Theorem redwlklem 30232

Description: Lemma for redwlk 30233. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
redwlklem	⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉)

Proof of Theorem redwlklem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
2		fzossfz 13793	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
3		fssres 6740	. . . . 5 ⊢ ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑉)
4	1, 2, 3	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑉)
5	4	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑉))
6		lencl 14658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12699	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
8		fzoval 13774	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
9	7, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
11		wrdred1hash 14686	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))
12		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1) → (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
13	12	eqeq2d 2772	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1) → ((0..^(♯‘𝐹)) = (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))) ↔ (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1))))
14	11, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → ((0..^(♯‘𝐹)) = (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))) ↔ (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1))))
15	10, 14	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))))
16	15	feq2d 6685	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑉 ↔ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉))
17	5, 16	sylibd 242	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉))
18	17	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↾ cres 5653  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  0cc0 11181  1c1 11182   ≤ cle 11325   − cmin 11522  ℤcz 12674  ...cfz 13620  ..^cfzo 13768  ♯chash 14454  Word cword 14638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639

This theorem is used by:  redwlk  30233