Theorem redwlk 29925

Description: A walk ending at the last but one vertex of the walk is a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
redwlk	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))))

Proof of Theorem redwlk

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkv 29867	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	iswlk 29865	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))))
5		wrdred1 14585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)))
7	3	wlkf 29869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
8		redwlklem 29924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))
9	8	3exp 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (1 ≤ (♯‘𝐹) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))))
10	7, 9	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (1 ≤ (♯‘𝐹) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))))
11	10	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺)))
12		wlkcl 29870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
13		wrdred1hash 14586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))
14	7, 13	sylan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))
15		nn0z 12603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
16		fzossrbm1 13705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
18		ssralv 4008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
20	17	sselda 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
21	20	fvresd 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
22	21	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘))
23		fzo0ss1 13706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
24		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))
25	15	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
26		1zzd 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
27		fzoaddel2 13737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
29	23, 28	sselid 3937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
30	29	fvresd 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
31	30	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)))
32	22, 31	eqeq12d 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))))
33		fvres 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
34	33	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
35	34	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))
36	35	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))
37	22	sneqd 4597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → {(𝑃‘𝑘)} = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)})
38	36, 37	eqeq12d 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}))
39	22, 31	preq12d 4703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))})
40	39, 36	sseq12d 3972	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))
41	32, 38, 40	ifpbi123d 1093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
42	41	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
43	42	ralimdva 3177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
44	19, 43	syld 48	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
45	44	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
46		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1) → (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))) = (0..^((♯‘𝐹) − 1)))
47	46	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) = (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))))
48	47	raleqdv 3323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1) → (∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
49	48	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
50	45, 49	sylibd 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
51	12, 14, 50	syl2an2r 697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
52	6, 11, 51	3anim123d 1467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))))
53	52	imp 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
54		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
55		resexg 6016	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ V)
56		resexg 6016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))) ∈ V)
57	2, 3	iswlk 29865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))) ∈ V) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))))
58	57	bicomd 226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))) ∈ V) → (((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))))
59	54, 55, 56, 58	syl3an 1176	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))))
60	53, 59	imbitrid 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))))
61	60	expcomd 421	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))))))
62	4, 61	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))))))
63	1, 62	mpcom 39	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))))
64	63	anabsi5 681	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  if-wif 1076   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  {csn 4585  {cpr 4587   class class class wbr 5104  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   ≤ cle 11232   − cmin 11429  ℕ₀cn0 12492  ℤcz 12579  ...cfz 13523  ..^cfzo 13670  ♯chash 14354  Word cword 14538  Vtxcvtx 29251  iEdgciedg 29252  Walkscwlks 29851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-hash 14355  df-word 14539  df-wlks 29854

This theorem is referenced by: (None)