Theorem cshwn 14151

Description: A word cyclically shifted by its length is the word itself. (Contributed by AV, 16-May-2018.) (Revised by AV, 20-May-2018.) (Revised by AV, 26-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwn	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem cshwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0csh0 14147	. . . 4 ⊢ (∅ cyclShift (♯‘𝑊)) = ∅
2		oveq1 7155	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → (∅ cyclShift (♯‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)))
3		id 22	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → ∅ = 𝑊)
4	1, 2, 3	3eqtr3a 2878	. . 3 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
5	4	a1d 25	. 2 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊))
6		lencl 13875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12077	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
8		cshwmodn 14149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊))))
9	7, 8	mpdan 685	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊))))
10	9	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((∅ ≠ 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊))))
11		necom 3067	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 ↔ 𝑊 ≠ ∅)
12		lennncl 13876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
13	11, 12	sylan2b 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
14	13	nnrpd 12421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
15	14	ancoms 461	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ≠ 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
16		modid0 13257	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≠ 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
18	17	oveq2d 7164	. . . 4 ⊢ ((∅ ≠ 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift 0))
19		cshw0 14148	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
20	19	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((∅ ≠ 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
21	10, 18, 20	3eqtrd 2858	. . 3 ⊢ ((∅ ≠ 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
22	21	ex 415	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊))
23	5, 22	pm2.61ine 3098	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  ∅c0 4289  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  0cc0 10529  ℕcn 11630  ℤcz 11973  ℝ⁺crp 12381   mod cmo 13229  ♯chash 13682  Word cword 13853   cyclShift ccsh 14142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-hash 13683  df-word 13854  df-concat 13915  df-substr 13995  df-pfx 14025  df-csh 14143

This theorem is referenced by:  2cshwid  14168  cshweqdif2  14173  scshwfzeqfzo  14180  cshwcshid  14181  clwwisshclwwsn  27786  eucrct2eupth  28016