MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1egrvtxdg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1egrvtxdg0 29277
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1: an edge between two vertices other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1egrvtxdg1.v (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = 𝑉)
1egrvtxdg1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
1egrvtxdg1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.n (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
1egrvtxdg0.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg0.n (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐷)
1egrvtxdg0.i (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩})
Assertion
Ref Expression
1egrvtxdg0 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0)

Proof of Theorem 1egrvtxdg0
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1egrvtxdg1.v . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = 𝑉)
21adantl 481 . . . 4 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = 𝑉)
3 1egrvtxdg1.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
43adantl 481 . . . 4 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
5 1egrvtxdg1.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
65adantl 481 . . . 4 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
7 1egrvtxdg0.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩})
87adantl 481 . . . . 5 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩})
9 preq2 4733 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = 𝐡 β†’ {𝐡, 𝐷} = {𝐡, 𝐡})
109eqcoms 2734 . . . . . . . . 9 (𝐡 = 𝐷 β†’ {𝐡, 𝐷} = {𝐡, 𝐡})
11 dfsn2 4636 . . . . . . . . 9 {𝐡} = {𝐡, 𝐡}
1210, 11eqtr4di 2784 . . . . . . . 8 (𝐡 = 𝐷 β†’ {𝐡, 𝐷} = {𝐡})
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ {𝐡, 𝐷} = {𝐡})
1413opeq2d 4875 . . . . . 6 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ ⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩ = ⟨𝐴, {𝐡}⟩)
1514sneqd 4635 . . . . 5 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩} = {⟨𝐴, {𝐡}⟩})
168, 15eqtrd 2766 . . . 4 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡}⟩})
17 1egrvtxdg1.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
18 1egrvtxdg1.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
1918necomd 2990 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
2017, 19jca 511 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 β‰  𝐡))
21 eldifsn 4785 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (𝑉 βˆ– {𝐡}) ↔ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 β‰  𝐡))
2220, 21sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝑉 βˆ– {𝐡}))
2322adantl 481 . . . 4 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐢 ∈ (𝑉 βˆ– {𝐡}))
242, 4, 6, 16, 231loopgrvd0 29270 . . 3 ((𝐡 = 𝐷 ∧ πœ‘) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0)
2524ex 412 . 2 (𝐡 = 𝐷 β†’ (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0))
26 necom 2988 . . . . . . . . . 10 (𝐡 β‰  𝐢 ↔ 𝐢 β‰  𝐡)
27 df-ne 2935 . . . . . . . . . 10 (𝐢 β‰  𝐡 ↔ Β¬ 𝐢 = 𝐡)
2826, 27sylbb 218 . . . . . . . . 9 (𝐡 β‰  𝐢 β†’ Β¬ 𝐢 = 𝐡)
2918, 28syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 = 𝐡)
30 1egrvtxdg0.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐷)
3130neneqd 2939 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 = 𝐷)
3229, 31jca 511 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝐢 = 𝐡 ∧ Β¬ 𝐢 = 𝐷))
3332adantl 481 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (Β¬ 𝐢 = 𝐡 ∧ Β¬ 𝐢 = 𝐷))
34 ioran 980 . . . . . 6 (Β¬ (𝐢 = 𝐡 ∨ 𝐢 = 𝐷) ↔ (Β¬ 𝐢 = 𝐡 ∧ Β¬ 𝐢 = 𝐷))
3533, 34sylibr 233 . . . . 5 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ Β¬ (𝐢 = 𝐡 ∨ 𝐢 = 𝐷))
36 edgval 28817 . . . . . . . . 9 (Edgβ€˜πΊ) = ran (iEdgβ€˜πΊ)
377rneqd 5931 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran (iEdgβ€˜πΊ) = ran {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩})
38 rnsnopg 6214 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ran {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩} = {{𝐡, 𝐷}})
393, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩} = {{𝐡, 𝐷}})
4037, 39eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran (iEdgβ€˜πΊ) = {{𝐡, 𝐷}})
4136, 40eqtrid 2778 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Edgβ€˜πΊ) = {{𝐡, 𝐷}})
4241adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (Edgβ€˜πΊ) = {{𝐡, 𝐷}})
4342rexeqdv 3320 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ)𝐢 ∈ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ {{𝐡, 𝐷}}𝐢 ∈ 𝑒))
44 prex 5425 . . . . . . 7 {𝐡, 𝐷} ∈ V
45 eleq2 2816 . . . . . . . 8 (𝑒 = {𝐡, 𝐷} β†’ (𝐢 ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ {𝐡, 𝐷}))
4645rexsng 4673 . . . . . . 7 ({𝐡, 𝐷} ∈ V β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ {{𝐡, 𝐷}}𝐢 ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ {𝐡, 𝐷}))
4744, 46mp1i 13 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ {{𝐡, 𝐷}}𝐢 ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ {𝐡, 𝐷}))
48 elprg 4644 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ {𝐡, 𝐷} ↔ (𝐢 = 𝐡 ∨ 𝐢 = 𝐷)))
4917, 48syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ {𝐡, 𝐷} ↔ (𝐢 = 𝐡 ∨ 𝐢 = 𝐷)))
5049adantl 481 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (𝐢 ∈ {𝐡, 𝐷} ↔ (𝐢 = 𝐡 ∨ 𝐢 = 𝐷)))
5143, 47, 503bitrd 305 . . . . 5 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ)𝐢 ∈ 𝑒 ↔ (𝐢 = 𝐡 ∨ 𝐢 = 𝐷)))
5235, 51mtbird 325 . . . 4 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ)𝐢 ∈ 𝑒)
53 eqid 2726 . . . . . 6 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
543adantl 481 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
555, 1eleqtrrd 2830 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
5655adantl 481 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
57 1egrvtxdg0.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
5857, 1eleqtrrd 2830 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
5958adantl 481 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
607adantl 481 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐷}⟩})
61 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐡 β‰  𝐷)
6253, 54, 56, 59, 60, 61usgr1e 29010 . . . . 5 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
6317, 1eleqtrrd 2830 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
6463adantl 481 . . . . 5 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ 𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
65 eqid 2726 . . . . . 6 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
66 eqid 2726 . . . . . 6 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
6753, 65, 66vtxdusgr0edgnel 29261 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ)𝐢 ∈ 𝑒))
6862, 64, 67syl2anc 583 . . . 4 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ)𝐢 ∈ 𝑒))
6952, 68mpbird 257 . . 3 ((𝐡 β‰  𝐷 ∧ πœ‘) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0)
7069ex 412 . 2 (𝐡 β‰  𝐷 β†’ (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0))
7125, 70pm2.61ine 3019 1 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940  {csn 4623  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629  ran crn 5670  β€˜cfv 6537  0cc0 11112  Vtxcvtx 28764  iEdgciedg 28765  Edgcedg 28815  USGraphcusgr 28917  VtxDegcvtxdg 29231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-xadd 13099  df-fz 13491  df-hash 14296  df-edg 28816  df-uhgr 28826  df-upgr 28850  df-uspgr 28918  df-usgr 28919  df-vtxdg 29232
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator