Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2eqa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2eqa 24356
 Description: Approximate equality of integrals. If 𝐹 = 𝐺 for almost all 𝑥, then ∫2𝐹 = ∫2𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.2 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg2lea.4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2eqa.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2eqa (𝜑 → (∫2𝐹) = (∫2𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2eqa
StepHypRef Expression
1 itg2lea.1 . . 3 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
2 itg2cl 24343 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
4 itg2lea.2 . . 3 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
5 itg2cl 24343 . . 3 (𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐺) ∈ ℝ*)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ*)
7 itg2lea.3 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
8 itg2lea.4 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
9 iccssxr 12810 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10 eldifi 4054 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 ffvelrn 6826 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
121, 10, 11syl2an 598 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
139, 12sseldi 3913 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1413xrleidd 12535 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
15 itg2eqa.5 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
1614, 15breqtrd 5056 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
171, 4, 7, 8, 16itg2lea 24355 . 2 (𝜑 → (∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺))
1815, 14eqbrtrrd 5054 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
194, 1, 7, 8, 18itg2lea 24355 . 2 (𝜑 → (∫2𝐺) ≤ (∫2𝐹))
203, 6, 17, 19xrletrid 12538 1 (𝜑 → (∫2𝐹) = (∫2𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10527  0cc0 10528  +∞cpnf 10663  ℝ*cxr 10665   ≤ cle 10667  [,]cicc 12731  vol*covol 24073  ∫2citg2 24227 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-inf2 9090  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606  ax-addf 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-ofr 7391  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-pm 8394  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fi 8861  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-q 12339  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-fl 13159  df-seq 13367  df-exp 13428  df-hash 13689  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-rest 16690  df-topgen 16711  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-top 21506  df-topon 21523  df-bases 21558  df-cmp 21999  df-ovol 24075  df-vol 24076  df-mbf 24230  df-itg1 24231  df-itg2 24232 This theorem is referenced by:  itgeqa  24424
 Copyright terms: Public domain W3C validator