Theorem isewlk 27378

Description: Conditions for a function (sequence of hyperedges) to be an s-walk of edges. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ewlksfval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isewlk	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑆,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem isewlk

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ewlksfval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	ewlksfval 27377	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (𝐺 EdgWalks 𝑆) = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))})
3	2	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐺 EdgWalks 𝑆) = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))})
4	3	eleq2d 2898	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))}))
5		eleq1 2900	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ↔ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼))
6		fveq2 6664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
7	6	oveq2d 7166	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (1..^(♯‘𝑓)) = (1..^(♯‘𝐹)))
8		fveq1 6663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝑘 − 1)) = (𝐹‘(𝑘 − 1)))
9	8	fveq2d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
10		fveq1 6663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
11	10	fveq2d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
12	9, 11	ineq12d 4189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘))) = ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
13	12	fveq2d 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))) = (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
14	13	breq2d 5070	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))) ↔ 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
15	7, 14	raleqbidv 3401	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))) ↔ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
16	5, 15	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘))))) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))
17	16	elabg 3665	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑈 → (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))} ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))
18	17	3ad2ant3 1131	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))} ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))
19	4, 18	bitrd 281	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {cab 2799  ∀wral 3138   ∩ cin 3934   class class class wbr 5058  dom cdm 5549  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  1c1 10532   ≤ cle 10670   − cmin 10864  ℕ₀^*cxnn0 11961  ..^cfzo 13027  ♯chash 13684  Word cword 13855  iEdgciedg 26776   EdgWalks cewlks 27371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-hash 13685  df-word 13856  df-ewlks 27374

This theorem is referenced by:  ewlkprop  27379  ewlkle  27381  wlk1ewlk  27415  0ewlk  27887  1ewlk  27888