MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prprrab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prprrab 14379
Description: The set of proper pairs of elements of a given set expressed in two ways. (Contributed by AV, 24-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
prprrab {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Proof of Theorem prprrab
StepHypRef Expression
1 2ne0 12264 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
21neii 2946 . . . . . . . 8 ¬ 2 = 0
3 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑥) = 2 → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 2 = 0))
42, 3mtbiri 327 . . . . . . 7 ((♯‘𝑥) = 2 → ¬ (♯‘𝑥) = 0)
5 hasheq0 14270 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
65bicomd 222 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ V → (𝑥 = ∅ ↔ (♯‘𝑥) = 0))
76necon3abid 2981 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ (♯‘𝑥) = 0))
87elv 3454 . . . . . . 7 (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ (♯‘𝑥) = 0)
94, 8sylibr 233 . . . . . 6 ((♯‘𝑥) = 2 → 𝑥 ≠ ∅)
109biantrud 533 . . . . 5 ((♯‘𝑥) = 2 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ≠ ∅)))
11 eldifsn 4752 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ≠ ∅))
1210, 11bitr4di 289 . . . 4 ((♯‘𝑥) = 2 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})))
1312pm5.32ri 577 . . 3 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 2) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (♯‘𝑥) = 2))
1413abbii 2807 . 2 {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (♯‘𝑥) = 2)}
15 df-rab 3411 . 2 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 2)}
16 df-rab 3411 . 2 {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (♯‘𝑥) = 2)}
1714, 15, 163eqtr4ri 2776 1 {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2714  wne 2944  {crab 3410  Vcvv 3448  cdif 3912  c0 4287  𝒫 cpw 4565  {csn 4591  cfv 6501  0cc0 11058  2c2 12215  chash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238
This theorem is referenced by:  isumgrs  28089  isusgrs  28149  usgrumgruspgr  28173  subumgredg2  28275  konigsbergssiedgw  29236
  Copyright terms: Public domain W3C validator