Theorem itg2eqa 25666

Description: Approximate equality of integrals. If 𝐹 = 𝐺 for almost all 𝑥, then ∫₂𝐹 = ∫₂𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2lea.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg2lea.4	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2eqa.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg2eqa	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) = (∫2‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2eqa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2lea.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
2		itg2cl 25653	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
4		itg2lea.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
5		itg2cl 25653	. . 3 ⊢ (𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ*)
7		itg2lea.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
8		itg2lea.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
9		iccssxr 13322	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10		eldifi 4079	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		ffvelcdm 7009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
12	1, 10, 11	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
13	9, 12	sselid 3930	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
14	13	xrleidd 13043	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
15		itg2eqa.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
16	14, 15	breqtrd 5115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐺‘𝑥))
17	1, 4, 7, 8, 16	itg2lea 25665	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐺))
18	15, 14	eqbrtrrd 5113	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
19	4, 1, 7, 8, 18	itg2lea 25665	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ≤ (∫2‘𝐹))
20	3, 6, 17, 19	xrletrid 13046	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) = (∫2‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3897   ⊆ wss 3900  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℝcr 10997  0cc0 10998  +∞cpnf 11135  ℝ^*cxr 11137   ≤ cle 11139  [,]cicc 13240  vol*covol 25383  ∫₂citg2 25537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076  ax-addf 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-ofr 7606  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-dju 9786  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-xneg 13003  df-xadd 13004  df-xmul 13005  df-ioo 13241  df-ico 13243  df-icc 13244  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-fl 13688  df-seq 13901  df-exp 13961  df-hash 14230  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-clim 15387  df-sum 15586  df-rest 17318  df-topgen 17339  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-top 22802  df-topon 22819  df-bases 22854  df-cmp 23295  df-ovol 25385  df-vol 25386  df-mbf 25540  df-itg1 25541  df-itg2 25542

This theorem is referenced by:  itgeqa  25735