Theorem 0clwlk 29816

Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a closed walk if and only if the second set contains exactly one vertex (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Mar-2018.) (Revised by AV, 17-Feb-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0clwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0clwlk	⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0clwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0clwlk.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	0wlk 29802	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
3	2	anbi2d 628	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ ∅(Walks‘𝐺)𝑃) ↔ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ 𝑃:(0...0)⟶𝑉)))
4		isclwlk 29463	. . 3 ⊢ (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅))))
5	4	biancomi 462	. 2 ⊢ (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ ∅(Walks‘𝐺)𝑃))
6		hash0 14334	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
7	6	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ 0 = (♯‘∅)
8	7	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅))
9	8	biantrur 530	. 2 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
10	3, 5, 9	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  ...cfz 13491  ♯chash 14297  Vtxcvtx 28689  Walkscwlks 29286  ClWalkscclwlks 29460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-hash 14298  df-word 14472  df-wlks 29289  df-clwlks 29461

This theorem is referenced by:  0clwlkv  29817  wlkl0  30053