Theorem rngqiprngghmlem1 21194

Description: Lemma 1 for rngqiprngghm 21206. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngghmlem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ (Base‘𝐽))

Proof of Theorem rngqiprngghmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
5	2, 3, 4	2idlelbas 21171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
6	5	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
7		rng2idlring.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
8		ringrng 20170	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
10	3, 9	eqeltrrid 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
11	1, 2, 10	rng2idl0 21174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
12	2, 3, 4	2idlbas 21170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
13	11, 12	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽))
14	1, 6, 13	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽)))
15		rng2idlring.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
16	4, 15	ringidcl 20150	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
17	7, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐽))
18	17	anim1ci 616	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽)))
19		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
20		rng2idlring.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
21		rng2idlring.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
22		eqid 2729	. . 3 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
23	19, 20, 21, 22	rngridlmcl 21124	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽))) → ( 1 · 𝐴) ∈ (Base‘𝐽))
24	14, 18, 23	syl2an2r 685	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ (Base‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  Rngcrng 20037  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  opp_rcoppr 20221  LIdealclidl 21113  2Idealc2idl 21156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-subg 19002  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-subrng 20431  df-lss 20835  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-lidl 21115  df-2idl 21157

This theorem is referenced by:  rngqiprngghmlem2  21195  rngqiprngimfolem  21197  rngqiprnglinlem1  21198  rngqiprngghm  21206  rngqiprngimfo  21208  rngqiprnglin  21209  rng2idl1cntr  21212  rngqiprngfulem4  21221