Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdumgrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdumgrval 27260
 Description: The value of the vertex degree function for a multigraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdlfgrval.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdlfgrval.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdlfgrval.a 𝐴 = dom 𝐼
vtxdlfgrval.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxdumgrval ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem vtxdumgrval
StepHypRef Expression
1 vtxdlfgrval.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vtxdlfgrval.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
31, 2umgrislfupgr 26900 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
4 vtxdlfgrval.a . . . . . 6 𝐴 = dom 𝐼
54eqcomi 2828 . . . . 5 dom 𝐼 = 𝐴
65feq2i 6499 . . . 4 (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ 𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
76biimpi 218 . . 3 (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → 𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
83, 7simplbiim 507 . 2 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
9 vtxdlfgrval.d . . 3 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
101, 2, 4, 9vtxdlfgrval 27259 . 2 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
118, 10sylan 582 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  {crab 3140  𝒫 cpw 4537   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348   ≤ cle 10668  2c2 11684  ♯chash 13682  Vtxcvtx 26773  iEdgciedg 26774  UPGraphcupgr 26857  UMGraphcumgr 26858  VtxDegcvtxdg 27239 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-xadd 12500  df-fz 12885  df-hash 13683  df-upgr 26859  df-umgr 26860  df-vtxdg 27240 This theorem is referenced by:  vtxdusgrval  27261  umgr2v2evd2  27301  vdn0conngrumgrv2  27967
 Copyright terms: Public domain W3C validator