Theorem hashfzo0 14392

Description: Cardinality of a half-open set of integers based at zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfzo0	⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem hashfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashfzo 14391	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘(0..^𝐵)) = (𝐵 − 0))
2		nn0uz 12826	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleq2s 2854	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐵)) = (𝐵 − 0))
4		nn0cn 12447	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	subid1d 11494	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 − 0) = 𝐵)
6	3, 5	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038   − cmin 11377  ℕ₀cn0 12437  ℤ_≥cuz 12788  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293

This theorem is referenced by:  ffzo0hash  14411  tpf1o  14463  hashwrdn  14509  eqwrd  14519  wrdred1hash  14523  ccatlen  14537  ccatalpha  14556  swrdlen  14610  swrdwrdsymb  14625  pfxlen  14646  revlen  14724  repswlen  14738  s7f1o  14928  ofccat  14931  crth  16748  phisum  16761  cshwshashnsame  17074  chnpolleha  18598  pmtrdifwrdellem2  19457  odhash2  19550  ablfaclem3  20064  znhash  21538  wrdpmtrlast  33154  cycpmconjslem2  33216  1arithidomlem1  33595  1arithidomlem2  33596  1arithidom  33597  ply1degltdim  33767  subiwrdlen  34530  ccatmulgnn0dir  34686  ofcccat  34687  signstlen  34711  signsvtn0  34714  signstres  34719  signshlen  34734  reprlt  34763  reprgt  34765  breprexpnat  34778  circlemethnat  34785  circlevma  34786  hgt750lema  34801  lpadlem2  34824  frlmvscadiccat  42951  fltnltalem  43095  amgm2d  44625  amgm3d  44626  amgm4d  44627  fourierdlem73  46607  chnsuslle  47311  grtriprop  48417  grtriclwlk3  48421  gpgorder  48535