Theorem 0pthonv 30109

Description: For each vertex there is a path of length 0 from the vertex to itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0pthon.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0pthonv	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑝   𝑓,𝑁,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem 0pthonv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5243	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		snex 5372	. . 3 ⊢ {⟨0, 𝑁⟩} ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (∅ ∈ V ∧ {⟨0, 𝑁⟩} ∈ V)
4		0pthon.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4	0pthon1 30108	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁){⟨0, 𝑁⟩})
6		breq12 5094	. . 3 ⊢ ((𝑓 = ∅ ∧ 𝑝 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝 ↔ ∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁){⟨0, 𝑁⟩}))
7	6	spc2egv 3549	. 2 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ {⟨0, 𝑁⟩} ∈ V) → (∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁){⟨0, 𝑁⟩} → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
8	3, 5, 7	mpsyl 68	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4280  {csn 4573  ⟨cop 4579   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  Vtxcvtx 28974  PathsOncpthson 29690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-wlks 29578  df-wlkson 29579  df-trls 29669  df-trlson 29670  df-pths 29692  df-pthson 29694

This theorem is referenced by:  1pthon2v  30133  dfconngr1  30168  1conngr  30174