Theorem uspgropssxp 48099

Description: The set 𝐺 of "simple pseudographs" for a fixed set 𝑉 of vertices is a subset of a Cartesian product. For more details about the class 𝐺 of all "simple pseudographs" see comments on uspgrbisymrel 48109. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgrsprf.p	⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
uspgrsprf.g	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}

Assertion

Ref	Expression
uspgropssxp	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ⊆ (𝑊 × 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑒,𝑞,𝑣   𝑒,𝑉,𝑞,𝑣   𝑒,𝑊,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,𝑒,𝑞)   𝑊(𝑞)

Proof of Theorem uspgropssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrsprf.g	. 2 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
2		eleq1 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = 𝑣 → (𝑉 ∈ 𝑊 ↔ 𝑣 ∈ 𝑊))
3	2	eqcoms 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝑉 ∈ 𝑊 ↔ 𝑣 ∈ 𝑊))
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒)) → (𝑉 ∈ 𝑊 ↔ 𝑣 ∈ 𝑊))
5	4	biimpac 478	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))) → 𝑣 ∈ 𝑊)
6		uspgrupgr 29162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ USPGraph → 𝑞 ∈ UPGraph)
7		upgredgssspr 48098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ UPGraph → (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘(Vtx‘𝑞)))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ USPGraph → (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘(Vtx‘𝑞)))
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘(Vtx‘𝑞)))
10		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Vtx‘𝑞) = 𝑣)
11		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → 𝑣 = 𝑉)
12	10, 11	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Vtx‘𝑞) = 𝑉)
13	12	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Pairs‘(Vtx‘𝑞)) = (Pairs‘𝑉))
14	9, 13	sseqtrd 4000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘𝑉))
15		fvex 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Edg‘𝑞) ∈ V
16	15	elpw 4584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Edg‘𝑞) ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↔ (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘𝑉))
17	14, 16	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Edg‘𝑞) ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉))
18		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) → (Edg‘𝑞) = 𝑒)
19	18	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) → 𝑒 = (Edg‘𝑞))
20	19	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → 𝑒 = (Edg‘𝑞))
21		uspgrsprf.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉))
23	17, 20, 22	3eltr4d 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → 𝑒 ∈ 𝑃)
24	23	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ∈ USPGraph → (((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) → (𝑣 = 𝑉 → 𝑒 ∈ 𝑃)))
25	24	rexlimiv 3135	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) → (𝑣 = 𝑉 → 𝑒 ∈ 𝑃))
26	25	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒)) → 𝑒 ∈ 𝑃)
27	26	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))) → 𝑒 ∈ 𝑃)
28	5, 27	opabssxpd 5706	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))} ⊆ (𝑊 × 𝑃))
29	1, 28	eqsstrid 4002	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ⊆ (𝑊 × 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580  {copab 5186   × cxp 5657  ‘cfv 6536  Vtxcvtx 28980  Edgcedg 29031  UPGraphcupgr 29064  USPGraphcuspgr 29132  Pairscspr 47471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-hash 14354  df-edg 29032  df-upgr 29066  df-uspgr 29134  df-spr 47472

This theorem is referenced by: (None)