Theorem 0pthonv 30158

Description: For each vertex there is a path of length 0 from the vertex to itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0pthon.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0pthonv	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑝   𝑓,𝑁,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem 0pthonv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5313	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		snex 5442	. . 3 ⊢ {⟨0, 𝑁⟩} ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (∅ ∈ V ∧ {⟨0, 𝑁⟩} ∈ V)
4		0pthon.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4	0pthon1 30157	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁){⟨0, 𝑁⟩})
6		breq12 5153	. . 3 ⊢ ((𝑓 = ∅ ∧ 𝑝 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝 ↔ ∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁){⟨0, 𝑁⟩}))
7	6	spc2egv 3599	. 2 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ {⟨0, 𝑁⟩} ∈ V) → (∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁){⟨0, 𝑁⟩} → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
8	3, 5, 7	mpsyl 68	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ∅c0 4339  {csn 4631  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  Vtxcvtx 29028  PathsOncpthson 29747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-wlks 29632  df-wlkson 29633  df-trls 29725  df-trlson 29726  df-pths 29749  df-pthson 29751

This theorem is referenced by:  1pthon2v  30182  dfconngr1  30217  1conngr  30223