Theorem wrdred1hash 14516

Description: The length of a word truncated by a symbol. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wrdred1hash	⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))

Proof of Theorem wrdred1hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 14488	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
2		wrdf 14474	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
3		ffn 6718	. . . 4 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
4		nn0z 12588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
5		fzossrbm1 13666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
8	7	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
9		fnssresb 6673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) Fn (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ↔ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))))
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) Fn (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ↔ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))))
11	8, 10	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) Fn (0..^((♯‘𝐹) − 1)))
12		hashfn 14340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) Fn (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = (♯‘(0..^((♯‘𝐹) − 1))))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = (♯‘(0..^((♯‘𝐹) − 1))))
14		1nn0 12493	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		nn0sub2 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
16	14, 15	mp3an1 1447	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
17		hashfzo0 14395	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^((♯‘𝐹) − 1))) = ((♯‘𝐹) − 1))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(0..^((♯‘𝐹) − 1))) = ((♯‘𝐹) − 1))
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → (♯‘(0..^((♯‘𝐹) − 1))) = ((♯‘𝐹) − 1))
20	13, 19	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)))
22	2, 3, 21	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)))
23	1, 22	mpand 692	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (1 ≤ (♯‘𝐹) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)))
24	23	imp 406	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149   ↾ cres 5679   Fn wfn 6539  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114   ≤ cle 11254   − cmin 11449  ℕ₀cn0 12477  ℤcz 12563  ..^cfzo 13632  ♯chash 14295  Word cword 14469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470

This theorem is referenced by:  redwlklem  29192  redwlk  29193