MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mul2 25972
Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials when the first leads with a nonzero-divisor coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul2.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1mul2.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mul2.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul2.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul2.t · = (.r𝑃)
deg1mul2.z 0 = (0g𝑃)
deg1mul2.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1mul2.fb (𝜑𝐹𝐵)
deg1mul2.fz (𝜑𝐹0 )
deg1mul2.fc (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)
deg1mul2.gb (𝜑𝐺𝐵)
deg1mul2.gz (𝜑𝐺0 )
Assertion
Ref Expression
deg1mul2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul2
StepHypRef Expression
1 deg1mul2.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 deg1mul2.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 22089 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
5 deg1mul2.fb . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
6 deg1mul2.gb . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
7 deg1mul2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
8 deg1mul2.t . . . . 5 · = (.r𝑃)
97, 8ringcl 20145 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
104, 5, 6, 9syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
11 deg1mul2.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
1211, 2, 7deg1xrcl 25940 . . 3 ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
1310, 12syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
14 deg1mul2.fz . . . . . 6 (𝜑𝐹0 )
15 deg1mul2.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑃)
1611, 2, 15, 7deg1nn0cl 25946 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
171, 5, 14, 16syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
18 deg1mul2.gz . . . . . 6 (𝜑𝐺0 )
1911, 2, 15, 7deg1nn0cl 25946 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
201, 6, 18, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
2117, 20nn0addcld 12533 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℕ0)
2221nn0red 12530 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
2322rexrd 11261 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℝ*)
2417nn0red 12530 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ)
2524leidd 11777 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹))
2620nn0red 12530 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
2726leidd 11777 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ (𝐷𝐺))
282, 11, 1, 7, 8, 5, 6, 17, 20, 25, 27deg1mulle2 25967 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))
29 eqid 2724 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
302, 8, 29, 7, 11, 15, 1, 5, 14, 6, 18coe1mul4 25958 . . . 4 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) = (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))))
31 eqid 2724 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
32 eqid 2724 . . . . . . 7 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
3311, 2, 15, 7, 31, 32deg1ldg 25950 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅))
341, 6, 18, 33syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅))
35 deg1mul2.fc . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)
36 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3732, 7, 2, 36coe1f 22053 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
386, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
3938, 20ffvelcdmd 7077 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Base‘𝑅))
40 deg1mul2.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
4140, 36, 29, 31rrgeq0i 21189 . . . . . . 7 ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸 ∧ ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) = (0g𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (0g𝑅)))
4235, 39, 41syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) = (0g𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (0g𝑅)))
4342necon3d 2953 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅) → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅)))
4434, 43mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅))
4530, 44eqnetrd 3000 . . 3 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅))
46 eqid 2724 . . . 4 (coe1‘(𝐹 · 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 · 𝐺))
4711, 2, 7, 31, 46deg1ge 25956 . . 3 (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
4810, 21, 45, 47syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
4913, 23, 28, 48xrletrid 13131 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932   class class class wbr 5138  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401   + caddc 11109  *cxr 11244  cle 11246  0cn0 12469  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  0gc0g 17384  Ringcrg 20128  RLRegcrlreg 21179  Poly1cpl1 22019  coe1cco1 22020   deg1 cdg1 25909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-rlreg 21183  df-cnfld 21229  df-psr 21771  df-mpl 21773  df-opsr 21775  df-psr1 22022  df-ply1 22024  df-coe1 22025  df-mdeg 25910  df-deg1 25911
This theorem is referenced by:  ply1domn  25981  ply1divmo  25993  fta1glem1  26023  minplyirredlem  33249  mon1psubm  42437  deg1mhm  42438
  Copyright terms: Public domain W3C validator