Theorem gausslemma2dlem6 15731

Description: Lemma 6 for gausslemma2d 15733. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem6	⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem6

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem4 15728	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)))
6	5	oveq1d 6009	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃))
7		1zzd 9461	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
8	1	gausslemma2dlem0a 15713	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 9556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
10		4nn 9262	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
11		znq 9807	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
13	12	flqcld 10484	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
14	4, 13	eqeltrid 2316	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
15	7, 14	fzfigd 10640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
16	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem2 15726	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
17	16	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
18		rspa 2578	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
19	18	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2)))
20	19	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2)))
21		elfzelz 10209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
22		2z 9462	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
23	22	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 2 ∈ ℤ)
24	21, 23	zmulcld 9563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
25	24	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
26		eleq1 2292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → ((𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ↔ (𝑘 · 2) ∈ ℤ))
27	25, 26	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
28	20, 27	syld 45	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
29	17, 28	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
30	15, 29	fprodzcl 12106	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
31	14	peano2zd 9560	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
32	1, 2	gausslemma2dlem0b 15714	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
33	32	nnzd 9556	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
34	31, 33	fzfigd 10640	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
35	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem3 15727	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
36	35	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
37		rspa 2578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
38	37	expcom 116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2))))
39	38	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2))))
40		elfzelz 10209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
41	22	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
42	40, 41	zmulcld 9563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
43		zsubcl 9475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℤ) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
44	9, 42, 43	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
45		eleq1 2292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → ((𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ↔ (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ))
46	44, 45	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
47	39, 46	syld 45	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
48	36, 47	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
49	34, 48	fprodzcl 12106	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
50		zq 9809	. . . 4 ⊢ (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℚ)
51	49, 50	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℚ)
52		nnq 9816	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
53	8, 52	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
54	8	nngt0d 9142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
55		modqmulmodr 10599	. . . 4 ⊢ (((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃))
56	55	eqcomd 2235	. . 3 ⊢ (((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃))
57	30, 51, 53, 54, 56	syl22anc 1272	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃))
58		gausslemma2d.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
59	1, 2, 3, 4, 58	gausslemma2dlem5 15730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))
60	59	oveq2d 6010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)))
61	60	oveq1d 6009	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
62		neg1z 9466	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
63	1, 4, 2, 58	gausslemma2dlem0h 15720	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
64		zexpcl 10763	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
65	62, 63, 64	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
66	40	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℤ)
67	22	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 2 ∈ ℤ)
68	66, 67	zmulcld 9563	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
69	34, 68	fprodzcl 12106	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℤ)
70	65, 69	zmulcld 9563	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
71		zq 9809	. . . . 5 ⊢ (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℚ)
72	70, 71	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℚ)
73		modqmulmodr 10599	. . . 4 ⊢ (((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃))
74	30, 72, 53, 54, 73	syl22anc 1272	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃))
75	16	prodeq2d 12062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2))
76	75	oveq1d 6009	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
77	7, 33	fzfigd 10640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐻) ∈ Fin)
78		elfzelz 10209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
79	78	zcnd 9558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℂ)
80	79	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℂ)
81		2cnd 9171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
82	77, 80, 81	fprodmul 12088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑘 · 2) = (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2))
83	1, 4	gausslemma2dlem0d 15716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
84	83	nn0red 9411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
85	84	ltp1d 9065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑀 + 1))
86		fzdisj 10236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
88		nn0pzuz 9770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
89	83, 7, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
90	83	nn0zd 9555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
91	1, 4, 2	gausslemma2dlem0g 15719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐻)
92		eluz2 9716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐻))
93	90, 33, 91, 92	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
94		fzsplit2 10234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
95	89, 93, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
96	22	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
97	78, 96	zmulcld 9563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
98	97	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
99	98	zcnd 9558	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
100	87, 95, 77, 99	fprodsplit 12094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑘 · 2) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
101		nnoddn2prm 12769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
102		nnnn0 9364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
103	102	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
104	101, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
105		nn0oddm1d2 12406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
106	105	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
107	2, 106	eqeltrid 2316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝐻 ∈ ℕ0)
108	1, 104, 107	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
109		fprodfac 12112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ0 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘)
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘)
111	110	eqcomd 2235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 = (!‘𝐻))
112		2cn 9169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
113		fprodconst 12117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 2 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2 = (2↑(♯‘(1...𝐻))))
114	77, 112, 113	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2 = (2↑(♯‘(1...𝐻))))
115	111, 114	oveq12d 6012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2) = ((!‘𝐻) · (2↑(♯‘(1...𝐻)))))
116		hashfz1 10992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝐻)) = 𝐻)
117	108, 116	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝐻)) = 𝐻)
118	117	oveq2d 6010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑(♯‘(1...𝐻))) = (2↑𝐻))
119	118	oveq2d 6010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) · (2↑(♯‘(1...𝐻)))) = ((!‘𝐻) · (2↑𝐻)))
120	108	faccld 10945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
121	120	nncnd 9112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℂ)
122		2nn0 9374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
123		nn0expcl 10762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℕ0)
124	123	nn0cnd 9412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
125	122, 108, 124	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
126	121, 125	mulcomd 8156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) · (2↑𝐻)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
127	115, 119, 126	3eqtrd 2266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
128	82, 100, 127	3eqtr3d 2270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
129	76, 128	eqtrd 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
130	129	oveq2d 6010	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = ((-1↑𝑁) · ((2↑𝐻) · (!‘𝐻))))
131	30	zcnd 9558	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℂ)
132		neg1rr 9204	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
133	132	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
134	133, 63	reexpcld 10899	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
135	134	recnd 8163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
136	69	zcnd 9558	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℂ)
137	131, 135, 136	mul12d 8286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = ((-1↑𝑁) · (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))))
138	135, 125, 121	mulassd 8158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) = ((-1↑𝑁) · ((2↑𝐻) · (!‘𝐻))))
139	130, 137, 138	3eqtr4d 2272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)))
140	139	oveq1d 6009	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
141	61, 74, 140	3eqtrd 2266	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
142	6, 57, 141	3eqtrd 2266	1 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ∖ cdif 3194   ∪ cun 3195   ∩ cin 3196  ∅c0 3491  ifcif 3602  {csn 3666   class class class wbr 4082   ↦ cmpt 4144  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  Fincfn 6877  ℂcc 7985  ℝcr 7986  0cc0 7987  1c1 7988   + caddc 7990   · cmul 7992   < clt 8169   ≤ cle 8170   − cmin 8305  -cneg 8306   / cdiv 8807  ℕcn 9098  2c2 9149  4c4 9151  ℕ₀cn0 9357  ℤcz 9434  ℤ_≥cuz 9710  ℚcq 9802  ...cfz 10192  ⌊cfl 10475   mod cmo 10531  ↑cexp 10747  !cfa 10934  ♯chash 10984  ∏cprod 12047   ∥ cdvds 12284  ℙcprime 12615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-frec 6527  df-1o 6552  df-2o 6553  df-oadd 6556  df-er 6670  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-ioo 10076  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-fl 10477  df-mod 10532  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-fac 10935  df-ihash 10985  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-clim 11776  df-proddc 12048  df-dvds 12285  df-prm 12616

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  15732