Theorem zlmdsOLD 33473

Description: Obsolete proof of zlmds 33472 as of 11-Nov-2024. Distance in a ℤ -module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmds.1	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmdsOLD	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (dist‘𝑊))

Proof of Theorem zlmdsOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmds.1	. 2 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
2		zlmlem2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
4	2, 3	zlmval 21402	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
5	4	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
6		dsid 17340	. . . . 5 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
7		5re 12303	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		1nn 12227	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
9		2nn0 12493	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10		5nn0 12496	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		5lt10 12816	. . . . . . . 8 ⊢ 5 < ;10
12	8, 9, 10, 11	declti 12719	. . . . . . 7 ⊢ 5 < ;12
13	7, 12	gtneii 11330	. . . . . 6 ⊢ ;12 ≠ 5
14		dsndx 17339	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
15		scandx 17268	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
16	14, 15	neeq12i 3001	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
17	13, 16	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
18	6, 17	setsnid 17151	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
19		6re 12306	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
20		6nn0 12497	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ0
21		6lt10 12815	. . . . . . . 8 ⊢ 6 < ;10
22	8, 9, 20, 21	declti 12719	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;12
23	19, 22	gtneii 11330	. . . . . 6 ⊢ ;12 ≠ 6
24		vscandx 17273	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
25	14, 24	neeq12i 3001	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
26	23, 25	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
27	6, 26	setsnid 17151	. . . 4 ⊢ (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
28	18, 27	eqtri 2754	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
29	5, 28	eqtr4di 2784	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐺))
30	1, 29	eqtr4id 2785	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (dist‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ⟨cop 4629  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113  2c2 12271  5c5 12274  6c6 12275  ;cdc 12681   sSet csts 17105  ndxcnx 17135  Scalarcsca 17209   ·_𝑠 cvsca 17210  distcds 17215  ._gcmg 18995  ℤ_ringczring 21333  ℤModczlm 21387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ds 17228  df-zlm 21391

This theorem is referenced by: (None)