Theorem matbas2d 22617

Description: The base set of the matrix ring as a mapping operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matbas2i.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matbas2d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
matbas2d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
matbas2d.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
matbas2d	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝑅(𝑥, 𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem matbas2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matbas2d.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ 𝐾)
2	1	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
3	2	ralrimivva 3211	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 𝐶 ∈ 𝐾)
4		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶)
5	4	fmpo 8074	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑁 ∀𝑦 ∈ 𝑁 𝐶 ∈ 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
6	3, 5	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
7		matbas2i.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		matbas2d.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
9		matbas2d.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
10		matbas2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
11		matbas2.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
12	10, 11	matbas2 22615	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
13	8, 9, 12	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
14	7, 13	eqtr4id 2820	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
15	14	eleq2d 2852	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁))))
16	11	fvexi 6902	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ V
17	8, 8	xpexd 7759	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
18		elmapg 8845	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
19	16, 17, 18	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
20	15, 19	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
21	6, 20	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  Vcvv 3458   × cxp 5664  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425   ↑_m cmap 8833  Fincfn 8952  Basecbs 17294   Mat cmat 22601

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-prds 17525  df-pws 17527  df-sra 21331  df-rgmod 21332  df-dsmm 21919  df-frlm 21934  df-mat 22602

This theorem is used by:  mpomatmul  22640  dmatmulcl  22694  scmatscmiddistr  22702  marrepcl  22758  marepvcl  22763  submabas  22772  mdetrsca2  22798  mdetr0  22799  mdetrlin2  22801  mdetralt2  22803  mdetero  22804  mdetunilem2  22807  mdetunilem5  22810  mdetunilem6  22811  maduf  22835  madutpos  22836  marep01ma  22854  mat2pmatbas  22920  mat2pmatghm  22924  cpm2mf  22946  m2cpminvid  22947  m2cpminvid2  22949  m2cpmfo  22950  decpmatcl  22961  decpmatmul  22966  pmatcollpw1  22970  pmatcollpw2  22972  monmatcollpw  22973  pmatcollpwlem  22974  pmatcollpw  22975  pmatcollpw3lem  22977  pmatcollpwscmatlem2  22984  pm2mpf1  22993  mply1topmatcl  22999  mp2pm2mplem2  23001  mp2pm2mplem4  23003  pm2mpghm  23010  lmatcl  34237  mdetpmtr1  34244  mdetpmtr2  34245  mdetpmtr12  34246  madjusmdetlem1  34248  madjusmdetlem3  34250