Theorem umgrvad2edg 29176

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there are more than one edges starting at this vertex, analogous to usgr2edg 29173. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrvad2edg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrvad2edg	⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦

Proof of Theorem umgrvad2edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → {𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸)
2		simpr 484	. 2 ⊢ (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)
3		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4		umgrvad2edg.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
5	3, 4	umgrpredgv 29103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
6	5	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))))
7	3, 4	umgrpredgv 29103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸 → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))))
9	6, 8	anim12d 609	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → ((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → ((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))))
11	10	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))))
12		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
13	4	umgredgne 29108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝑁 ≠ 𝐴)
14	13	necomd 2980	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 ≠ 𝑁)
15	14	ad2ant2r 747	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → 𝐴 ≠ 𝑁)
16	12, 15	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))
17	16	olcd 874	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁)))
18		prneimg 4808	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁)) → {𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁}))
19	18	imp 406	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))) → {𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁})
20		prid1g 4714	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴})
21	20	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))) → 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴})
22		prid2g 4715	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁})
23	22	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))) → 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁})
24	19, 21, 23	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))) → ({𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁}))
25	11, 17, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ({𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁}))
26		neeq1 2987	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑁, 𝐴} → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ {𝑁, 𝐴} ≠ 𝑦))
27		eleq2 2817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑁, 𝐴} → (𝑁 ∈ 𝑥 ↔ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴}))
28	26, 27	3anbi12d 1439	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝑁, 𝐴} → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ↔ ({𝑁, 𝐴} ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ 𝑦)))
29		neeq2 2988	. . . 4 ⊢ (𝑦 = {𝐵, 𝑁} → ({𝑁, 𝐴} ≠ 𝑦 ↔ {𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁}))
30		eleq2 2817	. . . 4 ⊢ (𝑦 = {𝐵, 𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑦 ↔ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁}))
31	29, 30	3anbi13d 1440	. . 3 ⊢ (𝑦 = {𝐵, 𝑁} → (({𝑁, 𝐴} ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ↔ ({𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁})))
32	28, 31	rspc2ev 3592	. 2 ⊢ (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸 ∧ ({𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁})) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))
33	1, 2, 25, 32	syl2an23an 1425	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {cpr 4581  ‘cfv 6486  Vtxcvtx 28959  Edgcedg 29010  UMGraphcumgr 29044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-hash 14256  df-edg 29011  df-umgr 29046

This theorem is referenced by:  umgr2edgneu  29177