ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem6 GIF version

Theorem gausslemma2dlem6 15183
Description: Lemma 6 for gausslemma2d 15185. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n 𝑁 = (𝐻𝑀)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem6 (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem6
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . . 4 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . . 4 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4 gausslemma2d.m . . . 4 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
51, 2, 3, 4gausslemma2dlem4 15180 . . 3 (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
65oveq1d 5933 . 2 (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) mod 𝑃))
7 1zzd 9344 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
81gausslemma2dlem0a 15165 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
98nnzd 9438 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
10 4nn 9145 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
11 znq 9689 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
129, 10, 11sylancl 413 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
1312flqcld 10346 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
144, 13eqeltrid 2280 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
157, 14fzfigd 10502 . . . 4 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
161, 2, 3, 4gausslemma2dlem2 15178 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2))
1716adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2))
18 rspa 2542 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅𝑘) = (𝑘 · 2))
1918expcom 116 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅𝑘) = (𝑘 · 2)))
2019adantl 277 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅𝑘) = (𝑘 · 2)))
21 elfzelz 10091 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
22 2z 9345 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
2322a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 2 ∈ ℤ)
2421, 23zmulcld 9445 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
2524adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
26 eleq1 2256 . . . . . . 7 ((𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → ((𝑅𝑘) ∈ ℤ ↔ (𝑘 · 2) ∈ ℤ))
2725, 26syl5ibrcom 157 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ))
2820, 27syld 45 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ))
2917, 28mpd 13 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ)
3015, 29fprodzcl 11752 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℤ)
3114peano2zd 9442 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
321, 2gausslemma2dlem0b 15166 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
3332nnzd 9438 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
3431, 33fzfigd 10502 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
351, 2, 3, 4gausslemma2dlem3 15179 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
3635adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
37 rspa 2542 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
3837expcom 116 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2))))
3938adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2))))
40 elfzelz 10091 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
4122a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
4240, 41zmulcld 9445 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
43 zsubcl 9358 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℤ) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
449, 42, 43syl2an 289 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
45 eleq1 2256 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → ((𝑅𝑘) ∈ ℤ ↔ (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ))
4644, 45syl5ibrcom 157 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ))
4739, 46syld 45 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ))
4836, 47mpd 13 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ)
4934, 48fprodzcl 11752 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℤ)
50 zq 9691 . . . 4 (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℤ → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℚ)
5149, 50syl 14 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℚ)
52 nnq 9698 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
538, 52syl 14 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
548nngt0d 9026 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝑃)
55 modqmulmodr 10461 . . . 4 (((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) mod 𝑃))
5655eqcomd 2199 . . 3 (((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃))
5730, 51, 53, 54, 56syl22anc 1250 . 2 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃))
58 gausslemma2d.n . . . . . 6 𝑁 = (𝐻𝑀)
591, 2, 3, 4, 58gausslemma2dlem5 15182 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))
6059oveq2d 5934 . . . 4 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)))
6160oveq1d 5933 . . 3 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
62 neg1z 9349 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
631, 4, 2, 58gausslemma2dlem0h 15172 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
64 zexpcl 10625 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
6562, 63, 64sylancr 414 . . . . . 6 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
6640adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℤ)
6722a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 2 ∈ ℤ)
6866, 67zmulcld 9445 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
6934, 68fprodzcl 11752 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℤ)
7065, 69zmulcld 9445 . . . . 5 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
71 zq 9691 . . . . 5 (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℚ)
7270, 71syl 14 . . . 4 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℚ)
73 modqmulmodr 10461 . . . 4 (((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃))
7430, 72, 53, 54, 73syl22anc 1250 . . 3 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃))
7516prodeq2d 11708 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2))
7675oveq1d 5933 . . . . . . 7 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
777, 33fzfigd 10502 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝐻) ∈ Fin)
78 elfzelz 10091 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
7978zcnd 9440 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℂ)
8079adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℂ)
81 2cnd 9055 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
8277, 80, 81fprodmul 11734 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑘 · 2) = (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2))
831, 4gausslemma2dlem0d 15168 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
8483nn0red 9294 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
8584ltp1d 8949 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 < (𝑀 + 1))
86 fzdisj 10118 . . . . . . . . . 10 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
8785, 86syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
88 nn0pzuz 9652 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1))
8983, 7, 88syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1))
9083nn0zd 9437 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
911, 4, 2gausslemma2dlem0g 15171 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀𝐻)
92 eluz2 9598 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐻))
9390, 33, 91, 92syl3anbrc 1183 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ (ℤ𝑀))
94 fzsplit2 10116 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐻 ∈ (ℤ𝑀)) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
9589, 93, 94syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
9622a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
9778, 96zmulcld 9445 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
9897adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
9998zcnd 9440 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
10087, 95, 77, 99fprodsplit 11740 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑘 · 2) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
101 nnoddn2prm 12398 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
102 nnnn0 9247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
103102anim1i 340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
104101, 103syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
105 nn0oddm1d2 12050 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
106105biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
1072, 106eqeltrid 2280 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝐻 ∈ ℕ0)
1081, 104, 1073syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
109 fprodfac 11758 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ∈ ℕ0 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘)
110108, 109syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘)
111110eqcomd 2199 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 = (!‘𝐻))
112 2cn 9053 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
113 fprodconst 11763 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 2 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2 = (2↑(♯‘(1...𝐻))))
11477, 112, 113sylancl 413 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2 = (2↑(♯‘(1...𝐻))))
115111, 114oveq12d 5936 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2) = ((!‘𝐻) · (2↑(♯‘(1...𝐻)))))
116 hashfz1 10854 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝐻)) = 𝐻)
117108, 116syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(1...𝐻)) = 𝐻)
118117oveq2d 5934 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑(♯‘(1...𝐻))) = (2↑𝐻))
119118oveq2d 5934 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝐻) · (2↑(♯‘(1...𝐻)))) = ((!‘𝐻) · (2↑𝐻)))
120108faccld 10807 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
121120nncnd 8996 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℂ)
122 2nn0 9257 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
123 nn0expcl 10624 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ0𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℕ0)
124123nn0cnd 9295 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ0𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
125122, 108, 124sylancr 414 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
126121, 125mulcomd 8041 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝐻) · (2↑𝐻)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
127115, 119, 1263eqtrd 2230 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
12882, 100, 1273eqtr3d 2234 . . . . . . 7 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
12976, 128eqtrd 2226 . . . . . 6 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
130129oveq2d 5934 . . . . 5 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = ((-1↑𝑁) · ((2↑𝐻) · (!‘𝐻))))
13130zcnd 9440 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℂ)
132 neg1rr 9088 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
133132a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
134133, 63reexpcld 10761 . . . . . . 7 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
135134recnd 8048 . . . . . 6 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
13669zcnd 9440 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℂ)
137131, 135, 136mul12d 8171 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = ((-1↑𝑁) · (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))))
138135, 125, 121mulassd 8043 . . . . 5 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) = ((-1↑𝑁) · ((2↑𝐻) · (!‘𝐻))))
139130, 137, 1383eqtr4d 2236 . . . 4 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)))
140139oveq1d 5933 . . 3 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
14161, 74, 1403eqtrd 2230 . 2 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
1426, 57, 1413eqtrd 2230 1 (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2164  wral 2472  cdif 3150  cun 3151  cin 3152  c0 3446  ifcif 3557  {csn 3618   class class class wbr 4029  cmpt 4090  cfv 5254  (class class class)co 5918  Fincfn 6794  cc 7870  cr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   < clt 8054  cle 8055  cmin 8190  -cneg 8191   / cdiv 8691  cn 8982  2c2 9033  4c4 9035  0cn0 9240  cz 9317  cuz 9592  cq 9684  ...cfz 10074  cfl 10337   mod cmo 10393  cexp 10609  !cfa 10796  chash 10846  cprod 11693  cdvds 11930  cprime 12245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-ioo 9958  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-proddc 11694  df-dvds 11931  df-prm 12246
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  15184
  Copyright terms: Public domain W3C validator