Theorem hashfzo0 14455

Description: Cardinality of a half-open set of integers based at zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfzo0	⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem hashfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashfzo 14454	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘(0..^𝐵)) = (𝐵 − 0))
2		nn0uz 12888	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleq2s 2883	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐵)) = (𝐵 − 0))
4		nn0cn 12502	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	subid1d 11546	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 − 0) = 𝐵)
6	3, 5	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088   − cmin 11429  ℕ₀cn0 12492  ℤ_≥cuz 12850  ..^cfzo 13670  ♯chash 14354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-hash 14355

This theorem is referenced by:  ffzo0hash  14474  tpf1o  14526  hashwrdn  14572  eqwrd  14582  wrdred1hash  14586  ccatlen  14600  ccatalpha  14619  swrdlen  14673  swrdwrdsymb  14688  pfxlen  14709  revlen  14787  repswlen  14801  s7f1o  14991  ofccat  14994  crth  16825  phisum  16838  cshwshashnsame  17151  chnpolleha  18676  pmtrdifwrdellem2  19540  odhash2  19633  ablfaclem3  20147  znhash  21665  wrdpmtrlast  33321  cycpmconjslem2  33383  1arithidomlem1  33737  1arithidomlem2  33738  1arithidom  33739  ply1degltdim  33925  subiwrdlen  34688  ccatmulgnn0dir  34844  ofcccat  34845  signstlen  34866  signsvtn0  34869  signstres  34874  signshlen  34889  reprlt  34918  reprgt  34920  breprexpnat  34933  circlemethnat  34940  circlevma  34941  hgt750lema  34956  lpadlem2  34982  frlmvscadiccat  43135  fltnltalem  43251  amgm2d  44781  amgm3d  44782  amgm4d  44783  fourierdlem73  46752  chnsuslle  47456  grtriprop  48562  grtriclwlk3  48566  gpgorder  48680