Theorem 01sqrexlem2 15203

Description: Lemma for 01sqrex 15209. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
01sqrexlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
01sqrexlem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem 01sqrexlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpre 12949	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		rpgt0 12953	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
4		1re 11142	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		lemul1 12005	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴)))
6	4, 5	mp3an2 1457	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴)))
7	2, 2, 3, 6	syl12anc 842	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴)))
8	7	biimpa 477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴))
9		rpcn 12951	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		sqval 14074	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
12	11	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
13	10, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
14	9	mullidd 11161	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
15	14	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
16	8, 13, 15	3brtr3d 5110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
17		oveq1 7370	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
18	17	breq1d 5089	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
19		01sqrexlem1.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
20	18, 19	elrab2 3639	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
21	1, 16, 20	sylanbrc 589	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  supcsup 9350  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178  2c2 12234  ℝ⁺crp 12940  ↑cexp 14021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-seq 13962  df-exp 14022

This theorem is referenced by:  01sqrexlem3  15204  01sqrexlem4  15205