Theorem zlmtsetOLD 33409

Description: Obsolete proof of zlmtset 33408 as of 11-Nov-2024. Topology in a ℤ -module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmtset.1	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmtsetOLD	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Proof of Theorem zlmtsetOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmtset.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐺)
2		tsetid 17305	. . . 4 ⊢ TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
3		5re 12306	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		5lt9 12421	. . . . . 6 ⊢ 5 < 9
5	3, 4	gtneii 11333	. . . . 5 ⊢ 9 ≠ 5
6		tsetndx 17304	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
7		scandx 17266	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
8	6, 7	neeq12i 3006	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 9 ≠ 5)
9	5, 8	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
10	2, 9	setsnid 17149	. . 3 ⊢ (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
11		6re 12309	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
12		6lt9 12420	. . . . . 6 ⊢ 6 < 9
13	11, 12	gtneii 11333	. . . . 5 ⊢ 9 ≠ 6
14		vscandx 17271	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
15	6, 14	neeq12i 3006	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 9 ≠ 6)
16	13, 15	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
17	2, 16	setsnid 17149	. . 3 ⊢ (TopSet‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
18	1, 10, 17	3eqtri 2763	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
19		zlmlem2.1	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
20		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
21	19, 20	zlmval 21375	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
22	21	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑊) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
23	18, 22	eqtr4id 2790	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ⟨cop 4634  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  5c5 12277  6c6 12278  9c9 12281   sSet csts 17103  ndxcnx 17133  Scalarcsca 17207   ·_𝑠 cvsca 17208  TopSetcts 17210  ._gcmg 18993  ℤ_ringczring 21306  ℤModczlm 21360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-tset 17223  df-zlm 21364

This theorem is referenced by: (None)