Theorem 1egrvtxdg0 29842

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1: an edge between two vertices other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1egrvtxdg1.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1egrvtxdg1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1egrvtxdg1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1egrvtxdg0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg0.n	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
1egrvtxdg0.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})

Assertion

Ref	Expression
1egrvtxdg0	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)

Proof of Theorem 1egrvtxdg0

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1egrvtxdg1.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2	1	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
3		1egrvtxdg1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
4	3	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		1egrvtxdg1.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	5	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐵 ∈ 𝑉)
7		1egrvtxdg0.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
8	7	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
9		preq2 4701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 = 𝐵 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵, 𝐵})
10	9	eqcoms 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵, 𝐵})
11		dfsn2 4603	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
12	10, 11	eqtr4di 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵})
13	12	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → {𝐵, 𝐷} = {𝐵})
14	13	opeq2d 4846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → ⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩ = ⟨𝐴, {𝐵}⟩)
15	14	sneqd 4602	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {⟨𝐴, {𝐵}⟩})
16	8, 15	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵}⟩})
17		1egrvtxdg1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
18		1egrvtxdg1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
19	18	necomd 3013	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
20	17, 19	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
21		eldifsn 4754	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
22	20, 21	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}))
23	22	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}))
24	2, 4, 6, 16, 23	1loopgrvd0 29835	. . 3 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)
25	24	ex 417	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0))
26		necom 3011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵)
27		df-ne 2959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐵 ↔ ¬ 𝐶 = 𝐵)
28	26, 27	sylbb 222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
29	18, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
30		1egrvtxdg0.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
31	30	neneqd 2963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐷)
32	29, 31	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
33	32	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
34		ioran 999	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
35	33, 34	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → ¬ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷))
36		edgval 29380	. . . . . . . . 9 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
37	7	rneqd 5930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
38		rnsnopg 6224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {{𝐵, 𝐷}})
39	3, 38	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {{𝐵, 𝐷}})
40	37, 39	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
41	36, 40	eqtrid 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
42	41	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
43	42	rexeqdv 3324	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶 ∈ 𝑒))
44		prex 5411	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐷} ∈ V
45		eleq2 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {𝐵, 𝐷} → (𝐶 ∈ 𝑒 ↔ 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
46	45	rexsng 4643	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐵, 𝐷} ∈ V → (∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶 ∈ 𝑒 ↔ 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
47	44, 46	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶 ∈ 𝑒 ↔ 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
48		elprg 4613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷)))
49	17, 48	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷)))
50	49	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷)))
51	43, 47, 50	3bitrd 308	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒 ↔ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷)))
52	35, 51	mtbird 328	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒)
53		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
54	3	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ 𝑋)
55	5, 1	eleqtrrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
56	55	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
57		1egrvtxdg0.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
58	57, 1	eleqtrrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
59	58	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
60	7	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
61		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐵 ≠ 𝐷)
62	53, 54, 56, 59, 60, 61	usgr1e 29576	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐺 ∈ USGraph)
63	17, 1	eleqtrrd 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
64	63	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
65		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
66		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
67	53, 65, 66	vtxdusgr0edgnel 29826	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒))
68	62, 64, 67	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒))
69	52, 68	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)
70	69	ex 417	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0))
71	25, 70	pm2.61ine 3041	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903  {csn 4590  {cpr 4592  ⟨cop 4596  ran crn 5664  ‘cfv 6538  0cc0 11101  Vtxcvtx 29327  iEdgciedg 29328  Edgcedg 29378  USGraphcusgr 29480  VtxDegcvtxdg 29796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-xadd 13139  df-fz 13537  df-hash 14369  df-edg 29379  df-uhgr 29389  df-upgr 29413  df-uspgr 29481  df-usgr 29482  df-vtxdg 29797

This theorem is referenced by: (None)