MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1egrvtxdg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1egrvtxdg0 28501
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1: an edge between two vertices other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1egrvtxdg1.v (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = 𝑉)
1egrvtxdg1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
1egrvtxdg1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.n (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
1egrvtxdg0.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg0.n (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐷)
1egrvtxdg0.i (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩})
Assertion
Ref Expression
1egrvtxdg0 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0)

Proof of Theorem 1egrvtxdg0
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1egrvtxdg1.v . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = 𝑉)
21adantl 483 . . . 4 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = 𝑉)
3 1egrvtxdg1.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
43adantl 483 . . . 4 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
5 1egrvtxdg1.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
65adantl 483 . . . 4 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
7 1egrvtxdg0.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩})
87adantl 483 . . . . 5 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩})
9 preq2 4696 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = 𝐡 β†’ {𝐡, 𝐷} = {𝐡, 𝐡})
109eqcoms 2741 . . . . . . . . 9 (𝐡 = 𝐷 β†’ {𝐡, 𝐷} = {𝐡, 𝐡})
11 dfsn2 4600 . . . . . . . . 9 {𝐡} = {𝐡, 𝐡}
1210, 11eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 (𝐡 = 𝐷 β†’ {𝐡, 𝐷} = {𝐡})
1312adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ {𝐡, 𝐷} = {𝐡})
1413opeq2d 4838 . . . . . 6 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ ⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩ = ⟨𝐴, {𝐡}⟩)
1514sneqd 4599 . . . . 5 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩} = {⟨𝐴, {𝐡}⟩})
168, 15eqtrd 2773 . . . 4 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡}⟩})
17 1egrvtxdg1.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
18 1egrvtxdg1.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
1918necomd 2996 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
2017, 19jca 513 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 β‰  𝐡))
21 eldifsn 4748 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (𝑉 βˆ– {𝐡}) ↔ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 β‰  𝐡))
2220, 21sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝑉 βˆ– {𝐡}))
2322adantl 483 . . . 4 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐢 ∈ (𝑉 βˆ– {𝐡}))
242, 4, 6, 16, 231loopgrvd0 28494 . . 3 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0)
2524ex 414 . 2 (𝐡 = 𝐷 β†’ (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0))
26 necom 2994 . . . . . . . . . 10 (𝐡 β‰  𝐢 ↔ 𝐢 β‰  𝐡)
27 df-ne 2941 . . . . . . . . . 10 (𝐢 β‰  𝐡 ↔ Β¬ 𝐢 = 𝐡)
2826, 27sylbb 218 . . . . . . . . 9 (𝐡 β‰  𝐢 β†’ Β¬ 𝐢 = 𝐡)
2918, 28syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 = 𝐡)
30 1egrvtxdg0.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐷)
3130neneqd 2945 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 = 𝐷)
3229, 31jca 513 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝐢 = 𝐡 ∧ Β¬ 𝐢 = 𝐷))
3332adantl 483 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (Β¬ 𝐢 = 𝐡 ∧ Β¬ 𝐢 = 𝐷))
34 ioran 983 . . . . . 6 (Β¬ (𝐢 = 𝐡 ∨ 𝐢 = 𝐷) ↔ (Β¬ 𝐢 = 𝐡 ∧ Β¬ 𝐢 = 𝐷))
3533, 34sylibr 233 . . . . 5 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ Β¬ (𝐢 = 𝐡 ∨ 𝐢 = 𝐷))
36 edgval 28042 . . . . . . . . 9 (Edgβ€˜πΊ) = ran (iEdgβ€˜πΊ)
377rneqd 5894 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran (iEdgβ€˜πΊ) = ran {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩})
38 rnsnopg 6174 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ran {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩} = {{𝐡, 𝐷}})
393, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩} = {{𝐡, 𝐷}})
4037, 39eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran (iEdgβ€˜πΊ) = {{𝐡, 𝐷}})
4136, 40eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Edgβ€˜πΊ) = {{𝐡, 𝐷}})
4241adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (Edgβ€˜πΊ) = {{𝐡, 𝐷}})
4342rexeqdv 3313 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ)𝐢 ∈ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ {{𝐡, 𝐷}}𝐢 ∈ 𝑒))
44 prex 5390 . . . . . . 7 {𝐡, 𝐷} ∈ V
45 eleq2 2823 . . . . . . . 8 (𝑒 = {𝐡, 𝐷} β†’ (𝐢 ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ {𝐡, 𝐷}))
4645rexsng 4636 . . . . . . 7 ({𝐡, 𝐷} ∈ V β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ {{𝐡, 𝐷}}𝐢 ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ {𝐡, 𝐷}))
4744, 46mp1i 13 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ {{𝐡, 𝐷}}𝐢 ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ {𝐡, 𝐷}))
48 elprg 4608 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ {𝐡, 𝐷} ↔ (𝐢 = 𝐡 ∨ 𝐢 = 𝐷)))
4917, 48syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ {𝐡, 𝐷} ↔ (𝐢 = 𝐡 ∨ 𝐢 = 𝐷)))
5049adantl 483 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (𝐢 ∈ {𝐡, 𝐷} ↔ (𝐢 = 𝐡 ∨ 𝐢 = 𝐷)))
5143, 47, 503bitrd 305 . . . . 5 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ)𝐢 ∈ 𝑒 ↔ (𝐢 = 𝐡 ∨ 𝐢 = 𝐷)))
5235, 51mtbird 325 . . . 4 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ)𝐢 ∈ 𝑒)
53 eqid 2733 . . . . . 6 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
543adantl 483 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
555, 1eleqtrrd 2837 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
5655adantl 483 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
57 1egrvtxdg0.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
5857, 1eleqtrrd 2837 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
5958adantl 483 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
607adantl 483 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩})
61 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐡 β‰  𝐷)
6253, 54, 56, 59, 60, 61usgr1e 28235 . . . . 5 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
6317, 1eleqtrrd 2837 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
6463adantl 483 . . . . 5 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
65 eqid 2733 . . . . . 6 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
66 eqid 2733 . . . . . 6 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
6753, 65, 66vtxdusgr0edgnel 28485 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ)𝐢 ∈ 𝑒))
6862, 64, 67syl2anc 585 . . . 4 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ)𝐢 ∈ 𝑒))
6952, 68mpbird 257 . . 3 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0)
7069ex 414 . 2 (𝐡 β‰  𝐷 β†’ (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0))
7125, 70pm2.61ine 3025 1 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908  {csn 4587  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  0cc0 11056  Vtxcvtx 27989  iEdgciedg 27990  Edgcedg 28040  USGraphcusgr 28142  VtxDegcvtxdg 28455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-xadd 13039  df-fz 13431  df-hash 14237  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-upgr 28075  df-uspgr 28143  df-usgr 28144  df-vtxdg 28456
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator