Theorem abl1 19967

Description: The (smallest) structure representing a trivial abelian group. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
abl1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
abl1	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Abel)

Proof of Theorem abl1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abl1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2	1	grp1 19144	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Grp)
3		eqidd 2767	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
4		oveq1 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏))
5		oveq2 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
6	4, 5	eqeq12d 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
7	6	ralbidv 3191	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
8	7	ralsng 4646	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑎 ∈ {𝐼}∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
9		oveq2 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
10		oveq1 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐼 → (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
11	9, 10	eqeq12d 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
12	11	ralsng 4646	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
13	8, 12	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑎 ∈ {𝐼}∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
14	3, 13	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑎 ∈ {𝐼}∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎))
15		snex 5415	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ V
16	1	grpbase 17367	. . . 4 ⊢ ({𝐼} ∈ V → {𝐼} = (Base‘𝑀))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝐼} = (Base‘𝑀)
18		snex 5415	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
19	1	grpplusg 17368	. . . 4 ⊢ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀)
21	17, 20	isabl2 19891	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Abel ↔ (𝑀 ∈ Grp ∧ ∀𝑎 ∈ {𝐼}∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎)))
22	2, 14, 21	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  Vcvv 3458  {csn 4594  {cpr 4596  ⟨cop 4600  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ndxcnx 17278  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  Grpcgrp 19031  Abelcabl 19882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-cmn 19883  df-abl 19884

This theorem is used by:  abln0  19968