Theorem cshwlen 14785

Description: The length of a cyclically shifted word is the same as the length of the original word. (Contributed by AV, 16-May-2018.) (Revised by AV, 20-May-2018.) (Revised by AV, 27-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
cshwlen	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem cshwlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0csh0 14779	. . . . 5 ⊢ (∅ cyclShift 𝑁) = ∅
2		oveq1 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (∅ cyclShift 𝑁))
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → 𝑊 = ∅)
4	1, 2, 3	3eqtr4a 2791	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift 𝑁) = 𝑊)
5	4	fveq2d 6900	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
6	5	a1d 25	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊)))
7		cshword 14777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
8	7	fveq2d 6900	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
9	8	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
10		swrdcl 14631	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
11		pfxcl 14663	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉)
12		ccatlen 14561	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉) → (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
13	10, 11, 12	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
14	13	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
15		lennncl 14520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
16		pm3.21 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))))
17	16	ex 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))))
19	18	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))))))
20	19	com24 95	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))))))
21	20	pm2.43i 52	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))))
22	21	imp31 416	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
23		simpl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
24		zmodfzp1 13896	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
25	24	ancoms 457	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
26	25	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
27		lencl 14519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
28		nn0fz0 13634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
29	27, 28	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
30	29	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
31		swrdlen 14633	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
32	23, 26, 30, 31	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
33		pfxlen 14669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
34	25, 33	sylan2 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
35	32, 34	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
36	27	nn0cnd 12567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
37		zmodcl 13892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
38	37	nn0cnd 12567	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
39	38	ancoms 457	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
40		npcan 11501	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
41	36, 39, 40	syl2an 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
42	35, 41	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (♯‘𝑊))
43	22, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (♯‘𝑊))
44	9, 14, 43	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
45	44	expcom 412	. 2 ⊢ (𝑊 ≠ ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊)))
46	6, 45	pm2.61ine 3014	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∅c0 4322  ⟨cop 4636  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  0cc0 11140   + caddc 11143   − cmin 11476  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12591  ...cfz 13519   mod cmo 13870  ♯chash 14325  Word cword 14500   ++ cconcat 14556   substr csubstr 14626   prefix cpfx 14656   cyclShift ccsh 14774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-hash 14326  df-word 14501  df-concat 14557  df-substr 14627  df-pfx 14657  df-csh 14775

This theorem is referenced by:  cshwf  14786  2cshw  14799  lswcshw  14801  cshwleneq  14803  crctcshlem2  29701  clwwisshclwwslem  29896  clwwisshclwws  29897  erclwwlkeqlen  29901  clwwnisshclwwsn  29941  erclwwlkneqlen  29950  eucrct2eupth  30127