Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmtset Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmtset 31382
 Description: Topology in a ℤ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmlem2.1 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmtset.1 𝐽 = (TopSet‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
zlmtset (𝐺𝑉𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Proof of Theorem zlmtset
StepHypRef Expression
1 zlmtset.1 . . 3 𝐽 = (TopSet‘𝐺)
2 tsetid 16672 . . . 4 TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
3 5re 11730 . . . . . 6 5 ∈ ℝ
4 5lt9 11845 . . . . . 6 5 < 9
53, 4gtneii 10759 . . . . 5 9 ≠ 5
6 tsetndx 16671 . . . . . 6 (TopSet‘ndx) = 9
7 scandx 16644 . . . . . 6 (Scalar‘ndx) = 5
86, 7neeq12i 3053 . . . . 5 ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 9 ≠ 5)
95, 8mpbir 234 . . . 4 (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
102, 9setsnid 16551 . . 3 (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
11 6re 11733 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
12 6lt9 11844 . . . . . 6 6 < 9
1311, 12gtneii 10759 . . . . 5 9 ≠ 6
14 vscandx 16646 . . . . . 6 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
156, 14neeq12i 3053 . . . . 5 ((TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 9 ≠ 6)
1613, 15mpbir 234 . . . 4 (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
172, 16setsnid 16551 . . 3 (TopSet‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩))
181, 10, 173eqtri 2825 . 2 𝐽 = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩))
19 zlmlem2.1 . . . 4 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
20 eqid 2798 . . . 4 (.g𝐺) = (.g𝐺)
2119, 20zlmval 20231 . . 3 (𝐺𝑉𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩))
2221fveq2d 6659 . 2 (𝐺𝑉 → (TopSet‘𝑊) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩)))
2318, 22eqtr4id 2852 1 (𝐺𝑉𝐽 = (TopSet‘𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ⟨cop 4534  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  5c5 11701  6c6 11702  9c9 11705  ndxcnx 16492   sSet csts 16493  Scalarcsca 16580   ·𝑠 cvsca 16581  TopSetcts 16583  .gcmg 18237  ℤringzring 20184  ℤModczlm 20216 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-sets 16502  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-tset 16596  df-zlm 20220 This theorem is referenced by:  zhmnrg  31384
 Copyright terms: Public domain W3C validator