Theorem 1egrvtxdg0 27878

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1: an edge between two vertices other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1egrvtxdg1.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1egrvtxdg1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1egrvtxdg1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1egrvtxdg0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg0.n	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
1egrvtxdg0.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})

Assertion

Ref	Expression
1egrvtxdg0	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)

Proof of Theorem 1egrvtxdg0

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1egrvtxdg1.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2	1	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
3		1egrvtxdg1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
4	3	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		1egrvtxdg1.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	5	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐵 ∈ 𝑉)
7		1egrvtxdg0.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
8	7	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
9		preq2 4670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 = 𝐵 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵, 𝐵})
10	9	eqcoms 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵, 𝐵})
11		dfsn2 4574	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
12	10, 11	eqtr4di 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵})
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → {𝐵, 𝐷} = {𝐵})
14	13	opeq2d 4811	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → ⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩ = ⟨𝐴, {𝐵}⟩)
15	14	sneqd 4573	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {⟨𝐴, {𝐵}⟩})
16	8, 15	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵}⟩})
17		1egrvtxdg1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
18		1egrvtxdg1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
19	18	necomd 2999	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
20	17, 19	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
21		eldifsn 4720	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
22	20, 21	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}))
23	22	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}))
24	2, 4, 6, 16, 23	1loopgrvd0 27871	. . 3 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)
25	24	ex 413	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0))
26		necom 2997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵)
27		df-ne 2944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐵 ↔ ¬ 𝐶 = 𝐵)
28	26, 27	sylbb 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
29	18, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
30		1egrvtxdg0.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
31	30	neneqd 2948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐷)
32	29, 31	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
33	32	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
34		ioran 981	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
35	33, 34	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → ¬ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷))
36		edgval 27419	. . . . . . . . 9 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
37	7	rneqd 5847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
38		rnsnopg 6124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {{𝐵, 𝐷}})
39	3, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {{𝐵, 𝐷}})
40	37, 39	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
41	36, 40	eqtrid 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
42	41	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
43	42	rexeqdv 3349	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶 ∈ 𝑒))
44		prex 5355	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐷} ∈ V
45		eleq2 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {𝐵, 𝐷} → (𝐶 ∈ 𝑒 ↔ 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
46	45	rexsng 4610	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐵, 𝐷} ∈ V → (∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶 ∈ 𝑒 ↔ 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
47	44, 46	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶 ∈ 𝑒 ↔ 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
48		elprg 4582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷)))
49	17, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷)))
50	49	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷)))
51	43, 47, 50	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒 ↔ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷)))
52	35, 51	mtbird 325	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒)
53		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
54	3	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ 𝑋)
55	5, 1	eleqtrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
56	55	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
57		1egrvtxdg0.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
58	57, 1	eleqtrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
59	58	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
60	7	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
61		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐵 ≠ 𝐷)
62	53, 54, 56, 59, 60, 61	usgr1e 27612	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐺 ∈ USGraph)
63	17, 1	eleqtrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
64	63	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
65		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
66		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
67	53, 65, 66	vtxdusgr0edgnel 27862	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒))
68	62, 64, 67	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒))
69	52, 68	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)
70	69	ex 413	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0))
71	25, 70	pm2.61ine 3028	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884  {csn 4561  {cpr 4563  ⟨cop 4567  ran crn 5590  ‘cfv 6433  0cc0 10871  Vtxcvtx 27366  iEdgciedg 27367  Edgcedg 27417  USGraphcusgr 27519  VtxDegcvtxdg 27832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-xadd 12849  df-fz 13240  df-hash 14045  df-edg 27418  df-uhgr 27428  df-upgr 27452  df-uspgr 27520  df-usgr 27521  df-vtxdg 27833

This theorem is referenced by: (None)