MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matbas2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matbas2d 21917
Description: The base set of the matrix ring as a mapping operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
matbas2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
matbas2i.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matbas2d.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
matbas2d.r (𝜑𝑅𝑉)
matbas2d.c ((𝜑𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝐶𝐾)
Assertion
Ref Expression
matbas2d (𝜑 → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem matbas2d
StepHypRef Expression
1 matbas2d.c . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝐶𝐾)
213expb 1121 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → 𝐶𝐾)
32ralrimivva 3201 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑁𝑦𝑁 𝐶𝐾)
4 eqid 2733 . . . 4 (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶)
54fmpo 8051 . . 3 (∀𝑥𝑁𝑦𝑁 𝐶𝐾 ↔ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
63, 5sylib 217 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
7 matbas2i.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
8 matbas2d.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
9 matbas2d.r . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑉)
10 matbas2.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
11 matbas2.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
1210, 11matbas2 21915 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
138, 9, 12syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
147, 13eqtr4id 2792 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
1514eleq2d 2820 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁))))
1611fvexi 6903 . . . 4 𝐾 ∈ V
178, 8xpexd 7735 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
18 elmapg 8830 . . . 4 ((𝐾 ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ V) → ((𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) ↔ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
1916, 17, 18sylancr 588 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) ↔ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
2015, 19bitrd 279 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
216, 20mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475   × cxp 5674  wf 6537  cfv 6541  (class class class)co 7406  cmpo 7408  m cmap 8817  Fincfn 8936  Basecbs 17141   Mat cmat 21899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-hom 17218  df-cco 17219  df-0g 17384  df-prds 17390  df-pws 17392  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-dsmm 21279  df-frlm 21294  df-mat 21900
This theorem is referenced by:  mpomatmul  21940  dmatmulcl  21994  scmatscmiddistr  22002  marrepcl  22058  marepvcl  22063  submabas  22072  mdetrsca2  22098  mdetr0  22099  mdetrlin2  22101  mdetralt2  22103  mdetero  22104  mdetunilem2  22107  mdetunilem5  22110  mdetunilem6  22111  maduf  22135  madutpos  22136  marep01ma  22154  mat2pmatbas  22220  mat2pmatghm  22224  cpm2mf  22246  m2cpminvid  22247  m2cpminvid2  22249  m2cpmfo  22250  decpmatcl  22261  decpmatmul  22266  pmatcollpw1  22270  pmatcollpw2  22272  monmatcollpw  22273  pmatcollpwlem  22274  pmatcollpw  22275  pmatcollpw3lem  22277  pmatcollpwscmatlem2  22284  pm2mpf1  22293  mply1topmatcl  22299  mp2pm2mplem2  22301  mp2pm2mplem4  22303  pm2mpghm  22310  lmatcl  32785  mdetpmtr1  32792  mdetpmtr2  32793  mdetpmtr12  32794  madjusmdetlem1  32796  madjusmdetlem3  32798
  Copyright terms: Public domain W3C validator