Theorem hashfzo0 14578

Description: Cardinality of a half-open set of integers based at zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfzo0	⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem hashfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashfzo 14577	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘(0..^𝐵)) = (𝐵 − 0))
2		nn0uz 13006	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleq2s 2878	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐵)) = (𝐵 − 0))
4		nn0cn 12619	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	subid1d 11661	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 − 0) = 𝐵)
6	3, 5	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐵)) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203   − cmin 11544  ℕ₀cn0 12609  ℤ_≥cuz 12968  ..^cfzo 13791  ♯chash 14477

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478

This theorem is used by:  ffzo0hash  14597  tpf1o  14649  hashwrdn  14695  eqwrd  14705  wrdred1hash  14709  ccatlen  14723  ccatalpha  14743  swrdlen  14799  swrdwrdsymb  14816  pfxlen  14837  revlen  14915  repswlen  14931  s3rex  15106  s7f1o  15124  ofccat  15127  crth  16960  phisum  16973  cshwshashnsame  17286  chnpolleha  18811  pmtrdifwrdellem2  19701  odhash2  19794  ablfaclem3  20308  znhash  21869  elcgrabasi  29380  wrdpmtrlast  33700  cycpmconjslem2  33762  1arithidomlem1  34113  1arithidomlem2  34114  1arithidom  34115  ply1degltdim  34301  subiwrdlen  35064  ccatmulgnn0dir  35220  ofcccat  35221  signstlen  35242  signsvtn0  35245  signstres  35250  signshlen  35265  reprlt  35294  reprgt  35296  breprexpnat  35309  circlemethnat  35316  circlevma  35317  hgt750lema  35332  lpadlem2  35358  frlmvscadiccat  43666  fltnltalem  43766  amgm2d  45291  amgm3d  45292  amgm4d  45293  fourierdlem73  47282  chnsuslle  47984  grtriprop  49132  grtriclwlk3  49136  gpgorder  49250