Theorem 0clwlk 27653

Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a closed walk if and only if the second set contains exactly one vertex (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Mar-2018.) (Revised by AV, 17-Feb-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0clwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0clwlk	⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0clwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0clwlk.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	0wlk 27639	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
3	2	anbi2d 619	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ ∅(Walks‘𝐺)𝑃) ↔ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ 𝑃:(0...0)⟶𝑉)))
4		isclwlk 27256	. . 3 ⊢ (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅))))
5	4	biancomi 455	. 2 ⊢ (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ ∅(Walks‘𝐺)𝑃))
6		hash0 13537	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
7	6	eqcomi 2781	. . . 4 ⊢ 0 = (♯‘∅)
8	7	fveq2i 6496	. . 3 ⊢ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅))
9	8	biantrur 523	. 2 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
10	3, 5, 9	3bitr4g 306	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∅c0 4172   class class class wbr 4923  ⟶wf 6178  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  0cc0 10329  ...cfz 12702  ♯chash 13499  Vtxcvtx 26478  Walkscwlks 27075  ClWalkscclwlks 27253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-ifp 1044  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-er 8083  df-map 8202  df-pm 8203  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-card 9156  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-fz 12703  df-fzo 12844  df-hash 13500  df-word 13667  df-wlks 27078  df-clwlks 27254

This theorem is referenced by:  0clwlkv  27654  wlkl0  27914