Theorem redwlk 29762

Description: A walk ending at the last but one vertex of the walk is a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
redwlk	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))))

Proof of Theorem redwlk

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkv 29704	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	iswlk 29702	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))))
5		wrdred1 14497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)))
7	3	wlkf 29706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
8		redwlklem 29761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))
9	8	3exp 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (1 ≤ (♯‘𝐹) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))))
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (1 ≤ (♯‘𝐹) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))))
11	10	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺)))
12		wlkcl 29707	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
13		wrdred1hash 14498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))
14	7, 13	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))
15		nn0z 12526	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
16		fzossrbm1 13618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
18		ssralv 4004	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
20	17	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
21	20	fvresd 6864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
22	21	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘))
23		fzo0ss1 13619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))
25	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
26		1zzd 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
27		fzoaddel2 13650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
29	23, 28	sselid 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
30	29	fvresd 6864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
31	30	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)))
32	22, 31	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))))
33		fvres 6863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
35	34	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))
36	35	fveq2d 6848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))
37	22	sneqd 4594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → {(𝑃‘𝑘)} = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)})
38	36, 37	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}))
39	22, 31	preq12d 4700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))})
40	39, 36	sseq12d 3969	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))
41	32, 38, 40	ifpbi123d 1079	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
42	41	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
43	42	ralimdva 3150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
44	19, 43	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
46		oveq2 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1) → (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))) = (0..^((♯‘𝐹) − 1)))
47	46	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) = (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))))
48	47	raleqdv 3298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1) → (∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
50	45, 49	sylibd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
51	12, 14, 50	syl2an2r 686	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
52	6, 11, 51	3anim123d 1446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))))
53	52	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
54		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
55		resexg 5996	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ V)
56		resexg 5996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))) ∈ V)
57	2, 3	iswlk 29702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))) ∈ V) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))))
58	57	bicomd 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))) ∈ V) → (((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))))
59	54, 55, 56, 58	syl3an 1161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))))
60	53, 59	imbitrid 244	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))))
61	60	expcomd 416	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))))))
62	4, 61	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))))))
63	1, 62	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹)))))
64	63	anabsi5 670	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  if-wif 1063   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  {csn 4582  {cpr 4584   class class class wbr 5100  dom cdm 5634   ↾ cres 5636  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   ≤ cle 11181   − cmin 11378  ℕ₀cn0 12415  ℤcz 12502  ...cfz 13437  ..^cfzo 13584  ♯chash 14267  Word cword 14450  Vtxcvtx 29087  iEdgciedg 29088  Walkscwlks 29688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-hash 14268  df-word 14451  df-wlks 29691

This theorem is referenced by: (None)