Theorem 0pthonv 30735

Description: For each vertex there is a path of length 0 from the vertex to itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0pthon.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0pthonv	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑝   𝑓,𝑁,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓, 𝑝)

Proof of Theorem 0pthonv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5264	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		snex 5401	. . 3 ⊢ {⟨0, 𝑁⟩} ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 476	. 2 ⊢ (∅ ∈ V ∧ {⟨0, 𝑁⟩} ∈ V)
4		0pthon.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4	0pthon1 30734	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁){⟨0, 𝑁⟩})
6		breq12 5111	. . 3 ⊢ ((𝑓 = ∅ ∧ 𝑝 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝 ↔ ∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁){⟨0, 𝑁⟩}))
7	6	spc2egv 3557	. 2 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ {⟨0, 𝑁⟩} ∈ V) → (∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁){⟨0, 𝑁⟩} → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝))
8	3, 5, 7	mpsyl 69	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑝)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  0cc0 11213  Vtxcvtx 29589  PathsOncpthson 30312

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-hash 14488  df-word 14672  df-wlks 30195  df-wlkson 30196  df-trls 30290  df-trlson 30291  df-pths 30314  df-pthson 30316

This theorem is used by:  1pthon2v  30769  dfconngr1  30804  1conngr  30810