MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwn 13919
Description: A word cyclically shifted by its length is the word itself. (Contributed by AV, 16-May-2018.) (Revised by AV, 20-May-2018.) (Revised by AV, 26-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshwn (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem cshwn
StepHypRef Expression
1 0csh0 13914 . . . 4 (∅ cyclShift (♯‘𝑊)) = ∅
2 oveq1 6913 . . . 4 (∅ = 𝑊 → (∅ cyclShift (♯‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)))
3 id 22 . . . 4 (∅ = 𝑊 → ∅ = 𝑊)
41, 2, 33eqtr3a 2886 . . 3 (∅ = 𝑊 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
54a1d 25 . 2 (∅ = 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊))
6 lencl 13594 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
76nn0zd 11809 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
8 cshwmodn 13917 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊))))
97, 8mpdan 680 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊))))
109adantl 475 . . . 4 ((∅ ≠ 𝑊𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊))))
11 necom 3053 . . . . . . . . 9 (∅ ≠ 𝑊𝑊 ≠ ∅)
12 lennncl 13595 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
1311, 12sylan2b 589 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
1413nnrpd 12155 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
1514ancoms 452 . . . . . 6 ((∅ ≠ 𝑊𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
16 modid0 12992 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((∅ ≠ 𝑊𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
1817oveq2d 6922 . . . 4 ((∅ ≠ 𝑊𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift 0))
19 cshw0 13916 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
2019adantl 475 . . . 4 ((∅ ≠ 𝑊𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
2110, 18, 203eqtrd 2866 . . 3 ((∅ ≠ 𝑊𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
2221ex 403 . 2 (∅ ≠ 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊))
235, 22pm2.61ine 3083 1 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  c0 4145  cfv 6124  (class class class)co 6906  0cc0 10253  cn 11351  cz 11705  +crp 12113   mod cmo 12964  chash 13411  Word cword 13575   cyclShift ccsh 13905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-inf 8619  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-fl 12889  df-mod 12965  df-hash 13412  df-word 13576  df-concat 13632  df-substr 13702  df-pfx 13751  df-csh 13907
This theorem is referenced by:  2cshwid  13936  cshweqdif2  13941  scshwfzeqfzo  13948  cshwcshid  13949  clwwisshclwwsn  27355  eucrct2eupthOLD  27624  eucrct2eupth  27625
  Copyright terms: Public domain W3C validator