Theorem isewlk 29989

Description: Conditions for a function (sequence of hyperedges) to be an s-walk of edges. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ewlksfval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isewlk	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑆,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem isewlk

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ewlksfval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	ewlksfval 29988	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (𝐺 EdgWalks 𝑆) = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))})
3	2	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐺 EdgWalks 𝑆) = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))})
4	3	eleq2d 2852	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))}))
5		eleq1 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ↔ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼))
6		fveq2 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
7	6	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (1..^(♯‘𝑓)) = (1..^(♯‘𝐹)))
8		fveq1 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝑘 − 1)) = (𝐹‘(𝑘 − 1)))
9	8	fveq2d 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
10		fveq1 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
11	10	fveq2d 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐼‘(𝑓‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
12	9, 11	ineq12d 4177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘))) = ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
13	12	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))) = (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
14	13	breq2d 5126	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))) ↔ 𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
15	7, 14	raleqbidv 3341	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))) ↔ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
16	5, 15	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘))))) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))
17	16	elabg 3638	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑈 → (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))} ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))
18	17	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑓))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝑓‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝑓‘𝑘)))))} ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))
19	4, 18	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹 ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))𝑆 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2744  ∀wral 3082   ∩ cin 3907   class class class wbr 5114  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  1c1 11119   ≤ cle 11262   − cmin 11459  ℕ₀^*cxnn0 12595  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Word cword 14570  iEdgciedg 29384   EdgWalks cewlks 29982

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-ewlks 29985

This theorem is used by:  ewlkprop  29990  ewlkle  29992  wlk1ewlk  30026  0ewlk  30502  1ewlk  30503