Theorem usgrexmplvtx 27616

Description: The vertices 0, 1, 2, 3, 4 of the graph 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩. (Contributed by AV, 12-Jan-2020.) (Revised by AV, 21-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl.v	⊢ 𝑉 = (0...4)
usgrexmpl.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
usgrexmpl.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmplvtx	⊢ (Vtx‘𝐺) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem usgrexmplvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexmpl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (0...4)
2		usgrexmpl.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
3		usgrexmpl.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
4	1, 2, 3	usgrexmpllem 27615	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝐺) = 𝐸)
5		id 22	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
6		fz0to4untppr 13347	. . . . 5 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
7	1, 6	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ 𝑉 = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
8	5, 7	eqtrdi 2794	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → (Vtx‘𝐺) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}))
9	8	adantr 481	. 2 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝐺) = 𝐸) → (Vtx‘𝐺) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}))
10	4, 9	ax-mp 5	1 ⊢ (Vtx‘𝐺) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∪ cun 3885  {cpr 4564  {ctp 4566  ⟨cop 4568  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  0cc0 10859  1c1 10860  2c2 12016  3c3 12017  4c4 12018  ...cfz 13227  ⟨“cs4 14544  Vtxcvtx 27354  iEdgciedg 27355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-hash 14033  df-word 14206  df-concat 14262  df-s1 14289  df-s2 14549  df-s3 14550  df-s4 14551  df-vtx 27356  df-iedg 27357

This theorem is referenced by: (None)