Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswcshw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswcshw 14214
 Description: A cyclically shifted "repeated symbol word". (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
repswcshw ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Proof of Theorem repswcshw
StepHypRef Expression
1 0csh0 14195 . . . . 5 (∅ cyclShift 𝐼) = ∅
2 repsw0 14179 . . . . . 6 (𝑆𝑉 → (𝑆 repeatS 0) = ∅)
32oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑆𝑉 → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (∅ cyclShift 𝐼))
41, 3, 23eqtr4a 2820 . . . 4 (𝑆𝑉 → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0))
543ad2ant1 1131 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0))
6 oveq2 7159 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑆 repeatS 0))
76oveq1d 7166 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼))
87, 6eqeq12d 2775 . . 3 (𝑁 = 0 → (((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0)))
95, 8syl5ibr 249 . 2 (𝑁 = 0 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁)))
10 idd 24 . . . 4 𝑁 = 0 → (𝑆𝑉𝑆𝑉))
11 df-ne 2953 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
12 elnnne0 11941 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
1312simplbi2com 507 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ))
1411, 13sylbir 238 . . . 4 𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ))
15 idd 24 . . . 4 𝑁 = 0 → (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℤ))
1610, 14, 153anim123d 1441 . . 3 𝑁 = 0 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)))
17 nnnn0 11934 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
1817anim2i 620 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
19 repsw 14177 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
21 cshword 14193 . . . . 5 (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))))
2220, 21stoic3 1779 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))))
23 repswlen 14178 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
2418, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
2524oveq2d 7167 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (𝐼 mod 𝑁))
2625, 24opeq12d 4772 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩ = ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩)
2726oveq2d 7167 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) = ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩))
2825oveq2d 7167 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁)))
2927, 28oveq12d 7169 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))))
30293adant3 1130 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))))
31183adant3 1130 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
32 zmodcl 13301 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
3332ancoms 463 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
3417adantr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3533, 34jca 516 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
36353adant1 1128 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
37 nnre 11674 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3837leidd 11237 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁𝑁)
39383ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁𝑁)
40 repswswrd 14186 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑁) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))))
4131, 36, 39, 40syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))))
42 simp1 1134 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑆𝑉)
43173ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
44 zmodfzp1 13305 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁))
4544ancoms 463 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁))
46453adant1 1128 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁))
47 repswpfx 14187 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁)) = (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁)))
4842, 43, 46, 47syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁)) = (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁)))
4941, 48oveq12d 7169 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))) = ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁))))
5032nn0red 11988 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
5150ancoms 463 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
5237adantr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
53 zre 12017 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
54 nnrp 12434 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
55 modlt 13290 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐼 mod 𝑁) < 𝑁)
5653, 54, 55syl2anr 600 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) < 𝑁)
5751, 52, 56ltled 10819 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁)
58573adant1 1128 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁)
59333adant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
60 nn0sub 11977 . . . . . . . 8 (((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0))
6159, 43, 60syl2anc 588 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0))
6258, 61mpbid 235 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0)
63 repswccat 14188 . . . . . 6 ((𝑆𝑉 ∧ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁))))
6442, 62, 59, 63syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁))))
65 nncn 11675 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
6665adantl 486 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
6732nn0cnd 11989 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℂ)
6866, 67npcand 11032 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁)) = 𝑁)
6968ancoms 463 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁)) = 𝑁)
70693adant1 1128 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁)) = 𝑁)
7170oveq2d 7167 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS 𝑁))
7249, 64, 713eqtrd 2798 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS 𝑁))
7322, 30, 723eqtrd 2798 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))
7416, 73syl6 35 . 2 𝑁 = 0 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁)))
759, 74pm2.61i 185 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∅c0 4226  ⟨cop 4529   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℂcc 10566  ℝcr 10567  0cc0 10568   + caddc 10571   < clt 10706   ≤ cle 10707   − cmin 10901  ℕcn 11667  ℕ0cn0 11927  ℤcz 12013  ℝ+crp 12423  ...cfz 12932   mod cmo 13279  ♯chash 13733  Word cword 13906   ++ cconcat 13962   substr csubstr 14042   prefix cpfx 14072   repeatS creps 14170   cyclShift ccsh 14190 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-sup 8932  df-inf 8933  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-rp 12424  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-fl 13204  df-mod 13280  df-hash 13734  df-word 13907  df-concat 13963  df-substr 14043  df-pfx 14073  df-reps 14171  df-csh 14191 This theorem is referenced by:  cshwrepswhash1  16487
 Copyright terms: Public domain W3C validator