Theorem cshwlen 14817

Description: The length of a cyclically shifted word is the same as the length of the original word. (Contributed by AV, 16-May-2018.) (Revised by AV, 20-May-2018.) (Revised by AV, 27-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
cshwlen	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem cshwlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0csh0 14811	. . . . 5 ⊢ (∅ cyclShift 𝑁) = ∅
2		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (∅ cyclShift 𝑁))
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → 𝑊 = ∅)
4	1, 2, 3	3eqtr4a 2796	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift 𝑁) = 𝑊)
5	4	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
6	5	a1d 25	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊)))
7		cshword 14809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
8	7	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
10		swrdcl 14663	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
11		pfxcl 14695	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉)
12		ccatlen 14593	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉) → (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
14	13	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
15		lennncl 14552	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
16		pm3.21 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))))
17	16	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))))
19	18	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))))))
20	19	com24 95	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))))))
21	20	pm2.43i 52	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))))
22	21	imp31 417	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
23		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
24		zmodfzp1 13912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
25	24	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
26	25	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
27		lencl 14551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
28		nn0fz0 13642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
29	27, 28	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
31		swrdlen 14665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
32	23, 26, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
33		pfxlen 14701	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
34	25, 33	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
35	32, 34	oveq12d 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
36	27	nn0cnd 12564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
37		zmodcl 13908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
38	37	nn0cnd 12564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
39	38	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
40		npcan 11491	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
41	36, 39, 40	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
42	35, 41	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (♯‘𝑊))
43	22, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (♯‘𝑊))
44	9, 14, 43	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
45	44	expcom 413	. 2 ⊢ (𝑊 ≠ ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊)))
46	6, 45	pm2.61ine 3015	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∅c0 4308  ⟨cop 4607  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129   + caddc 11132   − cmin 11466  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ...cfz 13524   mod cmo 13886  ♯chash 14348  Word cword 14531   ++ cconcat 14588   substr csubstr 14658   prefix cpfx 14688   cyclShift ccsh 14806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-hash 14349  df-word 14532  df-concat 14589  df-substr 14659  df-pfx 14689  df-csh 14807

This theorem is referenced by:  cshwf  14818  2cshw  14831  lswcshw  14833  cshwleneq  14835  crctcshlem2  29800  clwwisshclwwslem  29995  clwwisshclwws  29996  erclwwlkeqlen  30000  clwwnisshclwwsn  30040  erclwwlkneqlen  30049  eucrct2eupth  30226