MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2eqa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2eqa 25695
Description: Approximate equality of integrals. If 𝐹 = 𝐺 for almost all 𝑥, then 2𝐹 = ∫2𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.2 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg2lea.4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2eqa.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2eqa (𝜑 → (∫2𝐹) = (∫2𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2eqa
StepHypRef Expression
1 itg2lea.1 . . 3 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
2 itg2cl 25682 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
4 itg2lea.2 . . 3 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
5 itg2cl 25682 . . 3 (𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐺) ∈ ℝ*)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ*)
7 itg2lea.3 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
8 itg2lea.4 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
9 iccssxr 13447 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10 eldifi 4127 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 ffvelcdm 7096 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
121, 10, 11syl2an 594 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
139, 12sselid 3980 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1413xrleidd 13171 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
15 itg2eqa.5 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
1614, 15breqtrd 5178 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
171, 4, 7, 8, 16itg2lea 25694 . 2 (𝜑 → (∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺))
1815, 14eqbrtrrd 5176 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
194, 1, 7, 8, 18itg2lea 25694 . 2 (𝜑 → (∫2𝐺) ≤ (∫2𝐹))
203, 6, 17, 19xrletrid 13174 1 (𝜑 → (∫2𝐹) = (∫2𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cdif 3946  wss 3949  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  cr 11145  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  *cxr 11285  cle 11287  [,]cicc 13367  vol*covol 25411  2citg2 25565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-rest 17411  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-cmp 23311  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568  df-itg1 25569  df-itg2 25570
This theorem is referenced by:  itgeqa  25763
  Copyright terms: Public domain W3C validator