Theorem 01sqrexlem1 15189

Description: Lemma for 01sqrex 15196. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
01sqrexlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
01sqrexlem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 1)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑆   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem 01sqrexlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
2	1	breq1d 5159	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑦↑2) ≤ 𝐴))
3		01sqrexlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
4	2, 3	elrab2 3687	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴))
5		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ≤ 𝐴)
6		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ≤ 1)
7		rpre 12982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
8	7	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
9	8	resqcld 14090	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
10		rpre 12982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		1re 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		letr 11308	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑦↑2) ≤ 1))
14	12, 13	mp3an3 1451	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑦↑2) ≤ 1))
15	9, 11, 14	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑦↑2) ≤ 1))
16	5, 6, 15	mp2and 698	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ≤ 1)
17		sq1 14159	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
18	16, 17	breqtrrdi 5191	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ≤ (1↑2))
19		rpge0 12987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑦)
20	19	ad2antrl 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝑦)
21		0le1 11737	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
22		le2sq 14099	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (𝑦 ≤ 1 ↔ (𝑦↑2) ≤ (1↑2)))
23	12, 21, 22	mpanr12 704	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝑦 ≤ 1 ↔ (𝑦↑2) ≤ (1↑2)))
24	8, 20, 23	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦 ≤ 1 ↔ (𝑦↑2) ≤ (1↑2)))
25	18, 24	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝑦 ≤ 1)
26	25	ex 414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴) → 𝑦 ≤ 1))
27	4, 26	biimtrid 241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ≤ 1))
28	27	ralrimiv 3146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  {crab 3433   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  supcsup 9435  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   < clt 11248   ≤ cle 11249  2c2 12267  ℝ⁺crp 12974  ↑cexp 14027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028

This theorem is referenced by:  01sqrexlem3  15191  01sqrexlem4  15192