Theorem zlmdsOLD 33605

Description: Obsolete proof of zlmds 33604 as of 11-Nov-2024. Distance in a ℤ -module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmds.1	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmdsOLD	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (dist‘𝑊))

Proof of Theorem zlmdsOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmds.1	. 2 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
2		zlmlem2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
4	2, 3	zlmval 21455	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
5	4	fveq2d 6906	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
6		dsid 17376	. . . . 5 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
7		5re 12339	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		1nn 12263	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
9		2nn0 12529	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10		5nn0 12532	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		5lt10 12852	. . . . . . . 8 ⊢ 5 < ;10
12	8, 9, 10, 11	declti 12755	. . . . . . 7 ⊢ 5 < ;12
13	7, 12	gtneii 11366	. . . . . 6 ⊢ ;12 ≠ 5
14		dsndx 17375	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
15		scandx 17304	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
16	14, 15	neeq12i 3004	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
17	13, 16	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
18	6, 17	setsnid 17187	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
19		6re 12342	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
20		6nn0 12533	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ0
21		6lt10 12851	. . . . . . . 8 ⊢ 6 < ;10
22	8, 9, 20, 21	declti 12755	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;12
23	19, 22	gtneii 11366	. . . . . 6 ⊢ ;12 ≠ 6
24		vscandx 17309	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
25	14, 24	neeq12i 3004	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
26	23, 25	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
27	6, 26	setsnid 17187	. . . 4 ⊢ (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
28	18, 27	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
29	5, 28	eqtr4di 2786	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐺))
30	1, 29	eqtr4id 2787	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (dist‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ⟨cop 4638  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11149  2c2 12307  5c5 12310  6c6 12311  ;cdc 12717   sSet csts 17141  ndxcnx 17171  Scalarcsca 17245   ·_𝑠 cvsca 17246  distcds 17251  ._gcmg 19037  ℤ_ringczring 21386  ℤModczlm 21440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ds 17264  df-zlm 21444

This theorem is referenced by: (None)