Theorem zlmtsetOLD 31964

Description: Obsolete proof of zlmtset 31963 as of 11-Nov-2024. Topology in a ℤ -module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmtset.1	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmtsetOLD	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Proof of Theorem zlmtsetOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmtset.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐺)
2		tsetid 17112	. . . 4 ⊢ TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
3		5re 12110	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		5lt9 12225	. . . . . 6 ⊢ 5 < 9
5	3, 4	gtneii 11137	. . . . 5 ⊢ 9 ≠ 5
6		tsetndx 17111	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
7		scandx 17073	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
8	6, 7	neeq12i 3008	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 9 ≠ 5)
9	5, 8	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
10	2, 9	setsnid 16959	. . 3 ⊢ (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
11		6re 12113	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
12		6lt9 12224	. . . . . 6 ⊢ 6 < 9
13	11, 12	gtneii 11137	. . . . 5 ⊢ 9 ≠ 6
14		vscandx 17078	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
15	6, 14	neeq12i 3008	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 9 ≠ 6)
16	13, 15	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
17	2, 16	setsnid 16959	. . 3 ⊢ (TopSet‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
18	1, 10, 17	3eqtri 2768	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
19		zlmlem2.1	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
20		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
21	19, 20	zlmval 20766	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
22	21	fveq2d 6808	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑊) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
23	18, 22	eqtr4id 2795	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  ⟨cop 4571  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  5c5 12081  6c6 12082  9c9 12085   sSet csts 16913  ndxcnx 16943  Scalarcsca 17014   ·_𝑠 cvsca 17015  TopSetcts 17017  ._gcmg 18749  ℤ_ringczring 20719  ℤModczlm 20751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-sca 17027  df-vsca 17028  df-tset 17030  df-zlm 20755

This theorem is referenced by: (None)