Theorem rngqiprngghmlem1 21281

Description: Lemma 1 for rngqiprngghm 21293. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngghmlem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ (Base‘𝐽))

Proof of Theorem rngqiprngghmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
5	2, 3, 4	2idlelbas 21258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
6	5	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
7		rng2idlring.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
8		ringrng 20261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
10	3, 9	eqeltrrid 2842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
11	1, 2, 10	rng2idl0 21261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
12	2, 3, 4	2idlbas 21257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
13	11, 12	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽))
14	1, 6, 13	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽)))
15		rng2idlring.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
16	4, 15	ringidcl 20241	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
17	7, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐽))
18	17	anim1ci 617	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽)))
19		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
20		rng2idlring.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
21		rng2idlring.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
22		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
23	19, 20, 21, 22	rngridlmcl 21211	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽))) → ( 1 · 𝐴) ∈ (Base‘𝐽))
24	14, 18, 23	syl2an2r 686	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ (Base‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  ._rcmulr 17216  0_gc0g 17397  Rngcrng 20128  1_rcur 20157  Ringcrg 20209  opp_rcoppr 20311  LIdealclidl 21200  2Idealc2idl 21243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19094  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-oppr 20312  df-subrng 20518  df-lss 20922  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-lidl 21202  df-2idl 21244

This theorem is referenced by:  rngqiprngghmlem2  21282  rngqiprngimfolem  21284  rngqiprnglinlem1  21285  rngqiprngghm  21293  rngqiprngimfo  21295  rngqiprnglin  21296  rng2idl1cntr  21299  rngqiprngfulem4  21308