Theorem isewlk 29409

Description: Conditions for a function (sequence of hyperedges) to be an s-walk of edges. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ewlksfval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isewlk	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑆,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem isewlk

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ewlksfval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	ewlksfval 29408	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (𝐺 EdgWalks 𝑆) = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))})
3	2	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐺 EdgWalks 𝑆) = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))})
4	3	eleq2d 2814	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))}))
5		eleq1 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ↔ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼))
6		fveq2 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
7	6	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (1..^(♯‘𝑓)) = (1..^(♯‘𝐹)))
8		fveq1 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝑘 − 1)) = (𝐹‘(𝑘 − 1)))
9	8	fveq2d 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
10		fveq1 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
11	10	fveq2d 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
12	9, 11	ineq12d 4209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘))) = ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
13	12	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))) = (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
14	13	breq2d 5154	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))) ↔ 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
15	7, 14	raleqbidv 3337	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))) ↔ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
16	5, 15	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘))))) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))
17	16	elabg 3663	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑈 → (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))} ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))
18	17	3ad2ant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))} ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))
19	4, 18	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704  ∀wral 3056   ∩ cin 3943   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11133   ≤ cle 11273   − cmin 11468  ℕ₀^*cxnn0 12568  ..^cfzo 13653  ♯chash 14315  Word cword 14490  iEdgciedg 28803   EdgWalks cewlks 29402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-hash 14316  df-word 14491  df-ewlks 29405

This theorem is referenced by:  ewlkprop  29410  ewlkle  29412  wlk1ewlk  29447  0ewlk  29917  1ewlk  29918