ ({𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁})) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))
33	1, 2, 25, 32	syl2an23an 1421	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  {cpr 4560  ‘cfv 6418  Vtxcvtx 27269  Edgcedg 27320  UMGraphcumgr 27354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-edg 27321  df-umgr 27356

This theorem is referenced by:  umgr2edgneu  27484