MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01sqrexlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 01sqrexlem2 15217
Description: Lemma for 01sqrex 15223. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
01sqrexlem1.1 ๐‘† = {๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐ด}
01sqrexlem1.2 ๐ต = sup(๐‘†, โ„, < )
Assertion
Ref Expression
01sqrexlem2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐‘†(๐‘ฅ)

Proof of Theorem 01sqrexlem2
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
2 rpre 13009 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3 rpgt0 13013 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ๐ด)
4 1re 11239 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
5 lemul1 12091 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ด โ‰ค 1 โ†” (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (1 ยท ๐ด)))
64, 5mp3an2 1445 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ด โ‰ค 1 โ†” (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (1 ยท ๐ด)))
72, 2, 3, 6syl12anc 835 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โ‰ค 1 โ†” (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (1 ยท ๐ด)))
87biimpa 475 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (1 ยท ๐ด))
9 rpcn 13011 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
109adantr 479 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
11 sqval 14106 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
1211eqcomd 2731 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘2))
1310, 12syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘2))
149mullidd 11257 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
1514adantr 479 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
168, 13, 153brtr3d 5175 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด)
17 oveq1 7420 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
1817breq1d 5154 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐ด โ†” (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด))
19 01sqrexlem1.1 . . 3 ๐‘† = {๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐ด}
2018, 19elrab2 3679 . 2 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” (๐ด โˆˆ โ„+ โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด))
211, 16, 20sylanbrc 581 1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3419   class class class wbr 5144  (class class class)co 7413  supcsup 9458  โ„‚cc 11131  โ„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   ยท cmul 11138   < clt 11273   โ‰ค cle 11274  2c2 12292  โ„+crp 13001  โ†‘cexp 14053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054
This theorem is referenced by:  01sqrexlem3  15218  01sqrexlem4  15219
  Copyright terms: Public domain W3C validator