Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0clwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0clwlk 27924
 Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a closed walk if and only if the second set contains exactly one vertex (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Mar-2018.) (Revised by AV, 17-Feb-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
0clwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0clwlk (𝐺𝑋 → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0clwlk
StepHypRef Expression
1 0clwlk.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
210wlk 27910 . . 3 (𝐺𝑋 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
32anbi2d 631 . 2 (𝐺𝑋 → (((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ ∅(Walks‘𝐺)𝑃) ↔ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ 𝑃:(0...0)⟶𝑉)))
4 isclwlk 27571 . . 3 (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅))))
54biancomi 466 . 2 (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ ∅(Walks‘𝐺)𝑃))
6 hash0 13735 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
76eqcomi 2833 . . . 4 0 = (♯‘∅)
87fveq2i 6666 . . 3 (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅))
98biantrur 534 . 2 (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
103, 5, 93bitr4g 317 1 (𝐺𝑋 → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∅c0 4276   class class class wbr 5053  ⟶wf 6341  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  0cc0 10537  ...cfz 12896  ♯chash 13697  Vtxcvtx 26798  Walkscwlks 27395  ClWalkscclwlks 27568 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-hash 13698  df-word 13869  df-wlks 27398  df-clwlks 27569 This theorem is referenced by:  0clwlkv  27925  wlkl0  28161
 Copyright terms: Public domain W3C validator