Theorem wrdred1hash 14659

Description: The length of a word truncated by a symbol. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wrdred1hash	⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))

Proof of Theorem wrdred1hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 14631	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
2		wrdf 14616	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
3		ffn 6698	. . . 4 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
4		nn0z 12672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
5		fzossrbm1 13777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
7	6	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
8	7	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
9		fnssresb 6650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) Fn (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ↔ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))))
10	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) Fn (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ↔ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))))
11	8, 10	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) Fn (0..^((♯‘𝐹) − 1)))
12		hashfn 14472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) Fn (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = (♯‘(0..^((♯‘𝐹) − 1))))
13	11, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = (♯‘(0..^((♯‘𝐹) − 1))))
14		1nn0 12577	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		nn0sub2 12715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
16	14, 15	mp3an1 1477	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
17		hashfzo0 14528	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^((♯‘𝐹) − 1))) = ((♯‘𝐹) − 1))
18	16, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(0..^((♯‘𝐹) − 1))) = ((♯‘𝐹) − 1))
19	18	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → (♯‘(0..^((♯‘𝐹) − 1))) = ((♯‘𝐹) − 1))
20	13, 19	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))
21	20	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)))
22	2, 3, 21	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)))
23	1, 22	mpand 708	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (1 ≤ (♯‘𝐹) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)))
24	23	imp 412	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↾ cres 5650   Fn wfn 6523  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  0cc0 11157  1c1 11158   ≤ cle 11301   − cmin 11498  ℕ₀cn0 12561  ℤcz 12648  ..^cfzo 13742  ♯chash 14427  Word cword 14611

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-hash 14428  df-word 14612

This theorem is used by:  redwlklem  30169  redwlk  30170