Theorem repswcshw 14963

Description: A cyclically shifted "repeated symbol word". (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
repswcshw	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Proof of Theorem repswcshw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0csh0 14944	. . . . 5 ⊢ (∅ cyclShift 𝐼) = ∅
2		repsw0 14928	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 repeatS 0) = ∅)
3	2	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (∅ cyclShift 𝐼))
4	1, 3, 2	3eqtr4a 2821	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0))
5	4	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0))
6		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑆 repeatS 0))
7	6	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼))
8	7, 6	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0)))
9	5, 8	imbitrrid 249	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁)))
10		idd 25	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ 𝑉))
11		df-ne 2956	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
12		elnnne0 12620	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
13	12	simplbi2com 508	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ))
14	11, 13	sylbir 238	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ))
15		idd 25	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℤ))
16	10, 14, 15	3anim123d 1471	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)))
17		nnnn0 12613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	anim2i 629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
19		repsw 14926	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
20	18, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
21		cshword 14942	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))))
22	20, 21	stoic3 1808	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))))
23		repswlen 14927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
24	18, 23	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
25	24	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (𝐼 mod 𝑁))
26	25, 24	opeq12d 4840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩ = ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩)
27	26	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) = ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩))
28	25	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁)))
29	27, 28	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))))
30	29	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))))
31	18	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
32		zmodcl 14031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
33	32	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
34	17	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35	33, 34	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
36	35	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
37		nnre 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
38	37	leidd 11882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ 𝑁)
39	38	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ≤ 𝑁)
40		repswswrd 14935	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑁) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))))
41	31, 36, 39, 40	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))))
42		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ 𝑉)
43	17	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
44		zmodfzp1 14035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁))
45	44	ancoms 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁))
46	45	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁))
47		repswpfx 14936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁)) = (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁)))
48	42, 43, 46, 47	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁)) = (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁)))
49	41, 48	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))) = ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁))))
50	32	nn0red 12668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
51	50	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
52	37	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
53		zre 12697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
54		nnrp 13132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
55		modlt 14020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐼 mod 𝑁) < 𝑁)
56	53, 54, 55	syl2anr 609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) < 𝑁)
57	51, 52, 56	ltled 11458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁)
58	57	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁)
59	33	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
60		nn0sub 12656	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0))
61	59, 43, 60	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0))
62	58, 61	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0)
63		repswccat 14937	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁))))
64	42, 62, 59, 63	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁))))
65		nncn 12343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
66	65	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
67	32	nn0cnd 12669	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℂ)
68	66, 67	npcand 11673	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁)) = 𝑁)
69	68	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁)) = 𝑁)
70	69	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁)) = 𝑁)
71	70	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS 𝑁))
72	49, 64, 71	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS 𝑁))
73	22, 30, 72	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))
74	16, 73	syl6 36	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁)))
75	9, 74	pm2.61i 184	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200   + caddc 11203   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ℝ⁺crp 13120  ...cfz 13639   mod cmo 14009  ♯chash 14474  Word cword 14658   ++ cconcat 14715   substr csubstr 14788   prefix cpfx 14820   repeatS creps 14919   cyclShift ccsh 14939

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-reps 14920  df-csh 14940

This theorem is used by:  cshwrepswhash1  17280