Theorem 1hegrlfgr 47306

Description: A graph 𝐺 with one hyperedge joining at least two vertices is a loop-free graph. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hegrlfgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hegrlfgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1hegrlfgr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1hegrlfgr.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1hegrlfgr.x	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hegrlfgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hegrlfgr.e	⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
1hegrlfgr	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem 1hegrlfgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hegrlfgr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		1hegrlfgr.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
3		f1osng 6875	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸})
4	1, 2, 3	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸})
5		f1of 6834	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸} → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝐸})
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝐸})
7		1hegrlfgr.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
8		1hegrlfgr.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
9		prid1g 4760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
11	7, 10	sseldd 3973	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
12		1hegrlfgr.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
13		prid2g 4761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
15	7, 14	sseldd 3973	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐸)
16		1hegrlfgr.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
17	2, 11, 15, 16	nehash2 14467	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
18		fveq2 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐸))
19	18	breq2d 5155	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
20	19	elrab 3674	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
21	2, 17, 20	sylanbrc 581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
22	21	snssd 4808	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
23	6, 22	fssd 6735	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
24		1hegrlfgr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
25	24	feq1d 6702	. 2 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
26	23, 25	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  {crab 3419   ⊆ wss 3939  𝒫 cpw 4598  {csn 4624  {cpr 4626  ⟨cop 4630   class class class wbr 5143  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543   ≤ cle 11279  2c2 12297  ♯chash 14321  iEdgciedg 28854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-hash 14322

This theorem is referenced by: (None)