Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mul2 24280
 Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials when the first leads with a nonzero-divisor coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul2.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1mul2.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mul2.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul2.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul2.t · = (.r𝑃)
deg1mul2.z 0 = (0g𝑃)
deg1mul2.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1mul2.fb (𝜑𝐹𝐵)
deg1mul2.fz (𝜑𝐹0 )
deg1mul2.fc (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)
deg1mul2.gb (𝜑𝐺𝐵)
deg1mul2.gz (𝜑𝐺0 )
Assertion
Ref Expression
deg1mul2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul2
StepHypRef Expression
1 deg1mul2.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 deg1mul2.d . . 3 𝐷 = ( deg1𝑅)
3 deg1mul2.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 deg1mul2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
5 deg1mul2.t . . 3 · = (.r𝑃)
6 deg1mul2.fb . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
7 deg1mul2.gb . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
8 deg1mul2.fz . . . 4 (𝜑𝐹0 )
9 deg1mul2.z . . . . 5 0 = (0g𝑃)
102, 1, 9, 4deg1nn0cl 24254 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
113, 6, 8, 10syl3anc 1494 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
12 deg1mul2.gz . . . 4 (𝜑𝐺0 )
132, 1, 9, 4deg1nn0cl 24254 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
143, 7, 12, 13syl3anc 1494 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
1511nn0red 11686 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ)
1615leidd 10925 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹))
1714nn0red 11686 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
1817leidd 10925 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ (𝐷𝐺))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 14, 16, 18deg1mulle2 24275 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))
201ply1ring 19985 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
213, 20syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
224, 5ringcl 18922 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
2321, 6, 7, 22syl3anc 1494 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
2411, 14nn0addcld 11689 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℕ0)
25 eqid 2825 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
261, 5, 25, 4, 2, 9, 3, 6, 8, 7, 12coe1mul4 24266 . . . 4 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) = (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))))
27 eqid 2825 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
28 eqid 2825 . . . . . . 7 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
292, 1, 9, 4, 27, 28deg1ldg 24258 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅))
303, 7, 12, 29syl3anc 1494 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅))
31 deg1mul2.fc . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)
32 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3328, 4, 1, 32coe1f 19948 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
347, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
3534, 14ffvelrnd 6614 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Base‘𝑅))
36 deg1mul2.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
3736, 32, 25, 27rrgeq0i 19657 . . . . . . 7 ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸 ∧ ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) = (0g𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (0g𝑅)))
3831, 35, 37syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) = (0g𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (0g𝑅)))
3938necon3d 3020 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅) → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅)))
4030, 39mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅))
4126, 40eqnetrd 3066 . . 3 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅))
42 eqid 2825 . . . 4 (coe1‘(𝐹 · 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 · 𝐺))
432, 1, 4, 27, 42deg1ge 24264 . . 3 (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
4423, 24, 41, 43syl3anc 1494 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
452, 1, 4deg1xrcl 24248 . . . 4 ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
4623, 45syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
4724nn0red 11686 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
4847rexrd 10413 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℝ*)
49 xrletri3 12280 . . 3 (((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))))
5046, 48, 49syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))))
5119, 44, 50mpbir2and 704 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999   class class class wbr 4875  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   + caddc 10262  ℝ*cxr 10397   ≤ cle 10399  ℕ0cn0 11625  Basecbs 16229  .rcmulr 16313  0gc0g 16460  Ringcrg 18908  RLRegcrlreg 19647  Poly1cpl1 19914  coe1cco1 19915   deg1 cdg1 24220 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-ofr 7163  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-hash 13418  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-subrg 19141  df-rlreg 19651  df-psr 19724  df-mpl 19726  df-opsr 19728  df-psr1 19917  df-ply1 19919  df-coe1 19920  df-cnfld 20114  df-mdeg 24221  df-deg1 24222 This theorem is referenced by:  ply1domn  24289  ply1divmo  24301  fta1glem1  24331  mon1psubm  38622  deg1mhm  38623
 Copyright terms: Public domain W3C validator