Theorem 1hegrlfgr 45294

Description: A graph 𝐺 with one hyperedge joining at least two vertices is a loop-free graph. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hegrlfgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hegrlfgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1hegrlfgr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1hegrlfgr.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1hegrlfgr.x	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hegrlfgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hegrlfgr.e	⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
1hegrlfgr	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem 1hegrlfgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hegrlfgr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		1hegrlfgr.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
3		f1osng 6757	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸})
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸})
5		f1of 6716	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸} → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝐸})
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝐸})
7		1hegrlfgr.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
8		1hegrlfgr.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
9		prid1g 4696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
11	7, 10	sseldd 3922	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
12		1hegrlfgr.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
13		prid2g 4697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
15	7, 14	sseldd 3922	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐸)
16		1hegrlfgr.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
17	2, 11, 15, 16	nehash2 14188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
18		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐸))
19	18	breq2d 5086	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
20	19	elrab 3624	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
21	2, 17, 20	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
22	21	snssd 4742	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
23	6, 22	fssd 6618	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
24		1hegrlfgr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
25	24	feq1d 6585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
26	23, 25	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {crab 3068   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  {csn 4561  {cpr 4563  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433   ≤ cle 11010  2c2 12028  ♯chash 14044  iEdgciedg 27367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045

This theorem is referenced by: (None)