Theorem hashfzo0 14341

Description: Cardinality of a half-open set of integers based at zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfzo0	⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem hashfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashfzo 14340	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘(0..^𝐵)) = (𝐵 − 0))
2		nn0uz 12778	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleq2s 2851	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐵)) = (𝐵 − 0))
4		nn0cn 12400	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	subid1d 11470	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 − 0) = 𝐵)
6	3, 5	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  0cc0 11015   − cmin 11353  ℕ₀cn0 12390  ℤ_≥cuz 12740  ..^cfzo 13558  ♯chash 14241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-hash 14242

This theorem is referenced by:  ffzo0hash  14360  tpf1o  14412  hashwrdn  14458  eqwrd  14468  wrdred1hash  14472  ccatlen  14486  ccatalpha  14505  swrdlen  14559  swrdwrdsymb  14574  pfxlen  14595  revlen  14673  repswlen  14687  s7f1o  14877  ofccat  14880  crth  16693  phisum  16706  cshwshashnsame  17019  chnpolleha  18542  pmtrdifwrdellem2  19398  odhash2  19491  ablfaclem3  20005  znhash  21499  wrdpmtrlast  33071  cycpmconjslem2  33133  1arithidomlem1  33509  1arithidomlem2  33510  1arithidom  33511  ply1degltdim  33659  subiwrdlen  34422  ccatmulgnn0dir  34578  ofcccat  34579  signstlen  34603  signsvtn0  34606  signstres  34611  signshlen  34626  reprlt  34655  reprgt  34657  breprexpnat  34670  circlemethnat  34677  circlevma  34678  hgt750lema  34693  lpadlem2  34716  frlmvscadiccat  42627  fltnltalem  42783  amgm2d  44318  amgm3d  44319  amgm4d  44320  fourierdlem73  46304  chnsuslle  47006  grtriprop  48068  grtriclwlk3  48072  gpgorder  48186