MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwn 14498
Description: A word cyclically shifted by its length is the word itself. (Contributed by AV, 16-May-2018.) (Revised by AV, 20-May-2018.) (Revised by AV, 26-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshwn (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem cshwn
StepHypRef Expression
1 0csh0 14494 . . . 4 (∅ cyclShift (♯‘𝑊)) = ∅
2 oveq1 7275 . . . 4 (∅ = 𝑊 → (∅ cyclShift (♯‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)))
3 id 22 . . . 4 (∅ = 𝑊 → ∅ = 𝑊)
41, 2, 33eqtr3a 2802 . . 3 (∅ = 𝑊 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
54a1d 25 . 2 (∅ = 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊))
6 lencl 14224 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
76nn0zd 12412 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
8 cshwmodn 14496 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊))))
97, 8mpdan 684 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊))))
109adantl 482 . . . 4 ((∅ ≠ 𝑊𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊))))
11 necom 2997 . . . . . . . . 9 (∅ ≠ 𝑊𝑊 ≠ ∅)
12 lennncl 14225 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
1311, 12sylan2b 594 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
1413nnrpd 12758 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
1514ancoms 459 . . . . . 6 ((∅ ≠ 𝑊𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
16 modid0 13605 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((∅ ≠ 𝑊𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
1817oveq2d 7284 . . . 4 ((∅ ≠ 𝑊𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift 0))
19 cshw0 14495 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
2019adantl 482 . . . 4 ((∅ ≠ 𝑊𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
2110, 18, 203eqtrd 2782 . . 3 ((∅ ≠ 𝑊𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
2221ex 413 . 2 (∅ ≠ 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊))
235, 22pm2.61ine 3028 1 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  c0 4257  cfv 6427  (class class class)co 7268  0cc0 10859  cn 11961  cz 12307  +crp 12718   mod cmo 13577  chash 14032  Word cword 14205   cyclShift ccsh 14489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-sup 9189  df-inf 9190  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-rp 12719  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-fl 13500  df-mod 13578  df-hash 14033  df-word 14206  df-concat 14262  df-substr 14342  df-pfx 14372  df-csh 14490
This theorem is referenced by:  2cshwid  14515  cshweqdif2  14520  scshwfzeqfzo  14527  cshwcshid  14528  clwwisshclwwsn  28366  eucrct2eupth  28595
  Copyright terms: Public domain W3C validator