Theorem 1egrvtxdg0 29580

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1: an edge between two vertices other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1egrvtxdg1.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1egrvtxdg1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1egrvtxdg1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1egrvtxdg0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg0.n	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
1egrvtxdg0.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})

Assertion

Ref	Expression
1egrvtxdg0	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)

Proof of Theorem 1egrvtxdg0

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1egrvtxdg1.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
3		1egrvtxdg1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		1egrvtxdg1.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐵 ∈ 𝑉)
7		1egrvtxdg0.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
9		preq2 4678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 = 𝐵 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵, 𝐵})
10	9	eqcoms 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵, 𝐵})
11		dfsn2 4580	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
12	10, 11	eqtr4di 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵})
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → {𝐵, 𝐷} = {𝐵})
14	13	opeq2d 4823	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → ⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩ = ⟨𝐴, {𝐵}⟩)
15	14	sneqd 4579	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {⟨𝐴, {𝐵}⟩})
16	8, 15	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵}⟩})
17		1egrvtxdg1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
18		1egrvtxdg1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
19	18	necomd 2987	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
20	17, 19	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
21		eldifsn 4731	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
22	20, 21	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}))
23	22	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}))
24	2, 4, 6, 16, 23	1loopgrvd0 29573	. . 3 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)
25	24	ex 412	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0))
26		necom 2985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵)
27		df-ne 2933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐵 ↔ ¬ 𝐶 = 𝐵)
28	26, 27	sylbb 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
29	18, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
30		1egrvtxdg0.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
31	30	neneqd 2937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐷)
32	29, 31	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
34		ioran 986	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
35	33, 34	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → ¬ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷))
36		edgval 29118	. . . . . . . . 9 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
37	7	rneqd 5893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
38		rnsnopg 6185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {{𝐵, 𝐷}})
39	3, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {{𝐵, 𝐷}})
40	37, 39	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
41	36, 40	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
42	41	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
43	42	rexeqdv 3296	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶 ∈ 𝑒))
44		prex 5380	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐷} ∈ V
45		eleq2 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {𝐵, 𝐷} → (𝐶 ∈ 𝑒 ↔ 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
46	45	rexsng 4620	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐵, 𝐷} ∈ V → (∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶 ∈ 𝑒 ↔ 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
47	44, 46	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶 ∈ 𝑒 ↔ 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
48		elprg 4590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷)))
49	17, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷)))
50	49	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷)))
51	43, 47, 50	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒 ↔ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷)))
52	35, 51	mtbird 325	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒)
53		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
54	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ 𝑋)
55	5, 1	eleqtrrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
56	55	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
57		1egrvtxdg0.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
58	57, 1	eleqtrrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
59	58	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
60	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
61		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐵 ≠ 𝐷)
62	53, 54, 56, 59, 60, 61	usgr1e 29314	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐺 ∈ USGraph)
63	17, 1	eleqtrrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
64	63	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
65		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
66		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
67	53, 65, 66	vtxdusgr0edgnel 29564	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒))
68	62, 64, 67	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒))
69	52, 68	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)
70	69	ex 412	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0))
71	25, 70	pm2.61ine 3015	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886  {csn 4567  {cpr 4569  ⟨cop 4573  ran crn 5632  ‘cfv 6498  0cc0 11038  Vtxcvtx 29065  iEdgciedg 29066  Edgcedg 29116  USGraphcusgr 29218  VtxDegcvtxdg 29534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-xadd 13064  df-fz 13462  df-hash 14293  df-edg 29117  df-uhgr 29127  df-upgr 29151  df-uspgr 29219  df-usgr 29220  df-vtxdg 29535

This theorem is referenced by: (None)