Theorem deg1mul2 26066

Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials when the first leads with a nonzero-divisor coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul2.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1mul2.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul2.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul2.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1mul2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1mul2.fb	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1mul2.fz	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
deg1mul2.fc	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸)
deg1mul2.gb	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1mul2.gz	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
deg1mul2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul2.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		deg1mul2.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22179	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
5		deg1mul2.fb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		deg1mul2.gb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
7		deg1mul2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8		deg1mul2.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑃)
9	7, 8	ringcl 20176	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
11		deg1mul2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
12	11, 2, 7	deg1xrcl 26034	. . 3 ⊢ ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
13	10, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
14		deg1mul2.fz	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
15		deg1mul2.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
16	11, 2, 15, 7	deg1nn0cl 26040	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
17	1, 5, 14, 16	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
18		deg1mul2.gz	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
19	11, 2, 15, 7	deg1nn0cl 26040	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
20	1, 6, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
21	17, 20	nn0addcld 12457	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℕ0)
22	21	nn0red 12454	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11173	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℝ*)
24	17	nn0red 12454	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ)
25	24	leidd 11694	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹))
26	20	nn0red 12454	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ)
27	26	leidd 11694	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘𝐺))
28	2, 11, 1, 7, 8, 5, 6, 17, 20, 25, 27	deg1mulle2 26061	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))
29		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
30	2, 8, 29, 7, 11, 15, 1, 5, 14, 6, 18	coe1mul4 26052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))))
31		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
32		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
33	11, 2, 15, 7, 31, 32	deg1ldg 26044	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ≠ (0g‘𝑅))
34	1, 6, 18, 33	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ≠ (0g‘𝑅))
35		deg1mul2.fc	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸)
36		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
37	32, 7, 2, 36	coe1f 22143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
38	6, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
39	38, 20	ffvelcdmd 7027	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑅))
40		deg1mul2.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
41	40, 36, 29, 31	rrgeq0i 20623	. . . . . . 7 ⊢ ((((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸 ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) = (0g‘𝑅) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (0g‘𝑅)))
42	35, 39, 41	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) = (0g‘𝑅) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) = (0g‘𝑅)))
43	42	necon3d 2950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ≠ (0g‘𝑅) → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅)))
44	34, 43	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹))(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅))
45	30, 44	eqnetrd 2996	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅))
46		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 · 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 · 𝐺))
47	11, 2, 7, 31, 46	deg1ge 26050	. . 3 ⊢ (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
48	10, 21, 45, 47	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
49	13, 23, 28, 48	xrletrid 13060	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5095  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   + caddc 11020  ℝ^*cxr 11156   ≤ cle 11158  ℕ₀cn0 12392  Basecbs 17127  ._rcmulr 17169  0_gc0g 17350  Ringcrg 20159  RLRegcrlreg 20615  Poly₁cpl1 22108  coe₁cco1 22109  deg₁cdg1 26006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-ofr 7620  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-sup 9337  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-hash 14245  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-mulg 18989  df-subg 19044  df-ghm 19133  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-cring 20162  df-subrng 20470  df-subrg 20494  df-rlreg 20618  df-cnfld 21301  df-psr 21856  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-psr1 22111  df-ply1 22113  df-coe1 22114  df-mdeg 26007  df-deg1 26008

This theorem is referenced by:  deg1mul  26067  ply1domn  26076  ply1divmo  26088  fta1glem1  26120  ply1unit  33584  m1pmeq  33594  minplyirredlem  33795  mon1psubm  43356  deg1mhm  43357