Theorem umgrvad2edg 29600

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there are more than one edges starting at this vertex, analogous to usgr2edg 29597. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrvad2edg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrvad2edg	⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦

Proof of Theorem umgrvad2edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → {𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸)
2		simpr 490	. 2 ⊢ (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)
3		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4		umgrvad2edg.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
5	3, 4	umgrpredgv 29527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
6	5	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))))
7	3, 4	umgrpredgv 29527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
8	7	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸 → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))))
9	6, 8	anim12d 621	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → ((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))))
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → ((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))))
11	10	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))))
12		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
13	4	umgredgne 29532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝑁 ≠ 𝐴)
14	13	necomd 3016	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 ≠ 𝑁)
15	14	ad2ant2r 760	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → 𝐴 ≠ 𝑁)
16	12, 15	jca 521	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))
17	16	olcd 888	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁)))
18		prneimg 4824	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁)) → {𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁}))
19	18	imp 412	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))) → {𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁})
20		prid1g 4731	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴})
21	20	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))) → 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴})
22		prid2g 4732	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁})
23	22	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))) → 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁})
24	19, 21, 23	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))) → ({𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁}))
25	11, 17, 24	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ({𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁}))
26		neeq1 3023	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑁, 𝐴} → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ {𝑁, 𝐴} ≠ 𝑦))
27		eleq2 2855	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑁, 𝐴} → (𝑁 ∈ 𝑥 ↔ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴}))
28	26, 27	3anbi12d 1465	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝑁, 𝐴} → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ↔ ({𝑁, 𝐴} ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ 𝑦)))
29		neeq2 3024	. . . 4 ⊢ (𝑦 = {𝐵, 𝑁} → ({𝑁, 𝐴} ≠ 𝑦 ↔ {𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁}))
30		eleq2 2855	. . . 4 ⊢ (𝑦 = {𝐵, 𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑦 ↔ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁}))
31	29, 30	3anbi13d 1466	. . 3 ⊢ (𝑦 = {𝐵, 𝑁} → (({𝑁, 𝐴} ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ↔ ({𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁})))
32	28, 31	rspc2ev 3597	. 2 ⊢ (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸 ∧ ({𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁})) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))
33	1, 2, 25, 32	syl2an23an 1450	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092  {cpr 4596  ‘cfv 6543  Vtxcvtx 29383  Edgcedg 29434  UMGraphcumgr 29468

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-hash 14387  df-edg 29435  df-umgr 29470

This theorem is used by:  umgr2edgneu  29601