Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upgrisupwlkALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgrisupwlkALT 47127
Description: Alternate proof of upgriswlk 29442 using the definition of UPGraph and related theorems. (Contributed by AV, 2-Jan-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
upgrisupwlkALT.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
upgrisupwlkALT.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
upgrisupwlkALT ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐹   𝑃,π‘˜
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘˜)   𝐼(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem upgrisupwlkALT
StepHypRef Expression
1 upgrwlkupwlkb 47126 . . 3 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ 𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃))
213ad2ant1 1131 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ 𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃))
3 upgrisupwlkALT.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
4 upgrisupwlkALT.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
53, 4isupwlk 47121 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})))
62, 5bitrd 279 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  {cpr 4626   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  β™―chash 14313  Word cword 14488  Vtxcvtx 28796  iEdgciedg 28797  UPGraphcupgr 28880  Walkscwlks 29397  UPWalkscupwlks 47118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-edg 28848  df-uhgr 28858  df-upgr 28882  df-wlks 29400  df-upwlks 47119
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator