MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem deg1mul2 26070
Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials when the first leads with a nonzero-divisor coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul2.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
deg1mul2.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
deg1mul2.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
deg1mul2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
deg1mul2.t Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
deg1mul2.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
deg1mul2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
deg1mul2.fb (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
deg1mul2.fz (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0 )
deg1mul2.fc (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ 𝐸)
deg1mul2.gb (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
deg1mul2.gz (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
deg1mul2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)))
Proof of Theorem deg1mul2
StepHypRef Expression
1 deg1mul2.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 deg1mul2.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
32ply1ring 22173 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5 deg1mul2.fb . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
6 deg1mul2.gb . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
7 deg1mul2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
8 deg1mul2.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
97, 8ringcl 20197 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
104, 5, 6, 9syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
11 deg1mul2.d . . . 4 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
1211, 2, 7deg1xrcl 26038 . . 3 ((𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ∈ ℝ*)
1310, 12syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ∈ ℝ*)
14 deg1mul2.fz . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0 )
15 deg1mul2.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
1611, 2, 15, 7deg1nn0cl 26044 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
171, 5, 14, 16syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
18 deg1mul2.gz . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0 )
1911, 2, 15, 7deg1nn0cl 26044 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 β‰  0 ) β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0)
201, 6, 18, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0)
2117, 20nn0addcld 12574 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)) ∈ β„•0)
2221nn0red 12571 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
2322rexrd 11302 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)) ∈ ℝ*)
2417nn0red 12571 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ)
2524leidd 11818 . . 3 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΉ))
2620nn0red 12571 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ)
2726leidd 11818 . . 3 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ (π·β€˜πΊ))
282, 11, 1, 7, 8, 5, 6, 17, 20, 25, 27deg1mulle2 26065 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ≀ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)))
29 eqid 2728 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
302, 8, 29, 7, 11, 15, 1, 5, 14, 6, 18coe1mul4 26056 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝐹 Β· 𝐺))β€˜((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ))) = (((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ))))
31 eqid 2728 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
32 eqid 2728 . . . . . . 7 (coe1β€˜πΊ) = (coe1β€˜πΊ)
3311, 2, 15, 7, 31, 32deg1ldg 26048 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 β‰  0 ) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))
341, 6, 18, 33syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))
35 deg1mul2.fc . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ 𝐸)
36 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3732, 7, 2, 36coe1f 22137 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜πΊ):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
386, 37syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜πΊ):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
3938, 20ffvelcdmd 7100 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
40 deg1mul2.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
4140, 36, 29, 31rrgeq0i 21243 . . . . . . 7 ((((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ 𝐸 ∧ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ))) = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) = (0gβ€˜π‘…)))
4235, 39, 41syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ))) = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) = (0gβ€˜π‘…)))
4342necon3d 2958 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ (((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ))) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
4434, 43mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ))) β‰  (0gβ€˜π‘…))
4530, 44eqnetrd 3005 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝐹 Β· 𝐺))β€˜((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ))) β‰  (0gβ€˜π‘…))
46 eqid 2728 . . . 4 (coe1β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = (coe1β€˜(𝐹 Β· 𝐺))
4711, 2, 7, 31, 46deg1ge 26054 . . 3 (((𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡 ∧ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)) ∈ β„•0 ∧ ((coe1β€˜(𝐹 Β· 𝐺))β€˜((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ))) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)) ≀ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)))
4810, 21, 45, 47syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)) ≀ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)))
4913, 23, 28, 48xrletrid 13174 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   + caddc 11149  β„*cxr 11285   ≀ cle 11287  β„•0cn0 12510  Basecbs 17187  .rcmulr 17241  0gc0g 17428  Ringcrg 20180  RLRegcrlreg 21233  Poly1cpl1 22103  coe1cco1 22104   deg1 cdg1 26007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-rlreg 21237  df-cnfld 21287  df-psr 21849  df-mpl 21851  df-opsr 21853  df-psr1 22106  df-ply1 22108  df-coe1 22109  df-mdeg 26008  df-deg1 26009
This theorem is referenced by:  ply1domn  26079  ply1divmo  26091  fta1glem1  26122  ply1unit  33293  m1pmeq  33294  minplyirredlem  33413  deg1mul  41643  mon1psubm  42658  deg1mhm  42659
  Copyright terms: Public domain W3C validator