MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1egrvtxdg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1egrvtxdg0 29544
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1: an edge between two vertices other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1egrvtxdg1.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1egrvtxdg1.a (𝜑𝐴𝑋)
1egrvtxdg1.b (𝜑𝐵𝑉)
1egrvtxdg1.c (𝜑𝐶𝑉)
1egrvtxdg1.n (𝜑𝐵𝐶)
1egrvtxdg0.d (𝜑𝐷𝑉)
1egrvtxdg0.n (𝜑𝐶𝐷)
1egrvtxdg0.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
Assertion
Ref Expression
1egrvtxdg0 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)

Proof of Theorem 1egrvtxdg0
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1egrvtxdg1.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
21adantl 481 . . . 4 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
3 1egrvtxdg1.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
43adantl 481 . . . 4 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → 𝐴𝑋)
5 1egrvtxdg1.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
65adantl 481 . . . 4 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → 𝐵𝑉)
7 1egrvtxdg0.i . . . . . 6 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
87adantl 481 . . . . 5 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
9 preq2 4739 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = 𝐵 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵, 𝐵})
109eqcoms 2743 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐷 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵, 𝐵})
11 dfsn2 4644 . . . . . . . . 9 {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
1210, 11eqtr4di 2793 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐷 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵})
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → {𝐵, 𝐷} = {𝐵})
1413opeq2d 4885 . . . . . 6 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → ⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩ = ⟨𝐴, {𝐵}⟩)
1514sneqd 4643 . . . . 5 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {⟨𝐴, {𝐵}⟩})
168, 15eqtrd 2775 . . . 4 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵}⟩})
17 1egrvtxdg1.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑉)
18 1egrvtxdg1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐶)
1918necomd 2994 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐵)
2017, 19jca 511 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝑉𝐶𝐵))
21 eldifsn 4791 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐶𝑉𝐶𝐵))
2220, 21sylibr 234 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}))
2322adantl 481 . . . 4 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → 𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}))
242, 4, 6, 16, 231loopgrvd0 29537 . . 3 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)
2524ex 412 . 2 (𝐵 = 𝐷 → (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0))
26 necom 2992 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐶𝐶𝐵)
27 df-ne 2939 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐵 ↔ ¬ 𝐶 = 𝐵)
2826, 27sylbb 219 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐶 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
2918, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
30 1egrvtxdg0.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐷)
3130neneqd 2943 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐷)
3229, 31jca 511 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
3332adantl 481 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
34 ioran 985 . . . . . 6 (¬ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
3533, 34sylibr 234 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝜑) → ¬ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷))
36 edgval 29081 . . . . . . . . 9 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
377rneqd 5952 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
38 rnsnopg 6243 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {{𝐵, 𝐷}})
393, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {{𝐵, 𝐷}})
4037, 39eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
4136, 40eqtrid 2787 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
4241adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐵𝐷𝜑) → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
4342rexeqdv 3325 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶𝑒))
44 prex 5443 . . . . . . 7 {𝐵, 𝐷} ∈ V
45 eleq2 2828 . . . . . . . 8 (𝑒 = {𝐵, 𝐷} → (𝐶𝑒𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
4645rexsng 4681 . . . . . . 7 ({𝐵, 𝐷} ∈ V → (∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶𝑒𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
4744, 46mp1i 13 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → (∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶𝑒𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
48 elprg 4653 . . . . . . . 8 (𝐶𝑉 → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷)))
4917, 48syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷)))
5049adantl 481 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷)))
5143, 47, 503bitrd 305 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝜑) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶𝑒 ↔ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷)))
5235, 51mtbird 325 . . . 4 ((𝐵𝐷𝜑) → ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶𝑒)
53 eqid 2735 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
543adantl 481 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → 𝐴𝑋)
555, 1eleqtrrd 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
5655adantl 481 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
57 1egrvtxdg0.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝑉)
5857, 1eleqtrrd 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
5958adantl 481 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
607adantl 481 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
61 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → 𝐵𝐷)
6253, 54, 56, 59, 60, 61usgr1e 29277 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝜑) → 𝐺 ∈ USGraph)
6317, 1eleqtrrd 2842 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
6463adantl 481 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝜑) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
65 eqid 2735 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
66 eqid 2735 . . . . . 6 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
6753, 65, 66vtxdusgr0edgnel 29528 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶𝑒))
6862, 64, 67syl2anc 584 . . . 4 ((𝐵𝐷𝜑) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶𝑒))
6952, 68mpbird 257 . . 3 ((𝐵𝐷𝜑) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)
7069ex 412 . 2 (𝐵𝐷 → (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0))
7125, 70pm2.61ine 3023 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  cdif 3960  {csn 4631  {cpr 4633  cop 4637  ran crn 5690  cfv 6563  0cc0 11153  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Edgcedg 29079  USGraphcusgr 29181  VtxDegcvtxdg 29498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-xadd 13153  df-fz 13545  df-hash 14367  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-upgr 29114  df-uspgr 29182  df-usgr 29183  df-vtxdg 29499
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator