MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem deg1mul2 25623
Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials when the first leads with a nonzero-divisor coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul2.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
deg1mul2.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
deg1mul2.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
deg1mul2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
deg1mul2.t Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
deg1mul2.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
deg1mul2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
deg1mul2.fb (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
deg1mul2.fz (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0 )
deg1mul2.fc (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ 𝐸)
deg1mul2.gb (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
deg1mul2.gz (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
deg1mul2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)))
Proof of Theorem deg1mul2
StepHypRef Expression
1 deg1mul2.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 deg1mul2.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
32ply1ring 21761 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5 deg1mul2.fb . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
6 deg1mul2.gb . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
7 deg1mul2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
8 deg1mul2.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
97, 8ringcl 20066 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
104, 5, 6, 9syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
11 deg1mul2.d . . . 4 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
1211, 2, 7deg1xrcl 25591 . . 3 ((𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ∈ ℝ*)
1310, 12syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ∈ ℝ*)
14 deg1mul2.fz . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0 )
15 deg1mul2.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
1611, 2, 15, 7deg1nn0cl 25597 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
171, 5, 14, 16syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
18 deg1mul2.gz . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0 )
1911, 2, 15, 7deg1nn0cl 25597 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 β‰  0 ) β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0)
201, 6, 18, 19syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0)
2117, 20nn0addcld 12532 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)) ∈ β„•0)
2221nn0red 12529 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
2322rexrd 11260 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)) ∈ ℝ*)
2417nn0red 12529 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ)
2524leidd 11776 . . 3 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΉ))
2620nn0red 12529 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ)
2726leidd 11776 . . 3 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ (π·β€˜πΊ))
282, 11, 1, 7, 8, 5, 6, 17, 20, 25, 27deg1mulle2 25618 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ≀ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)))
29 eqid 2732 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
302, 8, 29, 7, 11, 15, 1, 5, 14, 6, 18coe1mul4 25609 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝐹 Β· 𝐺))β€˜((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ))) = (((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ))))
31 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
32 eqid 2732 . . . . . . 7 (coe1β€˜πΊ) = (coe1β€˜πΊ)
3311, 2, 15, 7, 31, 32deg1ldg 25601 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 β‰  0 ) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))
341, 6, 18, 33syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))
35 deg1mul2.fc . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ 𝐸)
36 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3732, 7, 2, 36coe1f 21726 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜πΊ):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
386, 37syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜πΊ):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
3938, 20ffvelcdmd 7084 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
40 deg1mul2.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
4140, 36, 29, 31rrgeq0i 20897 . . . . . . 7 ((((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ 𝐸 ∧ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ))) = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) = (0gβ€˜π‘…)))
4235, 39, 41syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ))) = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) = (0gβ€˜π‘…)))
4342necon3d 2961 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ (((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ))) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
4434, 43mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ))(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ))) β‰  (0gβ€˜π‘…))
4530, 44eqnetrd 3008 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝐹 Β· 𝐺))β€˜((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ))) β‰  (0gβ€˜π‘…))
46 eqid 2732 . . . 4 (coe1β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = (coe1β€˜(𝐹 Β· 𝐺))
4711, 2, 7, 31, 46deg1ge 25607 . . 3 (((𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡 ∧ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)) ∈ β„•0 ∧ ((coe1β€˜(𝐹 Β· 𝐺))β€˜((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ))) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)) ≀ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)))
4810, 21, 45, 47syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)) ≀ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)))
4913, 23, 28, 48xrletrid 13130 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = ((π·β€˜πΉ) + (π·β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   + caddc 11109  β„*cxr 11243   ≀ cle 11245  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  0gc0g 17381  Ringcrg 20049  RLRegcrlreg 20887  Poly1cpl1 21692  coe1cco1 21693   deg1 cdg1 25560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-rlreg 20891  df-cnfld 20937  df-psr 21453  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-mdeg 25561  df-deg1 25562
This theorem is referenced by:  ply1domn  25632  ply1divmo  25644  fta1glem1  25674  minplyirredlem  32757  mon1psubm  41933  deg1mhm  41934
  Copyright terms: Public domain W3C validator