Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1hegrlfgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1hegrlfgr 43376
Description: A graph 𝐺 with one hyperedge joining at least two vertices is a loop-free graph. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1hegrlfgr.a (𝜑𝐴𝑋)
1hegrlfgr.b (𝜑𝐵𝑉)
1hegrlfgr.c (𝜑𝐶𝑉)
1hegrlfgr.n (𝜑𝐵𝐶)
1hegrlfgr.x (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hegrlfgr.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hegrlfgr.e (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
Assertion
Ref Expression
1hegrlfgr (𝜑 → (iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem 1hegrlfgr
StepHypRef Expression
1 1hegrlfgr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
2 1hegrlfgr.x . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
3 f1osng 6486 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸})
41, 2, 3syl2anc 576 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸})
5 f1of 6446 . . . 4 ({⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐸} → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝐸})
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝐸})
7 1hegrlfgr.e . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
8 1hegrlfgr.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑉)
9 prid1g 4571 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
117, 10sseldd 3861 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐸)
12 1hegrlfgr.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝑉)
13 prid2g 4572 . . . . . . . 8 (𝐶𝑉𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
157, 14sseldd 3861 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐸)
16 1hegrlfgr.n . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
172, 11, 15, 16nehash2 13646 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
18 fveq2 6501 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐸 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐸))
1918breq2d 4942 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
2019elrab 3595 . . . . 5 (𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
212, 17, 20sylanbrc 575 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
2221snssd 4617 . . 3 (𝜑 → {𝐸} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
236, 22fssd 6360 . 2 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
24 1hegrlfgr.i . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
2524feq1d 6331 . 2 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
2623, 25mpbird 249 1 (𝜑 → (iEdg‘𝐺):{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  {crab 3092  wss 3831  𝒫 cpw 4423  {csn 4442  {cpr 4444  cop 4448   class class class wbr 4930  wf 6186  1-1-ontowf1o 6189  cfv 6190  cle 10477  2c2 11498  chash 13508  iEdgciedg 26488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-dju 9126  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-2 11506  df-n0 11711  df-xnn0 11783  df-z 11797  df-uz 12062  df-fz 12712  df-hash 13509
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator