Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1egrvtxdg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1egrvtxdg0 26863
 Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1: an edge between two vertices other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1egrvtxdg1.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1egrvtxdg1.a (𝜑𝐴𝑋)
1egrvtxdg1.b (𝜑𝐵𝑉)
1egrvtxdg1.c (𝜑𝐶𝑉)
1egrvtxdg1.n (𝜑𝐵𝐶)
1egrvtxdg0.d (𝜑𝐷𝑉)
1egrvtxdg0.n (𝜑𝐶𝐷)
1egrvtxdg0.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
Assertion
Ref Expression
1egrvtxdg0 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)

Proof of Theorem 1egrvtxdg0
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1egrvtxdg1.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
21adantl 475 . . . 4 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
3 1egrvtxdg1.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
43adantl 475 . . . 4 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → 𝐴𝑋)
5 1egrvtxdg1.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
65adantl 475 . . . 4 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → 𝐵𝑉)
7 1egrvtxdg0.i . . . . . 6 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
87adantl 475 . . . . 5 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
9 preq2 4501 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = 𝐵 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵, 𝐵})
109eqcoms 2786 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐷 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵, 𝐵})
11 dfsn2 4411 . . . . . . . . 9 {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
1210, 11syl6eqr 2832 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐷 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵})
1312adantr 474 . . . . . . 7 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → {𝐵, 𝐷} = {𝐵})
1413opeq2d 4645 . . . . . 6 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → ⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩ = ⟨𝐴, {𝐵}⟩)
1514sneqd 4410 . . . . 5 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {⟨𝐴, {𝐵}⟩})
168, 15eqtrd 2814 . . . 4 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵}⟩})
17 1egrvtxdg1.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑉)
18 1egrvtxdg1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐶)
1918necomd 3024 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐵)
2017, 19jca 507 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝑉𝐶𝐵))
21 eldifsn 4550 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐶𝑉𝐶𝐵))
2220, 21sylibr 226 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}))
2322adantl 475 . . . 4 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → 𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}))
242, 4, 6, 16, 231loopgrvd0 26856 . . 3 ((𝐵 = 𝐷𝜑) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)
2524ex 403 . 2 (𝐵 = 𝐷 → (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0))
26 necom 3022 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐶𝐶𝐵)
27 df-ne 2970 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐵 ↔ ¬ 𝐶 = 𝐵)
2826, 27sylbb 211 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐶 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
2918, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
30 1egrvtxdg0.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐷)
3130neneqd 2974 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐷)
3229, 31jca 507 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
3332adantl 475 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
34 ioran 969 . . . . . 6 (¬ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
3533, 34sylibr 226 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝜑) → ¬ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷))
36 edgval 26401 . . . . . . . . 9 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
377rneqd 5600 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
38 rnsnopg 5870 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {{𝐵, 𝐷}})
393, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {{𝐵, 𝐷}})
4037, 39eqtrd 2814 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
4136, 40syl5eq 2826 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
4241adantl 475 . . . . . . 7 ((𝐵𝐷𝜑) → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
4342rexeqdv 3341 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶𝑒))
44 prex 5143 . . . . . . 7 {𝐵, 𝐷} ∈ V
45 eleq2 2848 . . . . . . . 8 (𝑒 = {𝐵, 𝐷} → (𝐶𝑒𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
4645rexsng 4445 . . . . . . 7 ({𝐵, 𝐷} ∈ V → (∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶𝑒𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
4744, 46mp1i 13 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → (∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶𝑒𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
48 elprg 4419 . . . . . . . 8 (𝐶𝑉 → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷)))
4917, 48syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷)))
5049adantl 475 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷)))
5143, 47, 503bitrd 297 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝜑) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶𝑒 ↔ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐷)))
5235, 51mtbird 317 . . . 4 ((𝐵𝐷𝜑) → ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶𝑒)
53 eqid 2778 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
543adantl 475 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → 𝐴𝑋)
555, 1eleqtrrd 2862 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
5655adantl 475 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
57 1egrvtxdg0.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝑉)
5857, 1eleqtrrd 2862 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
5958adantl 475 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
607adantl 475 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
61 simpl 476 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝜑) → 𝐵𝐷)
6253, 54, 56, 59, 60, 61usgr1e 26596 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝜑) → 𝐺 ∈ USGraph)
6317, 1eleqtrrd 2862 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
6463adantl 475 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝜑) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
65 eqid 2778 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
66 eqid 2778 . . . . . 6 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
6753, 65, 66vtxdusgr0edgnel 26847 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶𝑒))
6862, 64, 67syl2anc 579 . . . 4 ((𝐵𝐷𝜑) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶𝑒))
6952, 68mpbird 249 . . 3 ((𝐵𝐷𝜑) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)
7069ex 403 . 2 (𝐵𝐷 → (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0))
7125, 70pm2.61ine 3053 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 836   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∃wrex 3091  Vcvv 3398   ∖ cdif 3789  {csn 4398  {cpr 4400  ⟨cop 4404  ran crn 5358  ‘cfv 6137  0cc0 10274  Vtxcvtx 26348  iEdgciedg 26349  Edgcedg 26399  USGraphcusgr 26502  VtxDegcvtxdg 26817 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-n0 11647  df-xnn0 11719  df-z 11733  df-uz 11997  df-xadd 12262  df-fz 12648  df-hash 13440  df-edg 26400  df-uhgr 26410  df-upgr 26434  df-uspgr 26503  df-usgr 26504  df-vtxdg 26818 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator