![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 01sqrexlem2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for 01sqrex 15214. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
01sqrexlem1.1 | โข ๐ = {๐ฅ โ โ+ โฃ (๐ฅโ2) โค ๐ด} |
01sqrexlem1.2 | โข ๐ต = sup(๐, โ, < ) |
Ref | Expression |
---|---|
01sqrexlem2 | โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ด โค 1) โ ๐ด โ ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpl 482 | . 2 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ด โค 1) โ ๐ด โ โ+) | |
2 | rpre 13000 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ โ) | |
3 | rpgt0 13004 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ+ โ 0 < ๐ด) | |
4 | 1re 11230 | . . . . . 6 โข 1 โ โ | |
5 | lemul1 12082 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง 1 โ โ โง (๐ด โ โ โง 0 < ๐ด)) โ (๐ด โค 1 โ (๐ด ยท ๐ด) โค (1 ยท ๐ด))) | |
6 | 4, 5 | mp3an2 1446 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง (๐ด โ โ โง 0 < ๐ด)) โ (๐ด โค 1 โ (๐ด ยท ๐ด) โค (1 ยท ๐ด))) |
7 | 2, 2, 3, 6 | syl12anc 836 | . . . 4 โข (๐ด โ โ+ โ (๐ด โค 1 โ (๐ด ยท ๐ด) โค (1 ยท ๐ด))) |
8 | 7 | biimpa 476 | . . 3 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ด โค 1) โ (๐ด ยท ๐ด) โค (1 ยท ๐ด)) |
9 | rpcn 13002 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ โ) | |
10 | 9 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ด โค 1) โ ๐ด โ โ) |
11 | sqval 14097 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (๐ดโ2) = (๐ด ยท ๐ด)) | |
12 | 11 | eqcomd 2733 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (๐ด ยท ๐ด) = (๐ดโ2)) |
13 | 10, 12 | syl 17 | . . 3 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ด โค 1) โ (๐ด ยท ๐ด) = (๐ดโ2)) |
14 | 9 | mullidd 11248 | . . . 4 โข (๐ด โ โ+ โ (1 ยท ๐ด) = ๐ด) |
15 | 14 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ด โค 1) โ (1 ยท ๐ด) = ๐ด) |
16 | 8, 13, 15 | 3brtr3d 5173 | . 2 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ด โค 1) โ (๐ดโ2) โค ๐ด) |
17 | oveq1 7421 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ฅโ2) = (๐ดโ2)) | |
18 | 17 | breq1d 5152 | . . 3 โข (๐ฅ = ๐ด โ ((๐ฅโ2) โค ๐ด โ (๐ดโ2) โค ๐ด)) |
19 | 01sqrexlem1.1 | . . 3 โข ๐ = {๐ฅ โ โ+ โฃ (๐ฅโ2) โค ๐ด} | |
20 | 18, 19 | elrab2 3683 | . 2 โข (๐ด โ ๐ โ (๐ด โ โ+ โง (๐ดโ2) โค ๐ด)) |
21 | 1, 16, 20 | sylanbrc 582 | 1 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ด โค 1) โ ๐ด โ ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 {crab 3427 class class class wbr 5142 (class class class)co 7414 supcsup 9449 โcc 11122 โcr 11123 0cc0 11124 1c1 11125 ยท cmul 11129 < clt 11264 โค cle 11265 2c2 12283 โ+crp 12992 โcexp 14044 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7732 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 ax-pre-mulgt0 11201 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7863 df-2nd 7986 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8383 df-rdg 8422 df-er 8716 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-pnf 11266 df-mnf 11267 df-xr 11268 df-ltxr 11269 df-le 11270 df-sub 11462 df-neg 11463 df-nn 12229 df-2 12291 df-n0 12489 df-z 12575 df-uz 12839 df-rp 12993 df-seq 13985 df-exp 14045 |
This theorem is referenced by: 01sqrexlem3 15209 01sqrexlem4 15210 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |