MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mul2 26153
Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials when the first leads with a nonzero-divisor coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul2.d 𝐷 = (deg1𝑅)
deg1mul2.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mul2.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul2.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul2.t · = (.r𝑃)
deg1mul2.z 0 = (0g𝑃)
deg1mul2.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1mul2.fb (𝜑𝐹𝐵)
deg1mul2.fz (𝜑𝐹0 )
deg1mul2.fc (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)
deg1mul2.gb (𝜑𝐺𝐵)
deg1mul2.gz (𝜑𝐺0 )
Assertion
Ref Expression
deg1mul2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul2
StepHypRef Expression
1 deg1mul2.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 deg1mul2.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 22249 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
5 deg1mul2.fb . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
6 deg1mul2.gb . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
7 deg1mul2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
8 deg1mul2.t . . . . 5 · = (.r𝑃)
97, 8ringcl 20247 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
104, 5, 6, 9syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
11 deg1mul2.d . . . 4 𝐷 = (deg1𝑅)
1211, 2, 7deg1xrcl 26121 . . 3 ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
1310, 12syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
14 deg1mul2.fz . . . . . 6 (𝜑𝐹0 )
15 deg1mul2.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑃)
1611, 2, 15, 7deg1nn0cl 26127 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
171, 5, 14, 16syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
18 deg1mul2.gz . . . . . 6 (𝜑𝐺0 )
1911, 2, 15, 7deg1nn0cl 26127 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
201, 6, 18, 19syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
2117, 20nn0addcld 12591 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℕ0)
2221nn0red 12588 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
2322rexrd 11311 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℝ*)
2417nn0red 12588 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ)
2524leidd 11829 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹))
2620nn0red 12588 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
2726leidd 11829 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ (𝐷𝐺))
282, 11, 1, 7, 8, 5, 6, 17, 20, 25, 27deg1mulle2 26148 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))
29 eqid 2737 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
302, 8, 29, 7, 11, 15, 1, 5, 14, 6, 18coe1mul4 26139 . . . 4 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) = (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))))
31 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
32 eqid 2737 . . . . . . 7 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
3311, 2, 15, 7, 31, 32deg1ldg 26131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅))
341, 6, 18, 33syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅))
35 deg1mul2.fc . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)
36 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3732, 7, 2, 36coe1f 22213 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
386, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
3938, 20ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Base‘𝑅))
40 deg1mul2.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
4140, 36, 29, 31rrgeq0i 20699 . . . . . . 7 ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸 ∧ ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) = (0g𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (0g𝑅)))
4235, 39, 41syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) = (0g𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (0g𝑅)))
4342necon3d 2961 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅) → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅)))
4434, 43mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅))
4530, 44eqnetrd 3008 . . 3 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅))
46 eqid 2737 . . . 4 (coe1‘(𝐹 · 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 · 𝐺))
4711, 2, 7, 31, 46deg1ge 26137 . . 3 (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
4810, 21, 45, 47syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
4913, 23, 28, 48xrletrid 13197 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431   + caddc 11158  *cxr 11294  cle 11296  0cn0 12526  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  Ringcrg 20230  RLRegcrlreg 20691  Poly1cpl1 22178  coe1cco1 22179  deg1cdg1 26093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-cnfld 21365  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mdeg 26094  df-deg1 26095
This theorem is referenced by:  deg1mul  26154  ply1domn  26163  ply1divmo  26175  fta1glem1  26207  ply1unit  33600  m1pmeq  33608  minplyirredlem  33753  mon1psubm  43211  deg1mhm  43212
  Copyright terms: Public domain W3C validator