Theorem 1egrvtxdg1r 29311

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 3: an edge from some other vertex to the given vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1egrvtxdg1.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1egrvtxdg1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1egrvtxdg1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1egrvtxdg1.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})

Assertion

Ref	Expression
1egrvtxdg1r	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 1)

Proof of Theorem 1egrvtxdg1r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1egrvtxdg1.v	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2		1egrvtxdg1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		1egrvtxdg1.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
4		1egrvtxdg1.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
5		1egrvtxdg1.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
6	5	necomd 2991	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
7		1egrvtxdg1.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
8		prcom 4732	. . . . . 6 ⊢ {𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐵}
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐵})
10	9	opeq2d 4876	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩ = ⟨𝐴, {𝐶, 𝐵}⟩)
11	10	sneqd 4636	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {⟨𝐴, {𝐶, 𝐵}⟩})
12	7, 11	eqtrd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐶, 𝐵}⟩})
13	1, 2, 3, 4, 6, 12	1egrvtxdg1 29310	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  {csn 4624  {cpr 4626  ⟨cop 4630  ‘cfv 6542  1c1 11131  Vtxcvtx 28796  iEdgciedg 28797  VtxDegcvtxdg 29266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-xadd 13117  df-fz 13509  df-hash 14314  df-edg 28848  df-upgr 28882  df-umgr 28883  df-uspgr 28950  df-usgr 28951  df-vtxdg 29267

This theorem is referenced by: (None)