Theorem prprrab 14508

Description: The set of proper pairs of elements of a given set expressed in two ways. (Contributed by AV, 24-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prprrab	⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Proof of Theorem prprrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ne0 12367	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
2	1	neii 2939	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 2 = 0
3		eqeq1 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 2 = 0))
4	2, 3	mtbiri 327	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → ¬ (♯‘𝑥) = 0)
5		hasheq0 14398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
6	5	bicomd 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 = ∅ ↔ (♯‘𝑥) = 0))
7	6	necon3abid 2974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ (♯‘𝑥) = 0))
8	7	elv 3482	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ (♯‘𝑥) = 0)
9	4, 8	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → 𝑥 ≠ ∅)
10	9	biantrud 531	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅)))
11		eldifsn 4790	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
12	10, 11	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})))
13	12	pm5.32ri 575	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 2) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (♯‘𝑥) = 2))
14	13	abbii 2806	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (♯‘𝑥) = 2)}
15		df-rab 3433	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 2)}
16		df-rab 3433	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (♯‘𝑥) = 2)}
17	14, 15, 16	3eqtr4ri 2773	1 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {cab 2711   ≠ wne 2937  {crab 3432  Vcvv 3477   ∖ cdif 3959  ∅c0 4338  𝒫 cpw 4604  {csn 4630  ‘cfv 6562  0cc0 11152  2c2 12318  ♯chash 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366

This theorem is referenced by:  isumgrs  29127  isusgrs  29187  usgrumgruspgr  29213  subumgredg2  29316  konigsbergssiedgw  30278