MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2eqa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2eqa 25126
Description: Approximate equality of integrals. If 𝐹 = 𝐺 for almost all 𝑥, then 2𝐹 = ∫2𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.2 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg2lea.4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2eqa.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2eqa (𝜑 → (∫2𝐹) = (∫2𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2eqa
StepHypRef Expression
1 itg2lea.1 . . 3 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
2 itg2cl 25113 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
4 itg2lea.2 . . 3 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
5 itg2cl 25113 . . 3 (𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐺) ∈ ℝ*)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ*)
7 itg2lea.3 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
8 itg2lea.4 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
9 iccssxr 13354 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10 eldifi 4091 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 ffvelcdm 7037 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
121, 10, 11syl2an 597 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
139, 12sselid 3947 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1413xrleidd 13078 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
15 itg2eqa.5 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
1614, 15breqtrd 5136 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
171, 4, 7, 8, 16itg2lea 25125 . 2 (𝜑 → (∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺))
1815, 14eqbrtrrd 5134 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
194, 1, 7, 8, 18itg2lea 25125 . 2 (𝜑 → (∫2𝐺) ≤ (∫2𝐹))
203, 6, 17, 19xrletrid 13081 1 (𝜑 → (∫2𝐹) = (∫2𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cdif 3912  wss 3915  wf 6497  cfv 6501  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  *cxr 11195  cle 11197  [,]cicc 13274  vol*covol 24842  2citg2 24996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001
This theorem is referenced by:  itgeqa  25194
  Copyright terms: Public domain W3C validator