MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwlen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwlen 14752
Description: The length of a cyclically shifted word is the same as the length of the original word. (Contributed by AV, 16-May-2018.) (Revised by AV, 20-May-2018.) (Revised by AV, 27-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
cshwlen ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem cshwlen
StepHypRef Expression
1 0csh0 14746 . . . . 5 (∅ cyclShift 𝑁) = ∅
2 oveq1 7411 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (∅ cyclShift 𝑁))
3 id 22 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → 𝑊 = ∅)
41, 2, 33eqtr4a 2792 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift 𝑁) = 𝑊)
54fveq2d 6888 . . 3 (𝑊 = ∅ → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
65a1d 25 . 2 (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊)))
7 cshword 14744 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
87fveq2d 6888 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
98adantr 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
10 swrdcl 14598 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
11 pfxcl 14630 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉)
12 ccatlen 14528 . . . . . 6 (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉) → (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
1310, 11, 12syl2anc 583 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
1413ad2antrr 723 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
15 lennncl 14487 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
16 pm3.21 471 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))))
1716ex 412 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))))
1815, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))))
1918ex 412 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))))))
2019com24 95 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))))))
2120pm2.43i 52 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))))
2221imp31 417 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
23 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
24 zmodfzp1 13863 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
2524ancoms 458 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
2625adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
27 lencl 14486 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
28 nn0fz0 13602 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3029adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
31 swrdlen 14600 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
3223, 26, 30, 31syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
33 pfxlen 14636 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
3425, 33sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
3532, 34oveq12d 7422 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
3627nn0cnd 12535 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
37 zmodcl 13859 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
3837nn0cnd 12535 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
3938ancoms 458 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
40 npcan 11470 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
4136, 39, 40syl2an 595 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
4235, 41eqtrd 2766 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (♯‘𝑊))
4322, 42syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (♯‘𝑊))
449, 14, 433eqtrd 2770 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
4544expcom 413 . 2 (𝑊 ≠ ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊)))
466, 45pm2.61ine 3019 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  c0 4317  cop 4629  cfv 6536  (class class class)co 7404  cc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112  cmin 11445  cn 12213  0cn0 12473  cz 12559  ...cfz 13487   mod cmo 13837  chash 14292  Word cword 14467   ++ cconcat 14523   substr csubstr 14593   prefix cpfx 14623   cyclShift ccsh 14741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-hash 14293  df-word 14468  df-concat 14524  df-substr 14594  df-pfx 14624  df-csh 14742
This theorem is referenced by:  cshwf  14753  2cshw  14766  lswcshw  14768  cshwleneq  14770  crctcshlem2  29576  clwwisshclwwslem  29771  clwwisshclwws  29772  erclwwlkeqlen  29776  clwwnisshclwwsn  29816  erclwwlkneqlen  29825  eucrct2eupth  30002
  Copyright terms: Public domain W3C validator