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Theorem redwlk 28918
Description: A walk ending at the last but one vertex of the walk is a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
redwlk ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))(Walksβ€˜πΊ)(𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))))
Proof of Theorem redwlk
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkv 28858 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2 eqid 2732 . . . . 5 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
3 eqid 2732 . . . . 5 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
42, 3iswlk 28856 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
5 wrdred1 14506 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ))
65a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)))
73wlkf 28860 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ))
8 redwlklem 28917 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))):(0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
983exp 1119 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) β†’ (1 ≀ (β™―β€˜πΉ) β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))):(0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))⟢(Vtxβ€˜πΊ))))
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (1 ≀ (β™―β€˜πΉ) β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))):(0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))⟢(Vtxβ€˜πΊ))))
1110imp 407 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))):(0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))⟢(Vtxβ€˜πΊ)))
12 wlkcl 28861 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
13 wrdred1hash 14507 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))) = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))
147, 13sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))) = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))
15 nn0z 12579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
16 fzossrbm1 13657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„€ β†’ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)))
18 ssralv 4049 . . . . . . . . . . . . 13 ((0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
2017sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
2120fvresd 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
2221eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜))
23 fzo0ss1 13658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1..^(β™―β€˜πΉ)) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ))
24 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
2515adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
26 1zzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ 1 ∈ β„€)
27 fzoaddel2 13684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)))
2923, 28sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
3029fvresd 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
3130eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)))
3222, 31eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ↔ ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))))
33 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
3534eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜))
3635fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))
3722sneqd 4639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)})
3836, 37eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} ↔ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}))
3922, 31preq12d 4744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))})
4039, 36sseq12d 4014 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ↔ {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜))))
4132, 38, 40ifpbi123d 1078 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
4241biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
4342ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
4419, 43syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
4544adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))) = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
46 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))) = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) β†’ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))))) = (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
4746eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))) = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) β†’ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) = (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))))))
4847raleqdv 3325 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))) = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
4948adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))) = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
5045, 49sylibd 238 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))) = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
5112, 14, 50syl2an2r 683 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
526, 11, 513anim123d 1443 . . . . . . 7 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))):(0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜))))))
5352imp 407 . . . . . 6 (((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))):(0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))))
54 id 22 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ V β†’ 𝐺 ∈ V)
55 resexg 6025 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ V β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ V)
56 resexg 6025 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ V β†’ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∈ V)
572, 3iswlk 28856 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ V ∧ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∈ V) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))(Walksβ€˜πΊ)(𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ↔ ((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))):(0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜))))))
5857bicomd 222 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ V ∧ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∈ V) β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))):(0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))) ↔ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))(Walksβ€˜πΊ)(𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))))
5954, 55, 56, 58syl3an 1160 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ (((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ (𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))):(0...(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))))if-(((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜) = ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)) = {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜)}, {((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜π‘˜), ((𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜((𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)))) ↔ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))(Walksβ€˜πΊ)(𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))))
6053, 59imbitrid 243 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ (((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))(Walksβ€˜πΊ)(𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))))
6160expcomd 417 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))(Walksβ€˜πΊ)(𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))))))
624, 61sylbid 239 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))(Walksβ€˜πΊ)(𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))))))
631, 62mpcom 38 . 2 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))(Walksβ€˜πΊ)(𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ)))))
6463anabsi5 667 1 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐹 β†Ύ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))(Walksβ€˜πΊ)(𝑃 β†Ύ (0..^(β™―β€˜πΉ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  if-wif 1061   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Word cword 14460  Vtxcvtx 28245  iEdgciedg 28246  Walkscwlks 28842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-wlks 28845
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