MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1egrvtxdg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1egrvtxdg0 27292
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1: an edge between two vertices other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1egrvtxdg1.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1egrvtxdg1.a (𝜑𝐴𝑋)
1egrvtxdg1.b (𝜑𝐵𝑉)
1egrvtxdg1.c (𝜑𝐶𝑉)
1egrvtxdg1.n (𝜑𝐵𝐶)
1egrvtxdg0.d (𝜑𝐷𝑉)
1egrvtxdg0.n (𝜑𝐶𝐷)
1egrvtxdg0.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
Assertion
Ref Expression
1egrvtxdg0 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)

Proof of Theorem 1egrvtxdg0
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1egrvtxdg1.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
21adantl 484 . . . 4 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
3 1egrvtxdg1.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
43adantl 484 . . . 4 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → 𝐴𝑋)
5 1egrvtxdg1.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
65adantl 484 . . . 4 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → 𝐵𝑉)
7 1egrvtxdg0.i . . . . . 6 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
87adantl 484 . . . . 5 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
9 preq2 4669 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = 𝐵 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵, 𝐵})
109eqcoms 2829 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐷 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵, 𝐵})
11 dfsn2 4579 . . . . . . . . 9 {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
1210, 11syl6eqr 2874 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐷 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵})
1312adantr 483 . . . . . . 7 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → {𝐵, 𝐷} = {𝐵})
1413opeq2d 4809 . . . . . 6 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → ⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩ = ⟨𝐴, {𝐵}⟩)
1514sneqd 4578 . . . . 5 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {⟨𝐴, {𝐵}⟩})
168, 15eqtrd 2856 . . . 4 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵}⟩})
17 1egrvtxdg1.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑉)
18 1egrvtxdg1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐶)
1918necomd 3071 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐵)
2017, 19jca 514 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝑉𝐶𝐵))
21 eldifsn 4718 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐶𝑉𝐶𝐵))
2220, 21sylibr 236 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}))
2322adantl 484 . . . 4 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → 𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}))
242, 4, 6, 16, 231loopgrvd0 27285 . . 3 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)
2524ex 415 . 2 (𝐵 = 𝐷 → (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0))
26 necom 3069 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐶𝐶𝐵)
27 df-ne 3017 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐵 ↔ ¬ 𝐶 = 𝐵)
2826, 27sylbb 221 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐶 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
2918, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
30 1egrvtxdg0.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐷)
3130neneqd 3021 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐷)
3229, 31jca 514 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
3332adantl 484 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
34 ioran 980 . . . . . 6 (¬ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
3533, 34sylibr 236 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝜑) → ¬ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷))
36 edgval 26833 . . . . . . . . 9 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
377rneqd 5807 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
38 rnsnopg 6077 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {{𝐵, 𝐷}})
393, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {{𝐵, 𝐷}})
4037, 39eqtrd 2856 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
4136, 40syl5eq 2868 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
4241adantl 484 . . . . . . 7 ((𝐵𝐷𝜑) → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
4342rexeqdv 3416 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶𝑒))
44 prex 5332 . . . . . . 7 {𝐵, 𝐷} ∈ V
45 eleq2 2901 . . . . . . . 8 (𝑒 = {𝐵, 𝐷} → (𝐶𝑒𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
4645rexsng 4613 . . . . . . 7 ({𝐵, 𝐷} ∈ V → (∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶𝑒𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
4744, 46mp1i 13 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → (∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶𝑒𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
48 elprg 4587 . . . . . . . 8 (𝐶𝑉 → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷)))
4917, 48syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷)))
5049adantl 484 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷)))
5143, 47, 503bitrd 307 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝜑) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶𝑒 ↔ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷)))
5235, 51mtbird 327 . . . 4 ((𝐵𝐷𝜑) → ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶𝑒)
53 eqid 2821 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
543adantl 484 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → 𝐴𝑋)
555, 1eleqtrrd 2916 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
5655adantl 484 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
57 1egrvtxdg0.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝑉)
5857, 1eleqtrrd 2916 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
5958adantl 484 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
607adantl 484 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
61 simpl 485 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → 𝐵𝐷)
6253, 54, 56, 59, 60, 61usgr1e 27026 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝜑) → 𝐺 ∈ USGraph)
6317, 1eleqtrrd 2916 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
6463adantl 484 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝜑) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
65 eqid 2821 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
66 eqid 2821 . . . . . 6 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
6753, 65, 66vtxdusgr0edgnel 27276 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶𝑒))
6862, 64, 67syl2anc 586 . . . 4 ((𝐵𝐷𝜑) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶𝑒))
6952, 68mpbird 259 . . 3 ((𝐵𝐷𝜑) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)
7069ex 415 . 2 (𝐵𝐷 → (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0))
7125, 70pm2.61ine 3100 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  wrex 3139  Vcvv 3494  cdif 3932  {csn 4566  {cpr 4568  cop 4572  ran crn 5555  cfv 6354  0cc0 10536  Vtxcvtx 26780  iEdgciedg 26781  Edgcedg 26831  USGraphcusgr 26933  VtxDegcvtxdg 27246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-uz 12243  df-xadd 12507  df-fz 12892  df-hash 13690  df-edg 26832  df-uhgr 26842  df-upgr 26866  df-uspgr 26934  df-usgr 26935  df-vtxdg 27247
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator