Theorem 1ewlk 30588

Description: A sequence of 1 edge is an s-walk of edges for all s. (Contributed by AV, 5-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1ewlk	⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → ⟨“𝐼”⟩ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆))

Proof of Theorem 1ewlk

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cl 14672	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺) → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
2	1	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
3		ral0 4454	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘𝑘))))
4		s1len 14676	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐼”⟩) = 1
5	4	oveq2i 7425	. . . . . . 7 ⊢ (1..^(♯‘⟨“𝐼”⟩)) = (1..^1)
6		fzo0 13742	. . . . . . 7 ⊢ (1..^1) = ∅
7	5, 6	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (1..^(♯‘⟨“𝐼”⟩)) = ∅
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺) → (1..^(♯‘⟨“𝐼”⟩)) = ∅)
9	8	raleqdv 3319	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐼”⟩))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘𝑘)))) ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘𝑘))))))
10	3, 9	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐼”⟩))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘𝑘)))))
11	10	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐼”⟩))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘𝑘)))))
12		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
13	12	isewlk 30065	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ ⟨“𝐼”⟩ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (⟨“𝐼”⟩ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (⟨“𝐼”⟩ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐼”⟩))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘𝑘)))))))
14	1, 13	syl3an3 1183	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → (⟨“𝐼”⟩ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (⟨“𝐼”⟩ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐼”⟩))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(⟨“𝐼”⟩‘𝑘)))))))
15	2, 11, 14	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐼 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → ⟨“𝐼”⟩ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∩ cin 3898  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  1c1 11128   ≤ cle 11271   − cmin 11468  ℕ₀^*cxnn0 12604  ..^cfzo 13712  ♯chash 14397  Word cword 14581  ⟨“cs1 14665  iEdgciedg 29457   EdgWalks cewlks 30058

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-s1 14666  df-ewlks 30061

This theorem is used by: (None)