Theorem 2idlelbas 21199

Description: The base set of a two-sided ideal as structure is a left and right ideal. (Contributed by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2idlbas.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
2idlbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
2idlelbas	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))

Proof of Theorem 2idlelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlbas.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2		2idlbas.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
3		2idlbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐽)
4	1, 2, 3	2idlbas 21198	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐼)
5		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
6		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
7		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
9	5, 6, 7, 8	2idlelb 21188	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ↔ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
10	9	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
11	1, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
12	4, 11	eqeltrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
13	9	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
14	1, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
15	4, 14	eqeltrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
16	12, 15	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117   ↾_s cress 17138  opp_rcoppr 20252  LIdealclidl 21141  2Idealc2idl 21184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-lss 20863  df-sra 21105  df-rgmod 21106  df-lidl 21143  df-2idl 21185

This theorem is referenced by:  rngqiprngghmlem1  21222  rngqiprngimf  21232