Theorem slotstnscsi 17300

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot TopSet. Formerly part of sralem 20777 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotstnscsi	⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotstnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12294	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		5lt9 12409	. . . 4 ⊢ 5 < 9
3	1, 2	gtneii 11321	. . 3 ⊢ 9 ≠ 5
4		tsetndx 17292	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
5		scandx 17254	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
6	4, 5	neeq12i 3008	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 9 ≠ 5)
7	3, 6	mpbir 230	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
8		6re 12297	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
9		6lt9 12408	. . . 4 ⊢ 6 < 9
10	8, 9	gtneii 11321	. . 3 ⊢ 9 ≠ 6
11		vscandx 17259	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
12	4, 11	neeq12i 3008	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 9 ≠ 6)
13	10, 12	mpbir 230	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
14		8re 12303	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
15		8lt9 12406	. . . 4 ⊢ 8 < 9
16	14, 15	gtneii 11321	. . 3 ⊢ 9 ≠ 8
17		ipndx 17270	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
18	4, 17	neeq12i 3008	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 9 ≠ 8)
19	16, 18	mpbir 230	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
20	7, 13, 19	3pm3.2i 1340	1 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1088   ≠ wne 2941  ‘cfv 6539  5c5 12265  6c6 12266  8c8 12268  9c9 12269  ndxcnx 17121  Scalarcsca 17195   ·_𝑠 cvsca 17196  ·_𝑖cip 17197  TopSetcts 17198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-sca 17208  df-vsca 17209  df-ip 17210  df-tset 17211

This theorem is referenced by:  sratset  20790  tngsca  24139  tngvsca  24141  tngip  24143  zlmtset  32881