MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem deg1mul2 26005
Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials when the first leads with a nonzero-divisor coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul2.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
deg1mul2.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
deg1mul2.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
deg1mul2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
deg1mul2.t Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
deg1mul2.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
deg1mul2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
deg1mul2.fb (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
deg1mul2.fz (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0 )
deg1mul2.fc (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ 𝐸)
deg1mul2.gb (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
deg1mul2.gz (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
deg1mul2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)))
Proof of Theorem deg1mul2
StepHypRef Expression
1 deg1mul2.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 deg1mul2.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
32ply1ring 22121 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5 deg1mul2.fb . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
6 deg1mul2.gb . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
7 deg1mul2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
8 deg1mul2.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
97, 8ringcl 20155 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
104, 5, 6, 9syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
11 deg1mul2.d . . . 4 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
1211, 2, 7deg1xrcl 25973 . . 3 ((𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ∈ ℝ*)
1310, 12syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ∈ ℝ*)
14 deg1mul2.fz . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0 )
15 deg1mul2.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
1611, 2, 15, 7deg1nn0cl 25979 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
171, 5, 14, 16syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
18 deg1mul2.gz . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0 )
1911, 2, 15, 7deg1nn0cl 25979 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 β‰  0 ) β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0)
201, 6, 18, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0)
2117, 20nn0addcld 12540 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)) ∈ β„•0)
2221nn0red 12537 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
2322rexrd 11268 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)) ∈ ℝ*)
2417nn0red 12537 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ)
2524leidd 11784 . . 3 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΉ))
2620nn0red 12537 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ)
2726leidd 11784 . . 3 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ (π·β€˜πΊ))
282, 11, 1, 7, 8, 5, 6, 17, 20, 25, 27deg1mulle2 26000 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ≀ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)))
29 eqid 2726 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
302, 8, 29, 7, 11, 15, 1, 5, 14, 6, 18coe1mul4 25991 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝐹 Β· 𝐺))β€˜((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ))) = (((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ))))
31 eqid 2726 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
32 eqid 2726 . . . . . . 7 (coe1β€˜πΊ) = (coe1β€˜πΊ)
3311, 2, 15, 7, 31, 32deg1ldg 25983 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 β‰  0 ) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))
341, 6, 18, 33syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))
35 deg1mul2.fc . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ 𝐸)
36 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3732, 7, 2, 36coe1f 22085 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜πΊ):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
386, 37syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜πΊ):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
3938, 20ffvelcdmd 7081 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
40 deg1mul2.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
4140, 36, 29, 31rrgeq0i 21199 . . . . . . 7 ((((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ 𝐸 ∧ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ))) = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) = (0gβ€˜π‘…)))
4235, 39, 41syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ))) = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) = (0gβ€˜π‘…)))
4342necon3d 2955 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ (((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ))) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
4434, 43mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ))) β‰  (0gβ€˜π‘…))
4530, 44eqnetrd 3002 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝐹 Β· 𝐺))β€˜((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ))) β‰  (0gβ€˜π‘…))
46 eqid 2726 . . . 4 (coe1β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = (coe1β€˜(𝐹 Β· 𝐺))
4711, 2, 7, 31, 46deg1ge 25989 . . 3 (((𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡 ∧ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)) ∈ β„•0 ∧ ((coe1β€˜(𝐹 Β· 𝐺))β€˜((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ))) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)) ≀ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)))
4810, 21, 45, 47syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)) ≀ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)))
4913, 23, 28, 48xrletrid 13140 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   + caddc 11115  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  0gc0g 17394  Ringcrg 20138  RLRegcrlreg 21189  Poly1cpl1 22051  coe1cco1 22052   deg1 cdg1 25942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-rlreg 21193  df-cnfld 21241  df-psr 21803  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-ply1 22056  df-coe1 22057  df-mdeg 25943  df-deg1 25944
This theorem is referenced by:  ply1domn  26014  ply1divmo  26026  fta1glem1  26057  ply1unit  33164  m1pmeq  33165  minplyirredlem  33289  mon1psubm  42521  deg1mhm  42522
  Copyright terms: Public domain W3C validator