Theorem prprrab 14474

Description: The set of proper pairs of elements of a given set expressed in two ways. (Contributed by AV, 24-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prprrab	⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Proof of Theorem prprrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ne0 12354	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
2	1	neii 2939	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 2 = 0
3		eqeq1 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 2 = 0))
4	2, 3	mtbiri 326	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → ¬ (♯‘𝑥) = 0)
5		hasheq0 14362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
6	5	bicomd 222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 = ∅ ↔ (♯‘𝑥) = 0))
7	6	necon3abid 2974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ (♯‘𝑥) = 0))
8	7	elv 3479	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ (♯‘𝑥) = 0)
9	4, 8	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → 𝑥 ≠ ∅)
10	9	biantrud 530	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅)))
11		eldifsn 4795	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
12	10, 11	bitr4di 288	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})))
13	12	pm5.32ri 574	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 2) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (♯‘𝑥) = 2))
14	13	abbii 2798	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (♯‘𝑥) = 2)}
15		df-rab 3431	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 2)}
16		df-rab 3431	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (♯‘𝑥) = 2)}
17	14, 15, 16	3eqtr4ri 2767	1 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2705   ≠ wne 2937  {crab 3430  Vcvv 3473   ∖ cdif 3946  ∅c0 4326  𝒫 cpw 4606  {csn 4632  ‘cfv 6553  0cc0 11146  2c2 12305  ♯chash 14329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-hash 14330

This theorem is referenced by:  isumgrs  28929  isusgrs  28989  usgrumgruspgr  29015  subumgredg2  29118  konigsbergssiedgw  30080