Theorem redwlk 30284

Description: A walk ending at the last but one vertex of the walk is a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
redwlk	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))))

Proof of Theorem redwlk

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkv 30226	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	iswlk 30224	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))))
5		wrdred1 14735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)))
7	3	wlkf 30228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
8		redwlklem 30283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))
9	8	3exp 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (1 ≤ (♯‘𝐹) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))))
10	7, 9	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (1 ≤ (♯‘𝐹) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))))
11	10	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺)))
12		wlkcl 30229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
13		wrdred1hash 14736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))
14	7, 13	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))
15		nn0z 12747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
16		fzossrbm1 13853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
18		ssralv 3982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
20	17	sselda 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
21	20	fvresd 6931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
22	21	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘))
23		fzo0ss1 13854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
24		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))
25	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
26		1zzd 12757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
27		fzoaddel2 13885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
29	23, 28	sselid 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
30	29	fvresd 6931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
31	30	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)))
32	22, 31	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))))
33		fvres 6930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
34	33	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
35	34	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))
36	35	fveq2d 6915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))
37	22	sneqd 4596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → {(𝑃‘𝑘)} = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)})
38	36, 37	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}))
39	22, 31	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))})
40	39, 36	sseq12d 3946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))
41	32, 38, 40	ifpbi123d 1095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
42	41	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
43	42	ralimdva 3178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
44	19, 43	syld 48	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
45	44	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
46		oveq2 7454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1) → (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))) = (0..^((♯‘𝐹) − 1)))
47	46	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) = (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))))
48	47	raleqdv 3323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1) → (∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
49	48	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
50	45, 49	sylibd 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
51	12, 14, 50	syl2an2r 698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
52	6, 11, 51	3anim123d 1472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))))
53	52	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
54		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
55		resexg 6029	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ V)
56		resexg 6029	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))) ∈ V)
57	2, 3	iswlk 30224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))) ∈ V) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))))
58	57	bicomd 226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))) ∈ V) → (((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))))
59	54, 55, 56, 58	syl3an 1178	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))))
60	53, 59	imbitrid 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))))
61	60	expcomd 422	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))))))
62	4, 61	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))))))
63	1, 62	mpcom 39	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))))
64	63	anabsi5 682	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  if-wif 1078   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5106  dom cdm 5656   ↾ cres 5658  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   ≤ cle 11374   − cmin 11571  ℕ₀cn0 12636  ℤcz 12723  ...cfz 13669  ..^cfzo 13818  ♯chash 14504  Word cword 14688  Vtxcvtx 29607  iEdgciedg 29608  Walkscwlks 30210

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-hash 14505  df-word 14689  df-wlks 30213

This theorem is used by: (None)