Theorem deg1mul2 25479

Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials when the first leads with a nonzero-divisor coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul2.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1mul2.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul2.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul2.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1mul2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1mul2.fb	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1mul2.fz	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
deg1mul2.fc	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸)
deg1mul2.gb	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1mul2.gz	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
deg1mul2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul2.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		deg1mul2.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 21619	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
5		deg1mul2.fb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		deg1mul2.gb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
7		deg1mul2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8		deg1mul2.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑃)
9	7, 8	ringcl 19981	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
11		deg1mul2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
12	11, 2, 7	deg1xrcl 25447	. . 3 ⊢ ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
13	10, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
14		deg1mul2.fz	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
15		deg1mul2.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
16	11, 2, 15, 7	deg1nn0cl 25453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
17	1, 5, 14, 16	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
18		deg1mul2.gz	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
19	11, 2, 15, 7	deg1nn0cl 25453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
20	1, 6, 18, 19	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
21	17, 20	nn0addcld 12477	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℕ0)
22	21	nn0red 12474	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11205	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℝ*)
24	17	nn0red 12474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ)
25	24	leidd 11721	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹))
26	20	nn0red 12474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ)
27	26	leidd 11721	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘𝐺))
28	2, 11, 1, 7, 8, 5, 6, 17, 20, 25, 27	deg1mulle2 25474	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))
29		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
30	2, 8, 29, 7, 11, 15, 1, 5, 14, 6, 18	coe1mul4 25465	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))))
31		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
32		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
33	11, 2, 15, 7, 31, 32	deg1ldg 25457	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ≠ (0g‘𝑅))
34	1, 6, 18, 33	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ≠ (0g‘𝑅))
35		deg1mul2.fc	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸)
36		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
37	32, 7, 2, 36	coe1f 21582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
38	6, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
39	38, 20	ffvelcdmd 7036	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑅))
40		deg1mul2.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
41	40, 36, 29, 31	rrgeq0i 20759	. . . . . . 7 ⊢ ((((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸 ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) = (0g‘𝑅) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (0g‘𝑅)))
42	35, 39, 41	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) = (0g‘𝑅) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (0g‘𝑅)))
43	42	necon3d 2964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ≠ (0g‘𝑅) → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅)))
44	34, 43	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅))
45	30, 44	eqnetrd 3011	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅))
46		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 · 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 · 𝐺))
47	11, 2, 7, 31, 46	deg1ge 25463	. . 3 ⊢ (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
48	10, 21, 45, 47	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
49	13, 23, 28, 48	xrletrid 13074	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5105  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   + caddc 11054  ℝ^*cxr 11188   ≤ cle 11190  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17083  ._rcmulr 17134  0_gc0g 17321  Ringcrg 19964  RLRegcrlreg 20749  Poly₁cpl1 21548  coe₁cco1 21549   deg₁ cdg1 25416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-rlreg 20753  df-cnfld 20797  df-psr 21311  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-mdeg 25417  df-deg1 25418

This theorem is referenced by:  ply1domn  25488  ply1divmo  25500  fta1glem1  25530  mon1psubm  41519  deg1mhm  41520