Theorem 1hegrlfgr 48489

Description: A graph 𝐺 with one hyperedge joining at least two vertices is a loop-free graph. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hegrlfgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hegrlfgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1hegrlfgr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1hegrlfgr.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1hegrlfgr.x	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hegrlfgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hegrlfgr.e	⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
1hegrlfgr	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem 1hegrlfgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hegrlfgr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		1hegrlfgr.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
3		f1osng 6824	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸})
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸})
5		f1of 6782	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸} → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝐸})
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝐸})
7		1hegrlfgr.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
8		1hegrlfgr.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
9		prid1g 4719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
11	7, 10	sseldd 3936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
12		1hegrlfgr.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
13		prid2g 4720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
15	7, 14	sseldd 3936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐸)
16		1hegrlfgr.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
17	2, 11, 15, 16	nehash2 14409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
18		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐸))
19	18	breq2d 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
20	19	elrab 3648	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
21	2, 17, 20	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
22	21	snssd 4767	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
23	6, 22	fssd 6687	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
24		1hegrlfgr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
25	24	feq1d 6652	. 2 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
26	23, 25	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3401   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  {cpr 4584  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  ⟶wf 6496  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500   ≤ cle 11179  2c2 12212  ♯chash 14265  iEdgciedg 29082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266

This theorem is referenced by: (None)