Theorem repswcshw 14214

Description: A cyclically shifted "repeated symbol word". (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
repswcshw	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Proof of Theorem repswcshw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0csh0 14195	. . . . 5 ⊢ (∅ cyclShift 𝐼) = ∅
2		repsw0 14179	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 repeatS 0) = ∅)
3	2	oveq1d 7166	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (∅ cyclShift 𝐼))
4	1, 3, 2	3eqtr4a 2820	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0))
5	4	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0))
6		oveq2 7159	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑆 repeatS 0))
7	6	oveq1d 7166	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼))
8	7, 6	eqeq12d 2775	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0)))
9	5, 8	syl5ibr 249	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁)))
10		idd 24	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ 𝑉))
11		df-ne 2953	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
12		elnnne0 11941	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
13	12	simplbi2com 507	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ))
14	11, 13	sylbir 238	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ))
15		idd 24	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℤ))
16	10, 14, 15	3anim123d 1441	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)))
17		nnnn0 11934	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	anim2i 620	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
19		repsw 14177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
21		cshword 14193	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))))
22	20, 21	stoic3 1779	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))))
23		repswlen 14178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
25	24	oveq2d 7167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (𝐼 mod 𝑁))
26	25, 24	opeq12d 4772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩ = ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩)
27	26	oveq2d 7167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) = ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩))
28	25	oveq2d 7167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁)))
29	27, 28	oveq12d 7169	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))))
30	29	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))))
31	18	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
32		zmodcl 13301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
33	32	ancoms 463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
34	17	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35	33, 34	jca 516	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
36	35	3adant1 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
37		nnre 11674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
38	37	leidd 11237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ 𝑁)
39	38	3ad2ant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ≤ 𝑁)
40		repswswrd 14186	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑁) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))))
41	31, 36, 39, 40	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))))
42		simp1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ 𝑉)
43	17	3ad2ant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
44		zmodfzp1 13305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁))
45	44	ancoms 463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁))
46	45	3adant1 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁))
47		repswpfx 14187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁)) = (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁)))
48	42, 43, 46, 47	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁)) = (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁)))
49	41, 48	oveq12d 7169	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))) = ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁))))
50	32	nn0red 11988	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
51	50	ancoms 463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
52	37	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
53		zre 12017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
54		nnrp 12434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
55		modlt 13290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐼 mod 𝑁) < 𝑁)
56	53, 54, 55	syl2anr 600	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) < 𝑁)
57	51, 52, 56	ltled 10819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁)
58	57	3adant1 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁)
59	33	3adant1 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
60		nn0sub 11977	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0))
61	59, 43, 60	syl2anc 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0))
62	58, 61	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0)
63		repswccat 14188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁))))
64	42, 62, 59, 63	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁))))
65		nncn 11675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
66	65	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
67	32	nn0cnd 11989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℂ)
68	66, 67	npcand 11032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁)) = 𝑁)
69	68	ancoms 463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁)) = 𝑁)
70	69	3adant1 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁)) = 𝑁)
71	70	oveq2d 7167	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS 𝑁))
72	49, 64, 71	3eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS 𝑁))
73	22, 30, 72	3eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))
74	16, 73	syl6 35	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁)))
75	9, 74	pm2.61i 185	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∅c0 4226  ⟨cop 4529   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℂcc 10566  ℝcr 10567  0cc0 10568   + caddc 10571   < clt 10706   ≤ cle 10707   − cmin 10901  ℕcn 11667  ℕ₀cn0 11927  ℤcz 12013  ℝ⁺crp 12423  ...cfz 12932   mod cmo 13279  ♯chash 13733  Word cword 13906   ++ cconcat 13962   substr csubstr 14042   prefix cpfx 14072   repeatS creps 14170   cyclShift ccsh 14190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-sup 8932  df-inf 8933  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-rp 12424  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-fl 13204  df-mod 13280  df-hash 13734  df-word 13907  df-concat 13963  df-substr 14043  df-pfx 14073  df-reps 14171  df-csh 14191

This theorem is referenced by:  cshwrepswhash1  16487