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Theorem redwlk 28929
Description: A walk ending at the last but one vertex of the walk is a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
redwlk ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))(Walksβ€˜πΊ)(𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))))
Proof of Theorem redwlk
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkv 28869 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2 eqid 2733 . . . . 5 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
3 eqid 2733 . . . . 5 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
42, 3iswlk 28867 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
5 wrdred1 14510 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ))
65a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)))
73wlkf 28871 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ))
8 redwlklem 28928 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))):(0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
983exp 1120 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) β†’ (1 ≀ (β™―β€˜πΉ) β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))):(0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))⟢(Vtxβ€˜πΊ))))
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (1 ≀ (β™―β€˜πΉ) β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))):(0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))⟢(Vtxβ€˜πΊ))))
1110imp 408 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))):(0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))⟢(Vtxβ€˜πΊ)))
12 wlkcl 28872 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
13 wrdred1hash 14511 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))) = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))
147, 13sylan 581 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))) = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))
15 nn0z 12583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
16 fzossrbm1 13661 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„€ β†’ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)))
18 ssralv 4051 . . . . . . . . . . . . 13 ((0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
2017sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
2120fvresd 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
2221eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜))
23 fzo0ss1 13662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1..^(β™―β€˜πΉ)) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ))
24 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
2515adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
26 1zzd 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ 1 ∈ β„€)
27 fzoaddel2 13688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)))
2923, 28sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
3029fvresd 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
3130eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)))
3222, 31eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ↔ ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))))
33 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
3433adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
3534eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜))
3635fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))
3722sneqd 4641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)})
3836, 37eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} ↔ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}))
3922, 31preq12d 4746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))})
4039, 36sseq12d 4016 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ↔ {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜))))
4132, 38, 40ifpbi123d 1079 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
4241biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
4342ralimdva 3168 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
4419, 43syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
4544adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))) = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
46 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))) = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) β†’ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))))) = (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
4746eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))) = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) β†’ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) = (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))))))
4847raleqdv 3326 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))) = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
4948adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))) = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
5045, 49sylibd 238 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))) = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
5112, 14, 50syl2an2r 684 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
526, 11, 513anim123d 1444 . . . . . . 7 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))):(0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜))))))
5352imp 408 . . . . . 6 (((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))):(0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
54 id 22 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ V β†’ 𝐺 ∈ V)
55 resexg 6028 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ V β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ V)
56 resexg 6028 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ V β†’ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∈ V)
572, 3iswlk 28867 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ V ∧ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∈ V) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))(Walksβ€˜πΊ)(𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ↔ ((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))):(0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜))))))
5857bicomd 222 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ V ∧ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∈ V) β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))):(0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))) ↔ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))(Walksβ€˜πΊ)(𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))))
5954, 55, 56, 58syl3an 1161 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))):(0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))) ↔ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))(Walksβ€˜πΊ)(𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))))
6053, 59imbitrid 243 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ (((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))(Walksβ€˜πΊ)(𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))))
6160expcomd 418 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))(Walksβ€˜πΊ)(𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))))))
624, 61sylbid 239 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))(Walksβ€˜πΊ)(𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))))))
631, 62mpcom 38 . 2 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))(Walksβ€˜πΊ)(𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))))
6463anabsi5 668 1 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))(Walksβ€˜πΊ)(𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  if-wif 1062   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  Word cword 14464  Vtxcvtx 28256  iEdgciedg 28257  Walkscwlks 28853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-wlks 28856
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