MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prprrab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prprrab 14512
Description: The set of proper pairs of elements of a given set expressed in two ways. (Contributed by AV, 24-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
prprrab {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Proof of Theorem prprrab
StepHypRef Expression
1 2ne0 12370 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
21neii 2942 . . . . . . . 8 ¬ 2 = 0
3 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑥) = 2 → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 2 = 0))
42, 3mtbiri 327 . . . . . . 7 ((♯‘𝑥) = 2 → ¬ (♯‘𝑥) = 0)
5 hasheq0 14402 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
65bicomd 223 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ V → (𝑥 = ∅ ↔ (♯‘𝑥) = 0))
76necon3abid 2977 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ (♯‘𝑥) = 0))
87elv 3485 . . . . . . 7 (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ (♯‘𝑥) = 0)
94, 8sylibr 234 . . . . . 6 ((♯‘𝑥) = 2 → 𝑥 ≠ ∅)
109biantrud 531 . . . . 5 ((♯‘𝑥) = 2 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ≠ ∅)))
11 eldifsn 4786 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ≠ ∅))
1210, 11bitr4di 289 . . . 4 ((♯‘𝑥) = 2 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})))
1312pm5.32ri 575 . . 3 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 2) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (♯‘𝑥) = 2))
1413abbii 2809 . 2 {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (♯‘𝑥) = 2)}
15 df-rab 3437 . 2 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 2)}
16 df-rab 3437 . 2 {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (♯‘𝑥) = 2)}
1714, 15, 163eqtr4ri 2776 1 {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  cfv 6561  0cc0 11155  2c2 12321  chash 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370
This theorem is referenced by:  isumgrs  29113  isusgrs  29173  usgrumgruspgr  29199  subumgredg2  29302  konigsbergssiedgw  30269
  Copyright terms: Public domain W3C validator