Theorem upgredgssspr 45235

Description: The set of edges of a pseudograph is a subset of the set of unordered pairs of vertices. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
upgredgssspr	⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ (Pairs‘(Vtx‘𝐺)))

Proof of Theorem upgredgssspr

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredgss 27445	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ {𝑝 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑝) ≤ 2})
2		fvex 6774	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
3		sprvalpwle2 44871	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ V → (Pairs‘(Vtx‘𝐺)) = {𝑝 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑝) ≤ 2})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Pairs‘(Vtx‘𝐺)) = {𝑝 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑝) ≤ 2}
5	1, 4	sseqtrrdi 3973	1 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ (Pairs‘(Vtx‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {crab 3066  Vcvv 3427   ∖ cdif 3885   ⊆ wss 3888  ∅c0 4258  𝒫 cpw 4535  {csn 4563   class class class wbr 5075  ‘cfv 6423   ≤ cle 10957  2c2 11974  ♯chash 13988  Vtxcvtx 27309  Edgcedg 27360  UPGraphcupgr 27393  Pairscspr 44859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-om 7693  df-1st 7809  df-2nd 7810  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-1o 8272  df-2o 8273  df-oadd 8276  df-er 8461  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-fin 8700  df-dju 9606  df-card 9644  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-nn 11920  df-2 11982  df-n0 12180  df-xnn0 12252  df-z 12266  df-uz 12528  df-fz 13185  df-hash 13989  df-edg 27361  df-upgr 27395  df-spr 44860

This theorem is referenced by:  uspgropssxp  45236  uspgrsprf  45238