Theorem deg1mul2 26173

Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials when the first leads with a nonzero-divisor coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul2.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1mul2.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul2.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul2.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1mul2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1mul2.fb	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1mul2.fz	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
deg1mul2.fc	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸)
deg1mul2.gb	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1mul2.gz	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
deg1mul2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul2.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		deg1mul2.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22270	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
5		deg1mul2.fb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		deg1mul2.gb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
7		deg1mul2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8		deg1mul2.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑃)
9	7, 8	ringcl 20277	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
11		deg1mul2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
12	11, 2, 7	deg1xrcl 26141	. . 3 ⊢ ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
13	10, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
14		deg1mul2.fz	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
15		deg1mul2.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
16	11, 2, 15, 7	deg1nn0cl 26147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
17	1, 5, 14, 16	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
18		deg1mul2.gz	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
19	11, 2, 15, 7	deg1nn0cl 26147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
20	1, 6, 18, 19	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
21	17, 20	nn0addcld 12617	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℕ0)
22	21	nn0red 12614	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11340	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℝ*)
24	17	nn0red 12614	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ)
25	24	leidd 11856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹))
26	20	nn0red 12614	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ)
27	26	leidd 11856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘𝐺))
28	2, 11, 1, 7, 8, 5, 6, 17, 20, 25, 27	deg1mulle2 26168	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))
29		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
30	2, 8, 29, 7, 11, 15, 1, 5, 14, 6, 18	coe1mul4 26159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))))
31		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
32		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
33	11, 2, 15, 7, 31, 32	deg1ldg 26151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ≠ (0g‘𝑅))
34	1, 6, 18, 33	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ≠ (0g‘𝑅))
35		deg1mul2.fc	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸)
36		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
37	32, 7, 2, 36	coe1f 22234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
38	6, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
39	38, 20	ffvelcdmd 7119	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑅))
40		deg1mul2.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
41	40, 36, 29, 31	rrgeq0i 20721	. . . . . . 7 ⊢ ((((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸 ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) = (0g‘𝑅) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (0g‘𝑅)))
42	35, 39, 41	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) = (0g‘𝑅) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (0g‘𝑅)))
43	42	necon3d 2967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ≠ (0g‘𝑅) → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅)))
44	34, 43	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅))
45	30, 44	eqnetrd 3014	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅))
46		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 · 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 · 𝐺))
47	11, 2, 7, 31, 46	deg1ge 26157	. . 3 ⊢ (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
48	10, 21, 45, 47	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
49	13, 23, 28, 48	xrletrid 13217	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   + caddc 11187  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  Ringcrg 20260  RLRegcrlreg 20713  Poly₁cpl1 22199  coe₁cco1 22200  deg₁cdg1 26113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-rlreg 20716  df-cnfld 21388  df-psr 21952  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-ply1 22204  df-coe1 22205  df-mdeg 26114  df-deg1 26115

This theorem is referenced by:  deg1mul  26174  ply1domn  26183  ply1divmo  26195  fta1glem1  26227  ply1unit  33565  m1pmeq  33573  minplyirredlem  33703  mon1psubm  43160  deg1mhm  43161