Theorem 1hegrlfgr 48120

Description: A graph 𝐺 with one hyperedge joining at least two vertices is a loop-free graph. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hegrlfgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hegrlfgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1hegrlfgr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1hegrlfgr.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1hegrlfgr.x	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hegrlfgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hegrlfgr.e	⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
1hegrlfgr	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem 1hegrlfgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hegrlfgr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		1hegrlfgr.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
3		f1osng 6809	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸})
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸})
5		f1of 6768	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸} → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝐸})
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝐸})
7		1hegrlfgr.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
8		1hegrlfgr.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
9		prid1g 4714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
11	7, 10	sseldd 3938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
12		1hegrlfgr.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
13		prid2g 4715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
15	7, 14	sseldd 3938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐸)
16		1hegrlfgr.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
17	2, 11, 15, 16	nehash2 14399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
18		fveq2 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐸))
19	18	breq2d 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
20	19	elrab 3650	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
21	2, 17, 20	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
22	21	snssd 4763	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
23	6, 22	fssd 6673	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
24		1hegrlfgr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
25	24	feq1d 6638	. 2 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
26	23, 25	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3396   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553  {csn 4579  {cpr 4581  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095  ⟶wf 6482  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486   ≤ cle 11169  2c2 12201  ♯chash 14255  iEdgciedg 28960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-hash 14256

This theorem is referenced by: (None)