Theorem 1egrvtxdg1r 29713

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 3: an edge from some other vertex to the given vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1egrvtxdg1.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1egrvtxdg1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1egrvtxdg1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1egrvtxdg1.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})

Assertion

Ref	Expression
1egrvtxdg1r	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 1)

Proof of Theorem 1egrvtxdg1r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1egrvtxdg1.v	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2		1egrvtxdg1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		1egrvtxdg1.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
4		1egrvtxdg1.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
5		1egrvtxdg1.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
6	5	necomd 3014	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
7		1egrvtxdg1.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
8		prcom 4693	. . . . . 6 ⊢ {𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐵}
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐵})
10	9	opeq2d 4840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩ = ⟨𝐴, {𝐶, 𝐵}⟩)
11	10	sneqd 4596	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {⟨𝐴, {𝐶, 𝐵}⟩})
12	7, 11	eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐶, 𝐵}⟩})
13	1, 2, 3, 4, 6, 12	1egrvtxdg1 29712	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590  ‘cfv 6523  1c1 11076  Vtxcvtx 29199  iEdgciedg 29200  VtxDegcvtxdg 29668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-oadd 8443  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-uz 12842  df-xadd 13117  df-fz 13515  df-hash 14346  df-edg 29251  df-upgr 29285  df-umgr 29286  df-uspgr 29353  df-usgr 29354  df-vtxdg 29669

This theorem is referenced by: (None)