Theorem prprrab 14004

Description: The set of proper pairs of elements of a given set expressed in two ways. (Contributed by AV, 24-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prprrab	⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Proof of Theorem prprrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ne0 11899	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
2	1	neii 2934	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 2 = 0
3		eqeq1 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 2 = 0))
4	2, 3	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → ¬ (♯‘𝑥) = 0)
5		hasheq0 13895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
6	5	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 = ∅ ↔ (♯‘𝑥) = 0))
7	6	necon3abid 2968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ (♯‘𝑥) = 0))
8	7	elv 3404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ (♯‘𝑥) = 0)
9	4, 8	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → 𝑥 ≠ ∅)
10	9	biantrud 535	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅)))
11		eldifsn 4686	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
12	10, 11	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})))
13	12	pm5.32ri 579	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 2) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (♯‘𝑥) = 2))
14	13	abbii 2801	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (♯‘𝑥) = 2)}
15		df-rab 3060	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 2)}
16		df-rab 3060	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (♯‘𝑥) = 2)}
17	14, 15, 16	3eqtr4ri 2770	1 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  {cab 2714   ≠ wne 2932  {crab 3055  Vcvv 3398   ∖ cdif 3850  ∅c0 4223  𝒫 cpw 4499  {csn 4527  ‘cfv 6358  0cc0 10694  2c2 11850  ♯chash 13861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-hash 13862

This theorem is referenced by:  isumgrs  27141  isusgrs  27201  usgrumgruspgr  27225  subumgredg2  27327  konigsbergssiedgw  28287