Theorem 1egrvtxdg1r 27414

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 3: an edge from some other vertex to the given vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1egrvtxdg1.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1egrvtxdg1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1egrvtxdg1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1egrvtxdg1.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})

Assertion

Ref	Expression
1egrvtxdg1r	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 1)

Proof of Theorem 1egrvtxdg1r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1egrvtxdg1.v	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2		1egrvtxdg1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		1egrvtxdg1.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
4		1egrvtxdg1.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
5		1egrvtxdg1.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
6	5	necomd 3007	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
7		1egrvtxdg1.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
8		prcom 4629	. . . . . 6 ⊢ {𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐵}
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐵})
10	9	opeq2d 4774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩ = ⟨𝐴, {𝐶, 𝐵}⟩)
11	10	sneqd 4538	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {⟨𝐴, {𝐶, 𝐵}⟩})
12	7, 11	eqtrd 2794	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐶, 𝐵}⟩})
13	1, 2, 3, 4, 6, 12	1egrvtxdg1 27413	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  {csn 4526  {cpr 4528  ⟨cop 4532  ‘cfv 6341  1c1 10590  Vtxcvtx 26903  iEdgciedg 26904  VtxDegcvtxdg 27369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-oadd 8123  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-dju 9377  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-n0 11949  df-xnn0 12021  df-z 12035  df-uz 12297  df-xadd 12563  df-fz 12954  df-hash 13755  df-edg 26955  df-upgr 26989  df-umgr 26990  df-uspgr 27057  df-usgr 27058  df-vtxdg 27370

This theorem is referenced by: (None)