Theorem abs3lemi 15368

Description: Lemma involving absolute value of differences. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
absvalsqi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
abssub.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
abs3dif.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
abs3lem.4	⊢ 𝐷 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
abs3lemi	⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷)

Proof of Theorem abs3lemi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absvalsqi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		abssub.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		abs3dif.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	abs3difi 15367	. . 3 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵)))
5	1, 3	subcli 11465	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ
6	5	abscli 15353	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ
7	3, 2	subcli 11465	. . . . 5 ⊢ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ
8	7	abscli 15353	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ
9		abs3lem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
10	9	rehalfcli 12421	. . . 4 ⊢ (𝐷 / 2) ∈ ℝ
11	6, 8, 10, 10	lt2addi 11707	. . 3 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
12	1, 2	subcli 11465	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ
13	12	abscli 15353	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ
14	6, 8	readdcli 11155	. . . 4 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℝ
15	10, 10	readdcli 11155	. . . 4 ⊢ ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) ∈ ℝ
16	13, 14, 15	lelttri 11268	. . 3 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) ∧ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
17	4, 11, 16	sylancr 594	. 2 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
18	10	recni 11154	. . . 4 ⊢ (𝐷 / 2) ∈ ℂ
19	18	2timesi 12309	. . 3 ⊢ (2 · (𝐷 / 2)) = ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))
20	9	recni 11154	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
21		2cn 12251	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		2ne0 12280	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
23	20, 21, 22	divcan2i 11893	. . 3 ⊢ (2 · (𝐷 / 2)) = 𝐷
24	19, 23	eqtr3i 2766	. 2 ⊢ ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) = 𝐷
25	17, 24	breqtrdi 5116	1 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  ℝcr 11032   + caddc 11036   · cmul 11038   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372   / cdiv 11802  2c2 12231  abscabs 15191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193

This theorem is referenced by: (None)