Theorem 0clwlk 30418

Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a closed walk if and only if the second set contains exactly one vertex (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Mar-2018.) (Revised by AV, 17-Feb-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0clwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0clwlk	⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0clwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0clwlk.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	0wlk 30404	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
3	2	anbi2d 641	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ ∅(Walks‘𝐺)𝑃) ↔ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ 𝑃:(0...0)⟶𝑉)))
4		isclwlk 30059	. . 3 ⊢ (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅))))
5	4	biancomi 467	. 2 ⊢ (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ ∅(Walks‘𝐺)𝑃))
6		hash0 14399	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
7	6	eqcomi 2778	. . . 4 ⊢ 0 = (♯‘∅)
8	7	fveq2i 6882	. . 3 ⊢ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅))
9	8	biantrur 539	. 2 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘∅)) ∧ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
10	3, 5, 9	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∅c0 4294   class class class wbr 5110  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  0cc0 11096  ...cfz 13531  ♯chash 14362  Vtxcvtx 29283  Walkscwlks 29883  ClWalkscclwlks 30056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-wlks 29886  df-clwlks 30057

This theorem is referenced by:  0clwlkv  30419  wlkl0  30655