ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem6 GIF version

Theorem gausslemma2dlem6 15125
Description: Lemma 6 for gausslemma2d 15127. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n 𝑁 = (𝐻𝑀)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem6 (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem6
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . . 4 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . . 4 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4 gausslemma2d.m . . . 4 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
51, 2, 3, 4gausslemma2dlem4 15122 . . 3 (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
65oveq1d 5925 . 2 (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) mod 𝑃))
7 1zzd 9334 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
81gausslemma2dlem0a 15107 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
98nnzd 9428 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
10 4nn 9135 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
11 znq 9679 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
129, 10, 11sylancl 413 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
1312flqcld 10336 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
144, 13eqeltrid 2280 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
157, 14fzfigd 10492 . . . 4 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
161, 2, 3, 4gausslemma2dlem2 15120 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2))
1716adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2))
18 rspa 2542 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅𝑘) = (𝑘 · 2))
1918expcom 116 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅𝑘) = (𝑘 · 2)))
2019adantl 277 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅𝑘) = (𝑘 · 2)))
21 elfzelz 10081 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
22 2z 9335 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
2322a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 2 ∈ ℤ)
2421, 23zmulcld 9435 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
2524adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
26 eleq1 2256 . . . . . . 7 ((𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → ((𝑅𝑘) ∈ ℤ ↔ (𝑘 · 2) ∈ ℤ))
2725, 26syl5ibrcom 157 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ))
2820, 27syld 45 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ))
2917, 28mpd 13 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ)
3015, 29fprodzcl 11739 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℤ)
3114peano2zd 9432 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
321, 2gausslemma2dlem0b 15108 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
3332nnzd 9428 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
3431, 33fzfigd 10492 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
351, 2, 3, 4gausslemma2dlem3 15121 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
3635adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
37 rspa 2542 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
3837expcom 116 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2))))
3938adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2))))
40 elfzelz 10081 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
4122a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
4240, 41zmulcld 9435 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
43 zsubcl 9348 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℤ) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
449, 42, 43syl2an 289 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
45 eleq1 2256 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → ((𝑅𝑘) ∈ ℤ ↔ (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ))
4644, 45syl5ibrcom 157 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ))
4739, 46syld 45 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ))
4836, 47mpd 13 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ)
4934, 48fprodzcl 11739 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℤ)
50 zq 9681 . . . 4 (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℤ → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℚ)
5149, 50syl 14 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℚ)
52 nnq 9688 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
538, 52syl 14 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
548nngt0d 9016 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝑃)
55 modqmulmodr 10451 . . . 4 (((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) mod 𝑃))
5655eqcomd 2199 . . 3 (((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃))
5730, 51, 53, 54, 56syl22anc 1250 . 2 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃))
58 gausslemma2d.n . . . . . 6 𝑁 = (𝐻𝑀)
591, 2, 3, 4, 58gausslemma2dlem5 15124 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))
6059oveq2d 5926 . . . 4 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)))
6160oveq1d 5925 . . 3 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
62 neg1z 9339 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
631, 4, 2, 58gausslemma2dlem0h 15114 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
64 zexpcl 10612 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
6562, 63, 64sylancr 414 . . . . . 6 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
6640adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℤ)
6722a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 2 ∈ ℤ)
6866, 67zmulcld 9435 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
6934, 68fprodzcl 11739 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℤ)
7065, 69zmulcld 9435 . . . . 5 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
71 zq 9681 . . . . 5 (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℚ)
7270, 71syl 14 . . . 4 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℚ)
73 modqmulmodr 10451 . . . 4 (((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃))
7430, 72, 53, 54, 73syl22anc 1250 . . 3 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃))
7516prodeq2d 11695 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2))
7675oveq1d 5925 . . . . . . 7 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
777, 33fzfigd 10492 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝐻) ∈ Fin)
78 elfzelz 10081 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
7978zcnd 9430 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℂ)
8079adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℂ)
81 2cnd 9045 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
8277, 80, 81fprodmul 11721 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑘 · 2) = (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2))
831, 4gausslemma2dlem0d 15110 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
8483nn0red 9284 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
8584ltp1d 8939 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 < (𝑀 + 1))
86 fzdisj 10108 . . . . . . . . . 10 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
8785, 86syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
88 nn0pzuz 9642 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1))
8983, 7, 88syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1))
9083nn0zd 9427 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
911, 4, 2gausslemma2dlem0g 15113 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀𝐻)
92 eluz2 9588 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐻))
9390, 33, 91, 92syl3anbrc 1183 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ (ℤ𝑀))
94 fzsplit2 10106 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐻 ∈ (ℤ𝑀)) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
9589, 93, 94syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
9622a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
9778, 96zmulcld 9435 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
9897adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
9998zcnd 9430 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
10087, 95, 77, 99fprodsplit 11727 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑘 · 2) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
101 nnoddn2prm 12385 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
102 nnnn0 9237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
103102anim1i 340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
104101, 103syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
105 nn0oddm1d2 12037 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
106105biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
1072, 106eqeltrid 2280 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝐻 ∈ ℕ0)
1081, 104, 1073syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
109 fprodfac 11745 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ∈ ℕ0 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘)
110108, 109syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘)
111110eqcomd 2199 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 = (!‘𝐻))
112 2cn 9043 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
113 fprodconst 11750 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 2 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2 = (2↑(♯‘(1...𝐻))))
11477, 112, 113sylancl 413 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2 = (2↑(♯‘(1...𝐻))))
115111, 114oveq12d 5928 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2) = ((!‘𝐻) · (2↑(♯‘(1...𝐻)))))
116 hashfz1 10841 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝐻)) = 𝐻)
117108, 116syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(1...𝐻)) = 𝐻)
118117oveq2d 5926 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑(♯‘(1...𝐻))) = (2↑𝐻))
119118oveq2d 5926 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝐻) · (2↑(♯‘(1...𝐻)))) = ((!‘𝐻) · (2↑𝐻)))
120108faccld 10794 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
121120nncnd 8986 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℂ)
122 2nn0 9247 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
123 nn0expcl 10611 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ0𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℕ0)
124123nn0cnd 9285 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ0𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
125122, 108, 124sylancr 414 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
126121, 125mulcomd 8031 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝐻) · (2↑𝐻)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
127115, 119, 1263eqtrd 2230 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
12882, 100, 1273eqtr3d 2234 . . . . . . 7 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
12976, 128eqtrd 2226 . . . . . 6 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
130129oveq2d 5926 . . . . 5 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = ((-1↑𝑁) · ((2↑𝐻) · (!‘𝐻))))
13130zcnd 9430 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℂ)
132 neg1rr 9078 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
133132a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
134133, 63reexpcld 10748 . . . . . . 7 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
135134recnd 8038 . . . . . 6 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
13669zcnd 9430 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℂ)
137131, 135, 136mul12d 8161 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = ((-1↑𝑁) · (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))))
138135, 125, 121mulassd 8033 . . . . 5 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) = ((-1↑𝑁) · ((2↑𝐻) · (!‘𝐻))))
139130, 137, 1383eqtr4d 2236 . . . 4 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)))
140139oveq1d 5925 . . 3 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
14161, 74, 1403eqtrd 2230 . 2 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
1426, 57, 1413eqtrd 2230 1 (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2164  wral 2472  cdif 3150  cun 3151  cin 3152  c0 3446  ifcif 3557  {csn 3618   class class class wbr 4029  cmpt 4090  cfv 5246  (class class class)co 5910  Fincfn 6785  cc 7860  cr 7861  0cc0 7862  1c1 7863   + caddc 7865   · cmul 7867   < clt 8044  cle 8045  cmin 8180  -cneg 8181   / cdiv 8681  cn 8972  2c2 9023  4c4 9025  0cn0 9230  cz 9307  cuz 9582  cq 9674  ...cfz 10064  cfl 10327   mod cmo 10383  cexp 10596  !cfa 10783  chash 10833  cprod 11680  cdvds 11917  cprime 12232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-pre-mulext 7980  ax-arch 7981  ax-caucvg 7982
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-isom 5255  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-irdg 6414  df-frec 6435  df-1o 6460  df-2o 6461  df-oadd 6464  df-er 6578  df-en 6786  df-dom 6787  df-fin 6788  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591  df-div 8682  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-5 9034  df-6 9035  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-q 9675  df-rp 9710  df-ioo 9948  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-fl 10329  df-mod 10384  df-seqfrec 10509  df-exp 10597  df-fac 10784  df-ihash 10834  df-cj 10973  df-re 10974  df-im 10975  df-rsqrt 11129  df-abs 11130  df-clim 11409  df-proddc 11681  df-dvds 11918  df-prm 12233
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  15126
  Copyright terms: Public domain W3C validator