Theorem uspgropssxp 48132

Description: The set 𝐺 of "simple pseudographs" for a fixed set 𝑉 of vertices is a subset of a Cartesian product. For more details about the class 𝐺 of all "simple pseudographs" see comments on uspgrbisymrel 48142. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgrsprf.p	⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
uspgrsprf.g	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}

Assertion

Ref	Expression
uspgropssxp	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ⊆ (𝑊 × 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑒,𝑞,𝑣   𝑒,𝑉,𝑞,𝑣   𝑒,𝑊,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,𝑒,𝑞)   𝑊(𝑞)

Proof of Theorem uspgropssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrsprf.g	. 2 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
2		eleq1 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = 𝑣 → (𝑉 ∈ 𝑊 ↔ 𝑣 ∈ 𝑊))
3	2	eqcoms 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝑉 ∈ 𝑊 ↔ 𝑣 ∈ 𝑊))
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒)) → (𝑉 ∈ 𝑊 ↔ 𝑣 ∈ 𝑊))
5	4	biimpac 478	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))) → 𝑣 ∈ 𝑊)
6		uspgrupgr 29105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ USPGraph → 𝑞 ∈ UPGraph)
7		upgredgssspr 48131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ UPGraph → (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘(Vtx‘𝑞)))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ USPGraph → (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘(Vtx‘𝑞)))
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘(Vtx‘𝑞)))
10		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Vtx‘𝑞) = 𝑣)
11		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → 𝑣 = 𝑉)
12	10, 11	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Vtx‘𝑞) = 𝑉)
13	12	fveq2d 6862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Pairs‘(Vtx‘𝑞)) = (Pairs‘𝑉))
14	9, 13	sseqtrd 3983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘𝑉))
15		fvex 6871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Edg‘𝑞) ∈ V
16	15	elpw 4567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Edg‘𝑞) ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↔ (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘𝑉))
17	14, 16	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Edg‘𝑞) ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉))
18		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) → (Edg‘𝑞) = 𝑒)
19	18	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) → 𝑒 = (Edg‘𝑞))
20	19	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → 𝑒 = (Edg‘𝑞))
21		uspgrsprf.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉))
23	17, 20, 22	3eltr4d 2843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → 𝑒 ∈ 𝑃)
24	23	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ∈ USPGraph → (((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) → (𝑣 = 𝑉 → 𝑒 ∈ 𝑃)))
25	24	rexlimiv 3127	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) → (𝑣 = 𝑉 → 𝑒 ∈ 𝑃))
26	25	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒)) → 𝑒 ∈ 𝑃)
27	26	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))) → 𝑒 ∈ 𝑃)
28	5, 27	opabssxpd 5685	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))} ⊆ (𝑊 × 𝑃))
29	1, 28	eqsstrid 3985	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ⊆ (𝑊 × 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563  {copab 5169   × cxp 5636  ‘cfv 6511  Vtxcvtx 28923  Edgcedg 28974  UPGraphcupgr 29007  USPGraphcuspgr 29075  Pairscspr 47478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296  df-edg 28975  df-upgr 29009  df-uspgr 29077  df-spr 47479

This theorem is referenced by: (None)