Theorem zlmtset 31815

Description: Topology in a ℤ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmtset.1	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmtset	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Proof of Theorem zlmtset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmtset.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐺)
2		tsetid 16988	. . . 4 ⊢ TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
3		5re 11990	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		5lt9 12105	. . . . . 6 ⊢ 5 < 9
5	3, 4	gtneii 11017	. . . . 5 ⊢ 9 ≠ 5
6		tsetndx 16987	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
7		scandx 16950	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
8	6, 7	neeq12i 3009	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 9 ≠ 5)
9	5, 8	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
10	2, 9	setsnid 16838	. . 3 ⊢ (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
11		6re 11993	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
12		6lt9 12104	. . . . . 6 ⊢ 6 < 9
13	11, 12	gtneii 11017	. . . . 5 ⊢ 9 ≠ 6
14		vscandx 16955	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
15	6, 14	neeq12i 3009	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 9 ≠ 6)
16	13, 15	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
17	2, 16	setsnid 16838	. . 3 ⊢ (TopSet‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
18	1, 10, 17	3eqtri 2770	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
19		zlmlem2.1	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
20		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
21	19, 20	zlmval 20629	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
22	21	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑊) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
23	18, 22	eqtr4id 2798	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  5c5 11961  6c6 11962  9c9 11965   sSet csts 16792  ndxcnx 16822  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  TopSetcts 16894  ._gcmg 18615  ℤ_ringzring 20582  ℤModczlm 20614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-zlm 20618

This theorem is referenced by:  zhmnrg  31817