MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01sqrexlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 01sqrexlem2 15208
Description: Lemma for 01sqrex 15214. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
01sqrexlem1.1 ๐‘† = {๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐ด}
01sqrexlem1.2 ๐ต = sup(๐‘†, โ„, < )
Assertion
Ref Expression
01sqrexlem2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐‘†(๐‘ฅ)

Proof of Theorem 01sqrexlem2
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
2 rpre 13000 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3 rpgt0 13004 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ๐ด)
4 1re 11230 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
5 lemul1 12082 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ด โ‰ค 1 โ†” (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (1 ยท ๐ด)))
64, 5mp3an2 1446 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ด โ‰ค 1 โ†” (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (1 ยท ๐ด)))
72, 2, 3, 6syl12anc 836 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โ‰ค 1 โ†” (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (1 ยท ๐ด)))
87biimpa 476 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (1 ยท ๐ด))
9 rpcn 13002 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
109adantr 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
11 sqval 14097 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
1211eqcomd 2733 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘2))
1310, 12syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘2))
149mullidd 11248 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
1514adantr 480 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
168, 13, 153brtr3d 5173 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด)
17 oveq1 7421 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
1817breq1d 5152 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐ด โ†” (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด))
19 01sqrexlem1.1 . . 3 ๐‘† = {๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐ด}
2018, 19elrab2 3683 . 2 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†” (๐ด โˆˆ โ„+ โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค ๐ด))
211, 16, 20sylanbrc 582 1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  {crab 3427   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  supcsup 9449  โ„‚cc 11122  โ„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   ยท cmul 11129   < clt 11264   โ‰ค cle 11265  2c2 12283  โ„+crp 12992  โ†‘cexp 14044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-seq 13985  df-exp 14045
This theorem is referenced by:  01sqrexlem3  15209  01sqrexlem4  15210
  Copyright terms: Public domain W3C validator