Theorem 01sqrexlem2 15166

Description: Lemma for 01sqrex 15172. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
01sqrexlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
01sqrexlem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem 01sqrexlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpre 12914	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		rpgt0 12918	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
4		1re 11132	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		lemul1 11993	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴)))
6	4, 5	mp3an2 1451	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴)))
7	2, 2, 3, 6	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴)))
8	7	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (1 · 𝐴))
9		rpcn 12916	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		sqval 14037	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
12	11	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
13	10, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
14	9	mullidd 11150	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
16	8, 13, 15	3brtr3d 5129	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
17		oveq1 7365	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
18	17	breq1d 5108	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
19		01sqrexlem1.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
20	18, 19	elrab2 3649	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
21	1, 16, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  supcsup 9343  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167  2c2 12200  ℝ⁺crp 12905  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  01sqrexlem3  15167  01sqrexlem4  15168