Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1hegrlfgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1hegrlfgr 42238
Description: A graph 𝐺 with one hyperedge joining at least two vertices is a loop-free graph. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1hegrlfgr.a (𝜑𝐴𝑋)
1hegrlfgr.b (𝜑𝐵𝑉)
1hegrlfgr.c (𝜑𝐶𝑉)
1hegrlfgr.n (𝜑𝐵𝐶)
1hegrlfgr.x (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hegrlfgr.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hegrlfgr.e (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
Assertion
Ref Expression
1hegrlfgr (𝜑 → (iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem 1hegrlfgr
StepHypRef Expression
1 1hegrlfgr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
2 1hegrlfgr.x . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
3 f1osng 6319 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸})
41, 2, 3syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸})
5 f1of 6279 . . . 4 ({⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸} → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝐸})
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝐸})
7 1hegrlfgr.e . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
8 1hegrlfgr.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑉)
9 prid1g 4432 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
117, 10sseldd 3753 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐸)
12 1hegrlfgr.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝑉)
13 prid2g 4433 . . . . . . . 8 (𝐶𝑉𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
157, 14sseldd 3753 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐸)
16 1hegrlfgr.n . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
172, 11, 15, 16nehash2 13457 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
18 fveq2 6333 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐸 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐸))
1918breq2d 4799 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
2019elrab 3515 . . . . 5 (𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
212, 17, 20sylanbrc 572 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
2221snssd 4476 . . 3 (𝜑 → {𝐸} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
236, 22fssd 6198 . 2 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
24 1hegrlfgr.i . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
2524feq1d 6169 . 2 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
2623, 25mpbird 247 1 (𝜑 → (iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  {crab 3065  wss 3723  𝒫 cpw 4298  {csn 4317  {cpr 4319  cop 4323   class class class wbr 4787  wf 6026  1-1-ontowf1o 6029  cfv 6030  cle 10280  2c2 11275  chash 13320  iEdgciedg 26095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-oadd 7720  df-er 7899  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-card 8968  df-cda 9195  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-nn 11226  df-2 11284  df-n0 11499  df-xnn0 11570  df-z 11584  df-uz 11893  df-fz 12533  df-hash 13321
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator