Theorem zlmtsetOLD 31903

Description: Obsolete proof of zlmtset 31902 as of 11-Nov-2024. Topology in a ℤ -module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmtset.1	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmtsetOLD	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Proof of Theorem zlmtsetOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmtset.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐺)
2		tsetid 17053	. . . 4 ⊢ TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
3		5re 12052	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		5lt9 12167	. . . . . 6 ⊢ 5 < 9
5	3, 4	gtneii 11079	. . . . 5 ⊢ 9 ≠ 5
6		tsetndx 17052	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
7		scandx 17014	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
8	6, 7	neeq12i 3012	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 9 ≠ 5)
9	5, 8	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
10	2, 9	setsnid 16900	. . 3 ⊢ (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
11		6re 12055	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
12		6lt9 12166	. . . . . 6 ⊢ 6 < 9
13	11, 12	gtneii 11079	. . . . 5 ⊢ 9 ≠ 6
14		vscandx 17019	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
15	6, 14	neeq12i 3012	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 9 ≠ 6)
16	13, 15	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
17	2, 16	setsnid 16900	. . 3 ⊢ (TopSet‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
18	1, 10, 17	3eqtri 2772	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
19		zlmlem2.1	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
20		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
21	19, 20	zlmval 20707	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
22	21	fveq2d 6773	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑊) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
23	18, 22	eqtr4id 2799	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ⟨cop 4573  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  5c5 12023  6c6 12024  9c9 12027   sSet csts 16854  ndxcnx 16884  Scalarcsca 16955   ·_𝑠 cvsca 16956  TopSetcts 16958  ._gcmg 18690  ℤ_ringczring 20660  ℤModczlm 20692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-sca 16968  df-vsca 16969  df-tset 16971  df-zlm 20696

This theorem is referenced by: (None)