Theorem redwlklem 28327

Description: Lemma for redwlk 28328. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
redwlklem	⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉)

Proof of Theorem redwlklem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
2		fzossfz 13512	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
3		fssres 6696	. . . . 5 ⊢ ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑉)
4	1, 2, 3	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑉)
5	4	ex 414	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑉))
6		lencl 14341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12530	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
8		fzoval 13494	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
10	9	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
11		wrdred1hash 14369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))
12		oveq2 7350	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1) → (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
13	12	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1) → ((0..^(♯‘𝐹)) = (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))) ↔ (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1))))
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → ((0..^(♯‘𝐹)) = (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))) ↔ (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1))))
15	10, 14	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))))
16	15	feq2d 6642	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑉 ↔ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉))
17	5, 16	sylibd 238	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉))
18	17	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5097   ↾ cres 5627  ⟶wf 6480  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342  0cc0 10977  1c1 10978   ≤ cle 11116   − cmin 11311  ℤcz 12425  ...cfz 13345  ..^cfzo 13488  ♯chash 14150  Word cword 14322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-hash 14151  df-word 14323

This theorem is referenced by:  redwlk  28328