Theorem zlmtsetOLD 32940

Description: Obsolete proof of zlmtset 32939 as of 11-Nov-2024. Topology in a ℤ -module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmtset.1	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmtsetOLD	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Proof of Theorem zlmtsetOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmtset.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐺)
2		tsetid 17297	. . . 4 ⊢ TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
3		5re 12298	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		5lt9 12413	. . . . . 6 ⊢ 5 < 9
5	3, 4	gtneii 11325	. . . . 5 ⊢ 9 ≠ 5
6		tsetndx 17296	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
7		scandx 17258	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
8	6, 7	neeq12i 3007	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 9 ≠ 5)
9	5, 8	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
10	2, 9	setsnid 17141	. . 3 ⊢ (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
11		6re 12301	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
12		6lt9 12412	. . . . . 6 ⊢ 6 < 9
13	11, 12	gtneii 11325	. . . . 5 ⊢ 9 ≠ 6
14		vscandx 17263	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
15	6, 14	neeq12i 3007	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 9 ≠ 6)
16	13, 15	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
17	2, 16	setsnid 17141	. . 3 ⊢ (TopSet‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
18	1, 10, 17	3eqtri 2764	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
19		zlmlem2.1	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
20		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
21	19, 20	zlmval 21064	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
22	21	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑊) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
23	18, 22	eqtr4id 2791	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ⟨cop 4634  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  5c5 12269  6c6 12270  9c9 12273   sSet csts 17095  ndxcnx 17125  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  TopSetcts 17202  ._gcmg 18949  ℤ_ringczring 21016  ℤModczlm 21049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-zlm 21053

This theorem is referenced by: (None)