Theorem 0clwlk 28782

Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a closed walk if and only if the second set contains exactly one vertex (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Mar-2018.) (Revised by AV, 17-Feb-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0clwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0clwlk	⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0clwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0clwlk.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	0wlk 28768	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
3	2	anbi2d 629	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ ∅(Walks‘𝐺)𝑃) ↔ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ 𝑃:(0...0)⟶𝑉)))
4		isclwlk 28429	. . 3 ⊢ (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅))))
5	4	biancomi 463	. 2 ⊢ (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ ∅(Walks‘𝐺)𝑃))
6		hash0 14182	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
7	6	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ 0 = (♯‘∅)
8	7	fveq2i 6828	. . 3 ⊢ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅))
9	8	biantrur 531	. 2 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
10	3, 5, 9	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∅c0 4269   class class class wbr 5092  ⟶wf 6475  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  0cc0 10972  ...cfz 13340  ♯chash 14145  Vtxcvtx 27655  Walkscwlks 28252  ClWalkscclwlks 28426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-hash 14146  df-word 14318  df-wlks 28255  df-clwlks 28427

This theorem is referenced by:  0clwlkv  28783  wlkl0  29019