MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1egrvtxdg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1egrvtxdg0 29369
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1: an edge between two vertices other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1egrvtxdg1.v (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = 𝑉)
1egrvtxdg1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
1egrvtxdg1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.n (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
1egrvtxdg0.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg0.n (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐷)
1egrvtxdg0.i (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩})
Assertion
Ref Expression
1egrvtxdg0 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0)

Proof of Theorem 1egrvtxdg0
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1egrvtxdg1.v . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = 𝑉)
21adantl 480 . . . 4 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = 𝑉)
3 1egrvtxdg1.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
43adantl 480 . . . 4 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
5 1egrvtxdg1.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
65adantl 480 . . . 4 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
7 1egrvtxdg0.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩})
87adantl 480 . . . . 5 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩})
9 preq2 4734 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = 𝐡 β†’ {𝐡, 𝐷} = {𝐡, 𝐡})
109eqcoms 2733 . . . . . . . . 9 (𝐡 = 𝐷 β†’ {𝐡, 𝐷} = {𝐡, 𝐡})
11 dfsn2 4637 . . . . . . . . 9 {𝐡} = {𝐡, 𝐡}
1210, 11eqtr4di 2783 . . . . . . . 8 (𝐡 = 𝐷 β†’ {𝐡, 𝐷} = {𝐡})
1312adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ {𝐡, 𝐷} = {𝐡})
1413opeq2d 4876 . . . . . 6 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ ⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩ = ⟨𝐴, {𝐡}⟩)
1514sneqd 4636 . . . . 5 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩} = {⟨𝐴, {𝐡}⟩})
168, 15eqtrd 2765 . . . 4 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡}⟩})
17 1egrvtxdg1.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
18 1egrvtxdg1.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
1918necomd 2986 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
2017, 19jca 510 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 β‰  𝐡))
21 eldifsn 4786 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (𝑉 βˆ– {𝐡}) ↔ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 β‰  𝐡))
2220, 21sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝑉 βˆ– {𝐡}))
2322adantl 480 . . . 4 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐢 ∈ (𝑉 βˆ– {𝐡}))
242, 4, 6, 16, 231loopgrvd0 29362 . . 3 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0)
2524ex 411 . 2 (𝐡 = 𝐷 β†’ (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0))
26 necom 2984 . . . . . . . . . 10 (𝐡 β‰  𝐢 ↔ 𝐢 β‰  𝐡)
27 df-ne 2931 . . . . . . . . . 10 (𝐢 β‰  𝐡 ↔ Β¬ 𝐢 = 𝐡)
2826, 27sylbb 218 . . . . . . . . 9 (𝐡 β‰  𝐢 β†’ Β¬ 𝐢 = 𝐡)
2918, 28syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 = 𝐡)
30 1egrvtxdg0.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐷)
3130neneqd 2935 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 = 𝐷)
3229, 31jca 510 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝐢 = 𝐡 ∧ Β¬ 𝐢 = 𝐷))
3332adantl 480 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (Β¬ 𝐢 = 𝐡 ∧ Β¬ 𝐢 = 𝐷))
34 ioran 981 . . . . . 6 (Β¬ (𝐢 = 𝐡 ∨ 𝐢 = 𝐷) ↔ (Β¬ 𝐢 = 𝐡 ∧ Β¬ 𝐢 = 𝐷))
3533, 34sylibr 233 . . . . 5 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ Β¬ (𝐢 = 𝐡 ∨ 𝐢 = 𝐷))
36 edgval 28906 . . . . . . . . 9 (Edgβ€˜πΊ) = ran (iEdgβ€˜πΊ)
377rneqd 5934 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran (iEdgβ€˜πΊ) = ran {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩})
38 rnsnopg 6220 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ran {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩} = {{𝐡, 𝐷}})
393, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩} = {{𝐡, 𝐷}})
4037, 39eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran (iEdgβ€˜πΊ) = {{𝐡, 𝐷}})
4136, 40eqtrid 2777 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Edgβ€˜πΊ) = {{𝐡, 𝐷}})
4241adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (Edgβ€˜πΊ) = {{𝐡, 𝐷}})
4342rexeqdv 3316 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ)𝐢 ∈ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ {{𝐡, 𝐷}}𝐢 ∈ 𝑒))
44 prex 5428 . . . . . . 7 {𝐡, 𝐷} ∈ V
45 eleq2 2814 . . . . . . . 8 (𝑒 = {𝐡, 𝐷} β†’ (𝐢 ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ {𝐡, 𝐷}))
4645rexsng 4674 . . . . . . 7 ({𝐡, 𝐷} ∈ V β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ {{𝐡, 𝐷}}𝐢 ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ {𝐡, 𝐷}))
4744, 46mp1i 13 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ {{𝐡, 𝐷}}𝐢 ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ {𝐡, 𝐷}))
48 elprg 4646 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ {𝐡, 𝐷} ↔ (𝐢 = 𝐡 ∨ 𝐢 = 𝐷)))
4917, 48syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ {𝐡, 𝐷} ↔ (𝐢 = 𝐡 ∨ 𝐢 = 𝐷)))
5049adantl 480 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (𝐢 ∈ {𝐡, 𝐷} ↔ (𝐢 = 𝐡 ∨ 𝐢 = 𝐷)))
5143, 47, 503bitrd 304 . . . . 5 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ)𝐢 ∈ 𝑒 ↔ (𝐢 = 𝐡 ∨ 𝐢 = 𝐷)))
5235, 51mtbird 324 . . . 4 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ)𝐢 ∈ 𝑒)
53 eqid 2725 . . . . . 6 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
543adantl 480 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
555, 1eleqtrrd 2828 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
5655adantl 480 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
57 1egrvtxdg0.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
5857, 1eleqtrrd 2828 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
5958adantl 480 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
607adantl 480 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩})
61 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐡 β‰  𝐷)
6253, 54, 56, 59, 60, 61usgr1e 29102 . . . . 5 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
6317, 1eleqtrrd 2828 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
6463adantl 480 . . . . 5 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
65 eqid 2725 . . . . . 6 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
66 eqid 2725 . . . . . 6 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
6753, 65, 66vtxdusgr0edgnel 29353 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ)𝐢 ∈ 𝑒))
6862, 64, 67syl2anc 582 . . . 4 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ)𝐢 ∈ 𝑒))
6952, 68mpbird 256 . . 3 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0)
7069ex 411 . 2 (𝐡 β‰  𝐷 β†’ (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0))
7125, 70pm2.61ine 3015 1 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3936  {csn 4624  {cpr 4626  βŸ¨cop 4630  ran crn 5673  β€˜cfv 6543  0cc0 11138  Vtxcvtx 28853  iEdgciedg 28854  Edgcedg 28904  USGraphcusgr 29006  VtxDegcvtxdg 29323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-xadd 13125  df-fz 13517  df-hash 14322  df-edg 28905  df-uhgr 28915  df-upgr 28939  df-uspgr 29007  df-usgr 29008  df-vtxdg 29324
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator