Theorem zlmdsOLD 32211

Description: Obsolete proof of zlmds 32210 as of 11-Nov-2024. Distance in a ℤ -module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmds.1	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmdsOLD	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (dist‘𝑊))

Proof of Theorem zlmdsOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmds.1	. 2 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
2		zlmlem2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
4	2, 3	zlmval 20824	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
5	4	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
6		dsid 17194	. . . . 5 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
7		5re 12162	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		1nn 12086	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
9		2nn0 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10		5nn0 12355	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		5lt10 12674	. . . . . . . 8 ⊢ 5 < ;10
12	8, 9, 10, 11	declti 12577	. . . . . . 7 ⊢ 5 < ;12
13	7, 12	gtneii 11189	. . . . . 6 ⊢ ;12 ≠ 5
14		dsndx 17193	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
15		scandx 17122	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
16	14, 15	neeq12i 3007	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
17	13, 16	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
18	6, 17	setsnid 17008	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
19		6re 12165	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
20		6nn0 12356	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ0
21		6lt10 12673	. . . . . . . 8 ⊢ 6 < ;10
22	8, 9, 20, 21	declti 12577	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;12
23	19, 22	gtneii 11189	. . . . . 6 ⊢ ;12 ≠ 6
24		vscandx 17127	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
25	14, 24	neeq12i 3007	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
26	23, 25	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
27	6, 26	setsnid 17008	. . . 4 ⊢ (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
28	18, 27	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
29	5, 28	eqtr4di 2794	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐺))
30	1, 29	eqtr4id 2795	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (dist‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ⟨cop 4580  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338  1c1 10974  2c2 12130  5c5 12133  6c6 12134  ;cdc 12539   sSet csts 16962  ndxcnx 16992  Scalarcsca 17063   ·_𝑠 cvsca 17064  distcds 17069  ._gcmg 18797  ℤ_ringczring 20777  ℤModczlm 20809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-4 12140  df-5 12141  df-6 12142  df-7 12143  df-8 12144  df-9 12145  df-n0 12336  df-z 12422  df-dec 12540  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ds 17082  df-zlm 20813

This theorem is referenced by: (None)