MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfzo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfzo0 13506
Description: Cardinality of a half-open set of integers based at zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfzo0 (𝐵 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem hashfzo0
StepHypRef Expression
1 hashfzo 13505 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ‘0) → (♯‘(0..^𝐵)) = (𝐵 − 0))
2 nn0uz 12004 . . 3 0 = (ℤ‘0)
31, 2eleq2s 2924 . 2 (𝐵 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐵)) = (𝐵 − 0))
4 nn0cn 11629 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ)
54subid1d 10702 . 2 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 − 0) = 𝐵)
63, 5eqtrd 2861 1 (𝐵 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐵)) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1658  wcel 2166  cfv 6123  (class class class)co 6905  0cc0 10252  cmin 10585  0cn0 11618  cuz 11968  ..^cfzo 12760  chash 13410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411
This theorem is referenced by:  ffzo0hash  13522  hashwrdn  13607  eqwrd  13617  wrdred1hash  13621  ccatlen  13635  ccatalpha  13653  swrd0lenOLD  13708  swrdlen  13709  swrdwrdsymb  13736  pfxlen  13762  revlen  13878  repswlen  13892  ofccat  14087  crth  15854  phisum  15866  cshwshashnsame  16176  pmtrdifwrdellem2  18252  odhash2  18341  ablfaclem3  18840  znhash  20266  subiwrdlen  30993  ccatmulgnn0dir  31166  ofcccat  31167  signstlen  31191  signsvtn0  31194  signsvtn0OLD  31195  signstres  31200  signshlen  31216  reprlt  31246  reprgt  31248  breprexpnat  31261  circlemethnat  31268  circlevma  31269  hgt750lema  31284  amgm2d  39341  amgm3d  39342  amgm4d  39343  fourierdlem73  41190
  Copyright terms: Public domain W3C validator