Theorem hashfzo0 14390

Description: Cardinality of a half-open set of integers based at zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfzo0	⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem hashfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashfzo 14389	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘(0..^𝐵)) = (𝐵 − 0))
2		nn0uz 12824	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleq2s 2858	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐵)) = (𝐵 − 0))
4		nn0cn 12445	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	subid1d 11492	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 − 0) = 𝐵)
6	3, 5	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036   − cmin 11375  ℕ₀cn0 12435  ℤ_≥cuz 12786  ..^cfzo 13606  ♯chash 14290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291

This theorem is referenced by:  ffzo0hash  14409  tpf1o  14461  hashwrdn  14507  eqwrd  14517  wrdred1hash  14521  ccatlen  14535  ccatalpha  14554  swrdlen  14608  swrdwrdsymb  14623  pfxlen  14644  revlen  14722  repswlen  14736  s7f1o  14926  ofccat  14929  crth  16746  phisum  16759  cshwshashnsame  17072  chnpolleha  18596  pmtrdifwrdellem2  19455  odhash2  19548  ablfaclem3  20062  znhash  21540  wrdpmtrlast  33181  cycpmconjslem2  33243  1arithidomlem1  33625  1arithidomlem2  33626  1arithidom  33627  ply1degltdim  33814  subiwrdlen  34577  ccatmulgnn0dir  34733  ofcccat  34734  signstlen  34758  signsvtn0  34761  signstres  34766  signshlen  34781  reprlt  34810  reprgt  34812  breprexpnat  34825  circlemethnat  34832  circlevma  34833  hgt750lema  34848  lpadlem2  34871  frlmvscadiccat  43003  fltnltalem  43119  amgm2d  44649  amgm3d  44650  amgm4d  44651  fourierdlem73  46629  chnsuslle  47333  grtriprop  48439  grtriclwlk3  48443  gpgorder  48557