Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mul2 24693
 Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials when the first leads with a nonzero-divisor coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul2.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1mul2.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mul2.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul2.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul2.t · = (.r𝑃)
deg1mul2.z 0 = (0g𝑃)
deg1mul2.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1mul2.fb (𝜑𝐹𝐵)
deg1mul2.fz (𝜑𝐹0 )
deg1mul2.fc (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)
deg1mul2.gb (𝜑𝐺𝐵)
deg1mul2.gz (𝜑𝐺0 )
Assertion
Ref Expression
deg1mul2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul2
StepHypRef Expression
1 deg1mul2.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 deg1mul2.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 20391 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
5 deg1mul2.fb . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
6 deg1mul2.gb . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
7 deg1mul2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
8 deg1mul2.t . . . . 5 · = (.r𝑃)
97, 8ringcl 19289 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
104, 5, 6, 9syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
11 deg1mul2.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
1211, 2, 7deg1xrcl 24661 . . 3 ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
1310, 12syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
14 deg1mul2.fz . . . . . 6 (𝜑𝐹0 )
15 deg1mul2.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑃)
1611, 2, 15, 7deg1nn0cl 24667 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
171, 5, 14, 16syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
18 deg1mul2.gz . . . . . 6 (𝜑𝐺0 )
1911, 2, 15, 7deg1nn0cl 24667 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
201, 6, 18, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
2117, 20nn0addcld 11937 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℕ0)
2221nn0red 11934 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
2322rexrd 10668 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℝ*)
2417nn0red 11934 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ)
2524leidd 11183 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹))
2620nn0red 11934 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
2726leidd 11183 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ (𝐷𝐺))
282, 11, 1, 7, 8, 5, 6, 17, 20, 25, 27deg1mulle2 24688 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))
29 eqid 2821 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
302, 8, 29, 7, 11, 15, 1, 5, 14, 6, 18coe1mul4 24679 . . . 4 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) = (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))))
31 eqid 2821 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
32 eqid 2821 . . . . . . 7 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
3311, 2, 15, 7, 31, 32deg1ldg 24671 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅))
341, 6, 18, 33syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅))
35 deg1mul2.fc . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)
36 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3732, 7, 2, 36coe1f 20354 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
386, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
3938, 20ffvelrnd 6825 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Base‘𝑅))
40 deg1mul2.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
4140, 36, 29, 31rrgeq0i 20037 . . . . . . 7 ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸 ∧ ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) = (0g𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (0g𝑅)))
4235, 39, 41syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) = (0g𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (0g𝑅)))
4342necon3d 3028 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅) → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅)))
4434, 43mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅))
4530, 44eqnetrd 3074 . . 3 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅))
46 eqid 2821 . . . 4 (coe1‘(𝐹 · 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 · 𝐺))
4711, 2, 7, 31, 46deg1ge 24677 . . 3 (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
4810, 21, 45, 47syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
4913, 23, 28, 48xrletrid 12526 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007   class class class wbr 5039  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   + caddc 10517  ℝ*cxr 10651   ≤ cle 10653  ℕ0cn0 11875  Basecbs 16461  .rcmulr 16544  0gc0g 16691  Ringcrg 19275  RLRegcrlreg 20027  Poly1cpl1 20320  coe1cco1 20321   deg1 cdg1 24633 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-ofr 7385  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-sup 8882  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-hash 13675  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-0g 16693  df-gsum 16694  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-mhm 17934  df-submnd 17935  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-mulg 18203  df-subg 18254  df-ghm 18334  df-cntz 18425  df-cmn 18886  df-abl 18887  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-cring 19278  df-subrg 19508  df-rlreg 20031  df-psr 20111  df-mpl 20113  df-opsr 20115  df-psr1 20323  df-ply1 20325  df-coe1 20326  df-cnfld 20521  df-mdeg 24634  df-deg1 24635 This theorem is referenced by:  ply1domn  24702  ply1divmo  24714  fta1glem1  24744  mon1psubm  39947  deg1mhm  39948
 Copyright terms: Public domain W3C validator