Theorem isewlk 27872

Description: Conditions for a function (sequence of hyperedges) to be an s-walk of edges. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ewlksfval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isewlk	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑆,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem isewlk

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ewlksfval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	ewlksfval 27871	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (𝐺 EdgWalks 𝑆) = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))})
3	2	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐺 EdgWalks 𝑆) = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))})
4	3	eleq2d 2824	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))}))
5		eleq1 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ↔ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼))
6		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
7	6	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (1..^(♯‘𝑓)) = (1..^(♯‘𝐹)))
8		fveq1 6755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝑘 − 1)) = (𝐹‘(𝑘 − 1)))
9	8	fveq2d 6760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
10		fveq1 6755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
11	10	fveq2d 6760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
12	9, 11	ineq12d 4144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘))) = ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
13	12	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))) = (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
14	13	breq2d 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))) ↔ 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
15	7, 14	raleqbidv 3327	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))) ↔ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
16	5, 15	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘))))) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))
17	16	elabg 3600	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑈 → (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))} ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))
18	17	3ad2ant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))} ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))
19	4, 18	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  ∀wral 3063   ∩ cin 3882   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕ₀^*cxnn0 12235  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145  iEdgciedg 27270   EdgWalks cewlks 27865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-ewlks 27868

This theorem is referenced by:  ewlkprop  27873  ewlkle  27875  wlk1ewlk  27909  0ewlk  28379  1ewlk  28380