Theorem abl1 20060

Description: The (smallest) structure representing a trivial abelian group. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
abl1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
abl1	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Abel)

Proof of Theorem abl1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abl1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2	1	grp1 19237	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Grp)
3		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
4		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏))
5		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
6	4, 5	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
7	6	ralbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
8	7	ralsng 4636	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑎 ∈ {𝐼}∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
9		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
10		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐼 → (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
11	9, 10	eqeq12d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
12	11	ralsng 4636	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
13	8, 12	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑎 ∈ {𝐼}∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
14	3, 13	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑎 ∈ {𝐼}∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎))
15		snex 5397	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ V
16	1	grpbase 17440	. . . 4 ⊢ ({𝐼} ∈ V → {𝐼} = (Base‘𝑀))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝐼} = (Base‘𝑀)
18		snex 5397	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
19	1	grpplusg 17441	. . . 4 ⊢ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀)
21	17, 20	isabl2 19984	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Abel ↔ (𝑀 ∈ Grp ∧ ∀𝑎 ∈ {𝐼}∀𝑏 ∈ {𝐼} (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑏) = (𝑏{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎)))
22	2, 14, 21	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ndxcnx 17351  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  Grpcgrp 19124  Abelcabl 19975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-cmn 19976  df-abl 19977

This theorem is used by:  abln0  20061