HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem4 29033
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem3.1 𝐴S
5oalem3.2 𝐵S
5oalem3.3 𝐶S
5oalem3.4 𝐷S
5oalem3.5 𝐹S
5oalem3.6 𝐺S
Assertion
Ref Expression
5oalem4 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)))))

Proof of Theorem 5oalem4
StepHypRef Expression
1 eqtr3 2818 . . . 4 (((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤))
2 5oalem3.1 . . . . 5 𝐴S
3 5oalem3.2 . . . . 5 𝐵S
4 5oalem3.3 . . . . 5 𝐶S
5 5oalem3.4 . . . . 5 𝐷S
62, 3, 4, 55oalem2 29031 . . . 4 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ ((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)))
71, 6sylan2 587 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → (𝑥 𝑧) ∈ ((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)))
87adantlr 707 . 2 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → (𝑥 𝑧) ∈ ((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)))
9 5oalem3.5 . . 3 𝐹S
10 5oalem3.6 . . 3 𝐺S
112, 3, 4, 5, 9, 105oalem3 29032 . 2 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
128, 11elind 3994 1 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cin 3766  (class class class)co 6876   + cva 28294   cmv 28299   S csh 28302   + cph 28305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-hilex 28373  ax-hfvadd 28374  ax-hvcom 28375  ax-hvass 28376  ax-hv0cl 28377  ax-hvaddid 28378  ax-hfvmul 28379  ax-hvmulid 28380  ax-hvmulass 28381  ax-hvdistr1 28382  ax-hvdistr2 28383  ax-hvmul0 28384
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-map 8095  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-ltxr 10366  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-grpo 27865  df-ablo 27917  df-hvsub 28345  df-hlim 28346  df-sh 28581  df-ch 28595  df-shs 28684
This theorem is referenced by:  5oalem5  29034
  Copyright terms: Public domain W3C validator