MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswcshw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswcshw 14764
Description: A cyclically shifted "repeated symbol word". (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
repswcshw ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Proof of Theorem repswcshw
StepHypRef Expression
1 0csh0 14745 . . . . 5 (∅ cyclShift 𝐼) = ∅
2 repsw0 14729 . . . . . 6 (𝑆𝑉 → (𝑆 repeatS 0) = ∅)
32oveq1d 7426 . . . . 5 (𝑆𝑉 → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (∅ cyclShift 𝐼))
41, 3, 23eqtr4a 2798 . . . 4 (𝑆𝑉 → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0))
543ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0))
6 oveq2 7419 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑆 repeatS 0))
76oveq1d 7426 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼))
87, 6eqeq12d 2748 . . 3 (𝑁 = 0 → (((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0)))
95, 8imbitrrid 245 . 2 (𝑁 = 0 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁)))
10 idd 24 . . . 4 𝑁 = 0 → (𝑆𝑉𝑆𝑉))
11 df-ne 2941 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
12 elnnne0 12488 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
1312simplbi2com 503 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ))
1411, 13sylbir 234 . . . 4 𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ))
15 idd 24 . . . 4 𝑁 = 0 → (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℤ))
1610, 14, 153anim123d 1443 . . 3 𝑁 = 0 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)))
17 nnnn0 12481 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
1817anim2i 617 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
19 repsw 14727 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
21 cshword 14743 . . . . 5 (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))))
2220, 21stoic3 1778 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))))
23 repswlen 14728 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
2418, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
2524oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (𝐼 mod 𝑁))
2625, 24opeq12d 4881 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩ = ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩)
2726oveq2d 7427 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) = ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩))
2825oveq2d 7427 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁)))
2927, 28oveq12d 7429 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))))
30293adant3 1132 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))))
31183adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
32 zmodcl 13858 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
3332ancoms 459 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
3417adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3533, 34jca 512 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
36353adant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
37 nnre 12221 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3837leidd 11782 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁𝑁)
39383ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁𝑁)
40 repswswrd 14736 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑁) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))))
4131, 36, 39, 40syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))))
42 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑆𝑉)
43173ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
44 zmodfzp1 13862 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁))
4544ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁))
46453adant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁))
47 repswpfx 14737 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁)) = (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁)))
4842, 43, 46, 47syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁)) = (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁)))
4941, 48oveq12d 7429 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))) = ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁))))
5032nn0red 12535 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
5150ancoms 459 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
5237adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
53 zre 12564 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
54 nnrp 12987 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
55 modlt 13847 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐼 mod 𝑁) < 𝑁)
5653, 54, 55syl2anr 597 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) < 𝑁)
5751, 52, 56ltled 11364 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁)
58573adant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁)
59333adant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
60 nn0sub 12524 . . . . . . . 8 (((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0))
6159, 43, 60syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0))
6258, 61mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0)
63 repswccat 14738 . . . . . 6 ((𝑆𝑉 ∧ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁))))
6442, 62, 59, 63syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁))))
65 nncn 12222 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
6665adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
6732nn0cnd 12536 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℂ)
6866, 67npcand 11577 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁)) = 𝑁)
6968ancoms 459 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁)) = 𝑁)
70693adant1 1130 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁)) = 𝑁)
7170oveq2d 7427 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS 𝑁))
7249, 64, 713eqtrd 2776 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS 𝑁))
7322, 30, 723eqtrd 2776 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))
7416, 73syl6 35 . 2 𝑁 = 0 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁)))
759, 74pm2.61i 182 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  c0 4322  cop 4634   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7411  cc 11110  cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   < clt 11250  cle 11251  cmin 11446  cn 12214  0cn0 12474  cz 12560  +crp 12976  ...cfz 13486   mod cmo 13836  chash 14292  Word cword 14466   ++ cconcat 14522   substr csubstr 14592   prefix cpfx 14622   repeatS creps 14720   cyclShift ccsh 14740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-reps 14721  df-csh 14741
This theorem is referenced by:  cshwrepswhash1  17038
  Copyright terms: Public domain W3C validator