Theorem uspgropssxp 48642

Description: The set 𝐺 of "simple pseudographs" for a fixed set 𝑉 of vertices is a subset of a Cartesian product. For more details about the class 𝐺 of all "simple pseudographs" see comments on uspgrbisymrel 48652. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgrsprf.p	⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
uspgrsprf.g	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}

Assertion

Ref	Expression
uspgropssxp	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ⊆ (𝑊 × 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑒,𝑞,𝑣   𝑒,𝑉,𝑞,𝑣   𝑒,𝑊,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,𝑒,𝑞)   𝑊(𝑞)

Proof of Theorem uspgropssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrsprf.g	. 2 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
2		eleq1 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = 𝑣 → (𝑉 ∈ 𝑊 ↔ 𝑣 ∈ 𝑊))
3	2	eqcoms 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝑉 ∈ 𝑊 ↔ 𝑣 ∈ 𝑊))
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒)) → (𝑉 ∈ 𝑊 ↔ 𝑣 ∈ 𝑊))
5	4	biimpac 479	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))) → 𝑣 ∈ 𝑊)
6		uspgrupgr 29272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ USPGraph → 𝑞 ∈ UPGraph)
7		upgredgssspr 48641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ UPGraph → (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘(Vtx‘𝑞)))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ USPGraph → (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘(Vtx‘𝑞)))
9	8	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘(Vtx‘𝑞)))
10		simp2l 1206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Vtx‘𝑞) = 𝑣)
11		simp3 1144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → 𝑣 = 𝑉)
12	10, 11	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Vtx‘𝑞) = 𝑉)
13	12	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Pairs‘(Vtx‘𝑞)) = (Pairs‘𝑉))
14	9, 13	sseqtrd 3958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘𝑉))
15		fvex 6847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Edg‘𝑞) ∈ V
16	15	elpw 4540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Edg‘𝑞) ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↔ (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘𝑉))
17	14, 16	sylibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Edg‘𝑞) ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉))
18		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) → (Edg‘𝑞) = 𝑒)
19	18	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) → 𝑒 = (Edg‘𝑞))
20	19	3ad2ant2 1140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → 𝑒 = (Edg‘𝑞))
21		uspgrsprf.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉))
23	17, 20, 22	3eltr4d 2855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → 𝑒 ∈ 𝑃)
24	23	3exp 1125	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ∈ USPGraph → (((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) → (𝑣 = 𝑉 → 𝑒 ∈ 𝑃)))
25	24	rexlimiv 3134	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) → (𝑣 = 𝑉 → 𝑒 ∈ 𝑃))
26	25	impcom 408	. . . 4 ⊢ ((𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒)) → 𝑒 ∈ 𝑃)
27	26	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))) → 𝑒 ∈ 𝑃)
28	5, 27	opabssxpd 5672	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))} ⊆ (𝑊 × 𝑃))
29	1, 28	eqsstrid 3960	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ⊆ (𝑊 × 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4536  {copab 5141   × cxp 5623  ‘cfv 6492  Vtxcvtx 29090  Edgcedg 29141  UPGraphcupgr 29174  USPGraphcuspgr 29242  Pairscspr 47959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-hash 14291  df-edg 29142  df-upgr 29176  df-uspgr 29244  df-spr 47960

This theorem is referenced by: (None)