Theorem 01sqrexlem1 15317

Description: Lemma for 01sqrex 15324. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
01sqrexlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
01sqrexlem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 1)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑆   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem 01sqrexlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
2	1	breq1d 5121	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑦↑2) ≤ 𝐴))
3		01sqrexlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
4	2, 3	elrab2 3656	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴))
5		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ≤ 𝐴)
6		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ≤ 1)
7		rpre 13041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
8	7	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
9	8	resqcld 14179	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
10		rpre 13041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		1re 11223	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		letr 11319	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑦↑2) ≤ 1))
14	12, 13	mp3an3 1479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑦↑2) ≤ 1))
15	9, 11, 14	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑦↑2) ≤ 1))
16	5, 6, 15	mp2and 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ≤ 1)
17		sq1 14249	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
18	16, 17	breqtrrdi 5155	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ≤ (1↑2))
19		rpge0 13046	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑦)
20	19	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝑦)
21		0le1 11752	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
22		le2sq 14188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (𝑦 ≤ 1 ↔ (𝑦↑2) ≤ (1↑2)))
23	12, 21, 22	mpanr12 718	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝑦 ≤ 1 ↔ (𝑦↑2) ≤ (1↑2)))
24	8, 20, 23	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦 ≤ 1 ↔ (𝑦↑2) ≤ (1↑2)))
25	18, 24	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝑦 ≤ 1)
26	25	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴) → 𝑦 ≤ 1))
27	4, 26	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ≤ 1))
28	27	ralrimiv 3158	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  supcsup 9407  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   < clt 11258   ≤ cle 11259  2c2 12310  ℝ⁺crp 13032  ↑cexp 14115

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-seq 14056  df-exp 14116

This theorem is used by:  01sqrexlem3  15319  01sqrexlem4  15320