Theorem deg1tm 26109

Description: Exact degree of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1tm.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1tm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1tm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1tm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
deg1tm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
deg1tm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
deg1tm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
deg1tm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
deg1tm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) = 𝐹)

Proof of Theorem deg1tm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1tm.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		deg1tm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		deg1tm.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
4		deg1tm.m	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
5		deg1tm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
6		deg1tm.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
7		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ply1tmcl 22265	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃))
9	8	3adant2r 1186	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃))
10		deg1tm.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
11	10, 2, 7	deg1xrcl 26072	. . 3 ⊢ ((𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) ∈ ℝ*)
12	9, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) ∈ ℝ*)
13		simp3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 12497	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11193	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ ℝ*)
16	10, 1, 2, 3, 4, 5, 6	deg1tmle 26108	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) ≤ 𝐹)
17	16	3adant2r 1186	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) ≤ 𝐹)
18		deg1tm.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19	18, 1, 2, 3, 4, 5, 6	coe1tmfv1 22267	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝐹) = 𝐶)
20	19	3adant2r 1186	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝐹) = 𝐶)
21		simp2r 1207	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝐶 ≠ 0 )
22	20, 21	eqnetrd 3002	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝐹) ≠ 0 )
23		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) = (coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))
24	10, 2, 7, 18, 23	deg1ge 26088	. . 3 ⊢ (((𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝐹) ≠ 0 ) → 𝐹 ≤ (𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))))
25	9, 13, 22, 24	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝐹 ≤ (𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))))
26	12, 15, 17, 25	xrletrid 13104	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝ^*cxr 11176   ≤ cle 11178  ℕ₀cn0 12435  Basecbs 17177   ·_𝑠 cvsca 17222  0_gc0g 17400  ._gcmg 19041  mulGrpcmgp 20119  Ringcrg 20212  var₁cv1 22168  Poly₁cpl1 22169  coe₁cco1 22170  deg₁cdg1 26044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-cnfld 21355  df-psr 21891  df-mvr 21892  df-mpl 21893  df-opsr 21895  df-psr1 22172  df-vr1 22173  df-ply1 22174  df-coe1 22175  df-mdeg 26045  df-deg1 26046

This theorem is referenced by:  deg1pw  26111  fta1blem  26161  deg1vr  33682