Theorem rngqiprngghmlem1 21224

Description: Lemma 1 for rngqiprngghm 21236. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngghmlem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ (Base‘𝐽))

Proof of Theorem rngqiprngghmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
5	2, 3, 4	2idlelbas 21201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
6	5	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
7		rng2idlring.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
8		ringrng 20203	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
10	3, 9	eqeltrrid 2836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
11	1, 2, 10	rng2idl0 21204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
12	2, 3, 4	2idlbas 21200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
13	11, 12	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽))
14	1, 6, 13	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽)))
15		rng2idlring.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
16	4, 15	ringidcl 20183	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
17	7, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐽))
18	17	anim1ci 616	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽)))
19		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
20		rng2idlring.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
21		rng2idlring.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
22		eqid 2731	. . 3 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
23	19, 20, 21, 22	rngridlmcl 21154	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽))) → ( 1 · 𝐴) ∈ (Base‘𝐽))
24	14, 18, 23	syl2an2r 685	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ (Base‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  Rngcrng 20070  1_rcur 20099  Ringcrg 20151  opp_rcoppr 20254  LIdealclidl 21143  2Idealc2idl 21186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-subrng 20461  df-lss 20865  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-lidl 21145  df-2idl 21187

This theorem is referenced by:  rngqiprngghmlem2  21225  rngqiprngimfolem  21227  rngqiprnglinlem1  21228  rngqiprngghm  21236  rngqiprngimfo  21238  rngqiprnglin  21239  rng2idl1cntr  21242  rngqiprngfulem4  21251