Theorem umgrvad2edg 29370

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there are more than one edges starting at this vertex, analogous to usgr2edg 29367. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrvad2edg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrvad2edg	⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦

Proof of Theorem umgrvad2edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. 2 ⊢ (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → {𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸)
2		simpr 488	. 2 ⊢ (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)
3		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4		umgrvad2edg.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
5	3, 4	umgrpredgv 29297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
6	5	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))))
7	3, 4	umgrpredgv 29297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
8	7	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸 → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))))
9	6, 8	anim12d 618	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → ((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))))
10	9	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸) → ((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))))
11	10	imp 410	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))))
12		simplr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
13	4	umgredgne 29302	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝑁 ≠ 𝐴)
14	13	necomd 3011	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 ≠ 𝑁)
15	14	ad2ant2r 757	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → 𝐴 ≠ 𝑁)
16	12, 15	jca 519	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))
17	16	olcd 885	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁)))
18		prneimg 4809	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁)) → {𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁}))
19	18	imp 410	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))) → {𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁})
20		prid1g 4716	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴})
21	20	ad3antrrr 740	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))) → 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴})
22		prid2g 4717	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁})
23	22	ad3antrrr 740	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))) → 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁})
24	19, 21, 23	3jca 1140	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑁 ≠ 𝐵 ∧ 𝑁 ≠ 𝑁) ∨ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝑁))) → ({𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁}))
25	11, 17, 24	syl2anc 593	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ({𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁}))
26		neeq1 3018	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑁, 𝐴} → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ {𝑁, 𝐴} ≠ 𝑦))
27		eleq2 2850	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑁, 𝐴} → (𝑁 ∈ 𝑥 ↔ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴}))
28	26, 27	3anbi12d 1457	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝑁, 𝐴} → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ↔ ({𝑁, 𝐴} ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ 𝑦)))
29		neeq2 3019	. . . 4 ⊢ (𝑦 = {𝐵, 𝑁} → ({𝑁, 𝐴} ≠ 𝑦 ↔ {𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁}))
30		eleq2 2850	. . . 4 ⊢ (𝑦 = {𝐵, 𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑦 ↔ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁}))
31	29, 30	3anbi13d 1458	. . 3 ⊢ (𝑦 = {𝐵, 𝑁} → (({𝑁, 𝐴} ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ↔ ({𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁})))
32	28, 31	rspc2ev 3593	. 2 ⊢ (({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸 ∧ ({𝑁, 𝐴} ≠ {𝐵, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝐴} ∧ 𝑁 ∈ {𝐵, 𝑁})) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))
33	1, 2, 25, 32	syl2an23an 1441	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085  {cpr 4581  ‘cfv 6515  Vtxcvtx 29153  Edgcedg 29204  UMGraphcumgr 29238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-oadd 8434  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-dju 9852  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-hash 14337  df-edg 29205  df-umgr 29240

This theorem is referenced by:  umgr2edgneu  29371