MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdumgrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdumgrval 29339
Description: The value of the vertex degree function for a multigraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdlfgrval.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vtxdlfgrval.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
vtxdlfgrval.a 𝐴 = dom 𝐼
vtxdlfgrval.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
vtxdumgrval ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (π·β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐼   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(π‘₯)

Proof of Theorem vtxdumgrval
StepHypRef Expression
1 vtxdlfgrval.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 vtxdlfgrval.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
31, 2umgrislfupgr 28975 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}))
4 vtxdlfgrval.a . . . . . 6 𝐴 = dom 𝐼
54eqcomi 2734 . . . . 5 dom 𝐼 = 𝐴
65feq2i 6709 . . . 4 (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ↔ 𝐼:𝐴⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
76biimpi 215 . . 3 (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ 𝐼:𝐴⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
83, 7simplbiim 503 . 2 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ 𝐼:𝐴⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
9 vtxdlfgrval.d . . 3 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
101, 2, 4, 9vtxdlfgrval 29338 . 2 ((𝐼:𝐴⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (π·β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}))
118, 10sylan 578 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (π·β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  π’« cpw 4599   class class class wbr 5144  dom cdm 5673  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543   ≀ cle 11274  2c2 12292  β™―chash 14316  Vtxcvtx 28848  iEdgciedg 28849  UPGraphcupgr 28932  UMGraphcumgr 28933  VtxDegcvtxdg 29318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-xadd 13120  df-fz 13512  df-hash 14317  df-upgr 28934  df-umgr 28935  df-vtxdg 29319
This theorem is referenced by:  vtxdusgrval  29340  umgr2v2evd2  29380  vdn0conngrumgrv2  30045
  Copyright terms: Public domain W3C validator