Theorem abl1 19899

Description: The (smallest) structure representing a trivial abelian group. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
abl1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
abl1	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Abel)

Proof of Theorem abl1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abl1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2	1	grp1 19078	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Grp)
3		eqidd 2736	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
4		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏))
5		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
6	4, 5	eqeq12d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
7	6	ralbidv 3176	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
8	7	ralsng 4680	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑎 ∈ {𝐼}∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
9		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
10		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐼 → (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
11	9, 10	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
12	11	ralsng 4680	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
13	8, 12	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑎 ∈ {𝐼}∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
14	3, 13	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑎 ∈ {𝐼}∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎))
15		snex 5442	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ V
16	1	grpbase 17332	. . . 4 ⊢ ({𝐼} ∈ V → {𝐼} = (Base‘𝑀))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝐼} = (Base‘𝑀)
18		snex 5442	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
19	1	grpplusg 17334	. . . 4 ⊢ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀)
21	17, 20	isabl2 19823	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Abel ↔ (𝑀 ∈ Grp ∧ ∀𝑎 ∈ {𝐼}∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎)))
22	2, 14, 21	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  Vcvv 3478  {csn 4631  {cpr 4633  ⟨cop 4637  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Grpcgrp 18964  Abelcabl 19814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-cmn 19815  df-abl 19816

This theorem is referenced by:  abln0  19900