Theorem repswcshw 14769

Description: A cyclically shifted "repeated symbol word". (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
repswcshw	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Proof of Theorem repswcshw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0csh0 14750	. . . . 5 ⊢ (∅ cyclShift 𝐼) = ∅
2		repsw0 14734	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 repeatS 0) = ∅)
3	2	oveq1d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (∅ cyclShift 𝐼))
4	1, 3, 2	3eqtr4a 2802	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0))
5	4	3ad2ant1 1140	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0))
6		oveq2 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑆 repeatS 0))
7	6	oveq1d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼))
8	7, 6	eqeq12d 2757	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0)))
9	5, 8	imbitrrid 248	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁)))
10		idd 24	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ 𝑉))
11		df-ne 2937	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
12		elnnne0 12446	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
13	12	simplbi2com 504	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ))
14	11, 13	sylbir 237	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ))
15		idd 24	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℤ))
16	10, 14, 15	3anim123d 1452	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)))
17		nnnn0 12439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	anim2i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
19		repsw 14732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
21		cshword 14748	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))))
22	20, 21	stoic3 1784	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))))
23		repswlen 14733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
25	24	oveq2d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (𝐼 mod 𝑁))
26	25, 24	opeq12d 4814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩ = ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩)
27	26	oveq2d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) = ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩))
28	25	oveq2d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁)))
29	27, 28	oveq12d 7377	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))))
30	29	3adant3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))))
31	18	3adant3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
32		zmodcl 13845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
33	32	ancoms 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
34	17	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35	33, 34	jca 517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
36	35	3adant1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
37		nnre 12176	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
38	37	leidd 11712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ 𝑁)
39	38	3ad2ant2 1141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ≤ 𝑁)
40		repswswrd 14741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑁) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))))
41	31, 36, 39, 40	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))))
42		simp1 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ 𝑉)
43	17	3ad2ant2 1141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
44		zmodfzp1 13849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁))
45	44	ancoms 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁))
46	45	3adant1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁))
47		repswpfx 14742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁)) = (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁)))
48	42, 43, 46, 47	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁)) = (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁)))
49	41, 48	oveq12d 7377	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))) = ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁))))
50	32	nn0red 12494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
51	50	ancoms 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
52	37	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
53		zre 12523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
54		nnrp 12949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
55		modlt 13834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐼 mod 𝑁) < 𝑁)
56	53, 54, 55	syl2anr 604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) < 𝑁)
57	51, 52, 56	ltled 11290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁)
58	57	3adant1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁)
59	33	3adant1 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
60		nn0sub 12482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0))
61	59, 43, 60	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0))
62	58, 61	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0)
63		repswccat 14743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁))))
64	42, 62, 59, 63	syl3anc 1380	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁))))
65		nncn 12177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
66	65	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
67	32	nn0cnd 12495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℂ)
68	66, 67	npcand 11505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁)) = 𝑁)
69	68	ancoms 460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁)) = 𝑁)
70	69	3adant1 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁)) = 𝑁)
71	70	oveq2d 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS 𝑁))
72	49, 64, 71	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix (𝐼 mod 𝑁))) = (𝑆 repeatS 𝑁))
73	22, 30, 72	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))
74	16, 73	syl6 35	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁)))
75	9, 74	pm2.61i 183	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∅c0 4263  ⟨cop 4563   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ℂcc 11032  ℝcr 11033  0cc0 11034   + caddc 11037   < clt 11175   ≤ cle 11176   − cmin 11373  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  ℝ⁺crp 12937  ...cfz 13456   mod cmo 13823  ♯chash 14287  Word cword 14470   ++ cconcat 14527   substr csubstr 14598   prefix cpfx 14628   repeatS creps 14725   cyclShift ccsh 14745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-hash 14288  df-word 14471  df-concat 14528  df-substr 14599  df-pfx 14629  df-reps 14726  df-csh 14746

This theorem is referenced by:  cshwrepswhash1  17068