Theorem 01sqrexlem1 15184

Description: Lemma for 01sqrex 15191. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
01sqrexlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
01sqrexlem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 1)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑆   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem 01sqrexlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
2	1	breq1d 5112	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑦↑2) ≤ 𝐴))
3		01sqrexlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
4	2, 3	elrab2 3659	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴))
5		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ≤ 𝐴)
6		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ≤ 1)
7		rpre 12936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
8	7	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
9	8	resqcld 14066	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
10		rpre 12936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		1re 11150	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		letr 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑦↑2) ≤ 1))
14	12, 13	mp3an3 1452	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑦↑2) ≤ 1))
15	9, 11, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑦↑2) ≤ 1))
16	5, 6, 15	mp2and 699	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ≤ 1)
17		sq1 14136	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
18	16, 17	breqtrrdi 5144	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ≤ (1↑2))
19		rpge0 12941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑦)
20	19	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝑦)
21		0le1 11677	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
22		le2sq 14075	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (𝑦 ≤ 1 ↔ (𝑦↑2) ≤ (1↑2)))
23	12, 21, 22	mpanr12 705	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝑦 ≤ 1 ↔ (𝑦↑2) ≤ (1↑2)))
24	8, 20, 23	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦 ≤ 1 ↔ (𝑦↑2) ≤ (1↑2)))
25	18, 24	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝑦 ≤ 1)
26	25	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴) → 𝑦 ≤ 1))
27	4, 26	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ≤ 1))
28	27	ralrimiv 3124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3402   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  supcsup 9367  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   < clt 11184   ≤ cle 11185  2c2 12217  ℝ⁺crp 12927  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  01sqrexlem3  15186  01sqrexlem4  15187