Theorem deg1mul2 24280

Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials when the first leads with a nonzero-divisor coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul2.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1mul2.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul2.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul2.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1mul2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1mul2.fb	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1mul2.fz	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
deg1mul2.fc	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸)
deg1mul2.gb	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1mul2.gz	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
deg1mul2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		deg1mul2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
3		deg1mul2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		deg1mul2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		deg1mul2.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑃)
6		deg1mul2.fb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		deg1mul2.gb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8		deg1mul2.fz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
9		deg1mul2.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
10	2, 1, 9, 4	deg1nn0cl 24254	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
11	3, 6, 8, 10	syl3anc 1494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
12		deg1mul2.gz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
13	2, 1, 9, 4	deg1nn0cl 24254	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
14	3, 7, 12, 13	syl3anc 1494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
15	11	nn0red 11686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ)
16	15	leidd 10925	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹))
17	14	nn0red 11686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ)
18	17	leidd 10925	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘𝐺))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 14, 16, 18	deg1mulle2 24275	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))
20	1	ply1ring 19985	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
21	3, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
22	4, 5	ringcl 18922	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
23	21, 6, 7, 22	syl3anc 1494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
24	11, 14	nn0addcld 11689	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℕ0)
25		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	1, 5, 25, 4, 2, 9, 3, 6, 8, 7, 12	coe1mul4 24266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))))
27		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
28		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
29	2, 1, 9, 4, 27, 28	deg1ldg 24258	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ≠ (0g‘𝑅))
30	3, 7, 12, 29	syl3anc 1494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ≠ (0g‘𝑅))
31		deg1mul2.fc	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸)
32		eqid 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
33	28, 4, 1, 32	coe1f 19948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
34	7, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
35	34, 14	ffvelrnd 6614	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑅))
36		deg1mul2.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
37	36, 32, 25, 27	rrgeq0i 19657	. . . . . . 7 ⊢ ((((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸 ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) = (0g‘𝑅) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (0g‘𝑅)))
38	31, 35, 37	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) = (0g‘𝑅) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (0g‘𝑅)))
39	38	necon3d 3020	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ≠ (0g‘𝑅) → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅)))
40	30, 39	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅))
41	26, 40	eqnetrd 3066	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅))
42		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 · 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 · 𝐺))
43	2, 1, 4, 27, 42	deg1ge 24264	. . 3 ⊢ (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
44	23, 24, 41, 43	syl3anc 1494	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
45	2, 1, 4	deg1xrcl 24248	. . . 4 ⊢ ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
46	23, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
47	24	nn0red 11686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℝ)
48	47	rexrd 10413	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℝ*)
49		xrletri3 12280	. . 3 ⊢ (((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ↔ ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∧ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))))
50	46, 48, 49	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ↔ ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∧ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))))
51	19, 44, 50	mpbir2and 704	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999   class class class wbr 4875  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   + caddc 10262  ℝ^*cxr 10397   ≤ cle 10399  ℕ₀cn0 11625  Basecbs 16229  ._rcmulr 16313  0_gc0g 16460  Ringcrg 18908  RLRegcrlreg 19647  Poly₁cpl1 19914  coe₁cco1 19915   deg₁ cdg1 24220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-ofr 7163  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-hash 13418  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-subrg 19141  df-rlreg 19651  df-psr 19724  df-mpl 19726  df-opsr 19728  df-psr1 19917  df-ply1 19919  df-coe1 19920  df-cnfld 20114  df-mdeg 24221  df-deg1 24222

This theorem is referenced by:  ply1domn  24289  ply1divmo  24301  fta1glem1  24331  mon1psubm  38622  deg1mhm  38623