Theorem zlmtset 31210

Description: Topology in a ℤ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmtset.1	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmtset	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Proof of Theorem zlmtset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlem2.1	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3	1, 2	zlmval 20666	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
4	3	fveq2d 6677	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑊) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
5		zlmtset.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐺)
6		tsetid 16663	. . . 4 ⊢ TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
7		5re 11727	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		5lt9 11842	. . . . . 6 ⊢ 5 < 9
9	7, 8	gtneii 10755	. . . . 5 ⊢ 9 ≠ 5
10		tsetndx 16662	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
11		scandx 16635	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
12	10, 11	neeq12i 3085	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 9 ≠ 5)
13	9, 12	mpbir 233	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
14	6, 13	setsnid 16542	. . 3 ⊢ (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
15		6re 11730	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
16		6lt9 11841	. . . . . 6 ⊢ 6 < 9
17	15, 16	gtneii 10755	. . . . 5 ⊢ 9 ≠ 6
18		vscandx 16637	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
19	10, 18	neeq12i 3085	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 9 ≠ 6)
20	17, 19	mpbir 233	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
21	6, 20	setsnid 16542	. . 3 ⊢ (TopSet‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
22	5, 14, 21	3eqtri 2851	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
23	4, 22	syl6reqr 2878	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ⟨cop 4576  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  5c5 11698  6c6 11699  9c9 11702  ndxcnx 16483   sSet csts 16484  Scalarcsca 16571   ·_𝑠 cvsca 16572  TopSetcts 16574  ._gcmg 18227  ℤ_ringzring 20620  ℤModczlm 20651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-sets 16493  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-tset 16587  df-zlm 20655

This theorem is referenced by:  zhmnrg  31212