Theorem gausslemma2dlem6 15318

Description: Lemma 6 for gausslemma2d 15320. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem6	⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem6

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem4 15315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)))
6	5	oveq1d 5938	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃))
7		1zzd 9355	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
8	1	gausslemma2dlem0a 15300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 9449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
10		4nn 9156	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
11		znq 9700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
13	12	flqcld 10369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
14	4, 13	eqeltrid 2283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
15	7, 14	fzfigd 10525	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
16	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem2 15313	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
17	16	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
18		rspa 2545	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
19	18	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2)))
20	19	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2)))
21		elfzelz 10102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
22		2z 9356	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
23	22	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 2 ∈ ℤ)
24	21, 23	zmulcld 9456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
25	24	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
26		eleq1 2259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → ((𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ↔ (𝑘 · 2) ∈ ℤ))
27	25, 26	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
28	20, 27	syld 45	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
29	17, 28	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
30	15, 29	fprodzcl 11776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
31	14	peano2zd 9453	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
32	1, 2	gausslemma2dlem0b 15301	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
33	32	nnzd 9449	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
34	31, 33	fzfigd 10525	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
35	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem3 15314	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
36	35	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
37		rspa 2545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
38	37	expcom 116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2))))
39	38	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2))))
40		elfzelz 10102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
41	22	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
42	40, 41	zmulcld 9456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
43		zsubcl 9369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℤ) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
44	9, 42, 43	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
45		eleq1 2259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → ((𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ↔ (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ))
46	44, 45	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
47	39, 46	syld 45	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
48	36, 47	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
49	34, 48	fprodzcl 11776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
50		zq 9702	. . . 4 ⊢ (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℚ)
51	49, 50	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℚ)
52		nnq 9709	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
53	8, 52	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
54	8	nngt0d 9036	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
55		modqmulmodr 10484	. . . 4 ⊢ (((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃))
56	55	eqcomd 2202	. . 3 ⊢ (((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃))
57	30, 51, 53, 54, 56	syl22anc 1250	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃))
58		gausslemma2d.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
59	1, 2, 3, 4, 58	gausslemma2dlem5 15317	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))
60	59	oveq2d 5939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)))
61	60	oveq1d 5938	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
62		neg1z 9360	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
63	1, 4, 2, 58	gausslemma2dlem0h 15307	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
64		zexpcl 10648	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
65	62, 63, 64	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
66	40	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℤ)
67	22	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 2 ∈ ℤ)
68	66, 67	zmulcld 9456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
69	34, 68	fprodzcl 11776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℤ)
70	65, 69	zmulcld 9456	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
71		zq 9702	. . . . 5 ⊢ (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℚ)
72	70, 71	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℚ)
73		modqmulmodr 10484	. . . 4 ⊢ (((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃))
74	30, 72, 53, 54, 73	syl22anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃))
75	16	prodeq2d 11732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2))
76	75	oveq1d 5938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
77	7, 33	fzfigd 10525	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐻) ∈ Fin)
78		elfzelz 10102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
79	78	zcnd 9451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℂ)
80	79	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℂ)
81		2cnd 9065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
82	77, 80, 81	fprodmul 11758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑘 · 2) = (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2))
83	1, 4	gausslemma2dlem0d 15303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
84	83	nn0red 9305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
85	84	ltp1d 8959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑀 + 1))
86		fzdisj 10129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
88		nn0pzuz 9663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
89	83, 7, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
90	83	nn0zd 9448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
91	1, 4, 2	gausslemma2dlem0g 15306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐻)
92		eluz2 9609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐻))
93	90, 33, 91, 92	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
94		fzsplit2 10127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
95	89, 93, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
96	22	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
97	78, 96	zmulcld 9456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
98	97	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
99	98	zcnd 9451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
100	87, 95, 77, 99	fprodsplit 11764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑘 · 2) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
101		nnoddn2prm 12439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
102		nnnn0 9258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
103	102	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
104	101, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
105		nn0oddm1d2 12076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
106	105	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
107	2, 106	eqeltrid 2283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝐻 ∈ ℕ0)
108	1, 104, 107	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
109		fprodfac 11782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ0 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘)
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘)
111	110	eqcomd 2202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 = (!‘𝐻))
112		2cn 9063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
113		fprodconst 11787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 2 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2 = (2↑(♯‘(1...𝐻))))
114	77, 112, 113	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2 = (2↑(♯‘(1...𝐻))))
115	111, 114	oveq12d 5941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2) = ((!‘𝐻) · (2↑(♯‘(1...𝐻)))))
116		hashfz1 10877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝐻)) = 𝐻)
117	108, 116	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝐻)) = 𝐻)
118	117	oveq2d 5939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑(♯‘(1...𝐻))) = (2↑𝐻))
119	118	oveq2d 5939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) · (2↑(♯‘(1...𝐻)))) = ((!‘𝐻) · (2↑𝐻)))
120	108	faccld 10830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
121	120	nncnd 9006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℂ)
122		2nn0 9268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
123		nn0expcl 10647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℕ0)
124	123	nn0cnd 9306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
125	122, 108, 124	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
126	121, 125	mulcomd 8050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) · (2↑𝐻)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
127	115, 119, 126	3eqtrd 2233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
128	82, 100, 127	3eqtr3d 2237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
129	76, 128	eqtrd 2229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
130	129	oveq2d 5939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = ((-1↑𝑁) · ((2↑𝐻) · (!‘𝐻))))
131	30	zcnd 9451	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℂ)
132		neg1rr 9098	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
133	132	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
134	133, 63	reexpcld 10784	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
135	134	recnd 8057	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
136	69	zcnd 9451	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℂ)
137	131, 135, 136	mul12d 8180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = ((-1↑𝑁) · (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))))
138	135, 125, 121	mulassd 8052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) = ((-1↑𝑁) · ((2↑𝐻) · (!‘𝐻))))
139	130, 137, 138	3eqtr4d 2239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)))
140	139	oveq1d 5938	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
141	61, 74, 140	3eqtrd 2233	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
142	6, 57, 141	3eqtrd 2233	1 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   ∖ cdif 3154   ∪ cun 3155   ∩ cin 3156  ∅c0 3451  ifcif 3562  {csn 3623   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  Fincfn 6800  ℂcc 7879  ℝcr 7880  0cc0 7881  1c1 7882   + caddc 7884   · cmul 7886   < clt 8063   ≤ cle 8064   − cmin 8199  -cneg 8200   / cdiv 8701  ℕcn 8992  2c2 9043  4c4 9045  ℕ₀cn0 9251  ℤcz 9328  ℤ_≥cuz 9603  ℚcq 9695  ...cfz 10085  ⌊cfl 10360   mod cmo 10416  ↑cexp 10632  !cfa 10819  ♯chash 10869  ∏cprod 11717   ∥ cdvds 11954  ℙcprime 12285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-irdg 6429  df-frec 6450  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6593  df-en 6801  df-dom 6802  df-fin 6803  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-5 9054  df-6 9055  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-ioo 9969  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-fl 10362  df-mod 10417  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-fac 10820  df-ihash 10870  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-clim 11446  df-proddc 11718  df-dvds 11955  df-prm 12286

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  15319