Theorem matbas2d 22768

Description: The base set of the matrix ring as a mapping operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matbas2i.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matbas2d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
matbas2d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
matbas2d.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
matbas2d	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝑅(𝑥, 𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem matbas2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matbas2d.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ 𝐾)
2	1	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
3	2	ralrimivva 3209	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 𝐶 ∈ 𝐾)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶)
5	4	fmpo 8104	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 𝐶 ∈ 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
6	3, 5	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
7		matbas2i.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		matbas2d.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
9		matbas2d.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
10		matbas2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
11		matbas2.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
12	10, 11	matbas2 22766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
13	8, 9, 12	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
14	7, 13	eqtr4id 2817	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
15	14	eleq2d 2850	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁))))
16	11	fvexi 6922	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ V
17	8, 8	xpexd 7789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
18		elmapg 8887	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
19	16, 17, 18	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
20	15, 19	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
21	6, 20	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   × cxp 5653  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∈ cmpo 7445   ↑_m cmap 8875  Fincfn 9001  Basecbs 17416   Mat cmat 22752

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-prds 17647  df-pws 17649  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-dsmm 22068  df-frlm 22083  df-mat 22753

This theorem is used by:  mpomatmul  22791  dmatmulcl  22845  scmatscmiddistr  22853  marrepcl  22909  marepvcl  22914  submabas  22923  mdetrsca2  22949  mdetr0  22950  mdetrlin2  22952  mdetralt2  22954  mdetero  22955  mdetunilem2  22958  mdetunilem5  22961  mdetunilem6  22962  maduf  22986  madutpos  22987  marep01ma  23005  mat2pmatbas  23074  mat2pmatghm  23078  cpm2mf  23100  m2cpminvid  23101  m2cpminvid2  23103  m2cpmfo  23104  decpmatcl  23115  decpmatmul  23120  pmatcollpw1  23124  pmatcollpw2  23126  monmatcollpw  23127  pmatcollpwlem  23128  pmatcollpw  23129  pmatcollpw3lem  23131  pmatcollpwscmatlem2  23138  pm2mpf1  23147  mply1topmatcl  23153  mp2pm2mplem2  23155  mp2pm2mplem4  23157  pm2mpghm  23164  lmatcl  34518  mdetpmtr1  34525  mdetpmtr2  34526  mdetpmtr12  34527  madjusmdetlem1  34529  madjusmdetlem3  34531