Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abs3lemi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abs3lemi 14823
 Description: Lemma involving absolute value of differences. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
absvalsqi.1 𝐴 ∈ ℂ
abssub.2 𝐵 ∈ ℂ
abs3dif.3 𝐶 ∈ ℂ
abs3lem.4 𝐷 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
abs3lemi (((abs‘(𝐴𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝐷)

Proof of Theorem abs3lemi
StepHypRef Expression
1 absvalsqi.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
2 abssub.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
3 abs3dif.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℂ
41, 2, 3abs3difi 14822 . . 3 (abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐶𝐵)))
51, 3subcli 11005 . . . . 5 (𝐴𝐶) ∈ ℂ
65abscli 14808 . . . 4 (abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℝ
73, 2subcli 11005 . . . . 5 (𝐶𝐵) ∈ ℂ
87abscli 14808 . . . 4 (abs‘(𝐶𝐵)) ∈ ℝ
9 abs3lem.4 . . . . 5 𝐷 ∈ ℝ
109rehalfcli 11928 . . . 4 (𝐷 / 2) ∈ ℝ
116, 8, 10, 10lt2addi 11245 . . 3 (((abs‘(𝐴𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶𝐵)) < (𝐷 / 2)) → ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐶𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
121, 2subcli 11005 . . . . 5 (𝐴𝐵) ∈ ℂ
1312abscli 14808 . . . 4 (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ
146, 8readdcli 10699 . . . 4 ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐶𝐵))) ∈ ℝ
1510, 10readdcli 10699 . . . 4 ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) ∈ ℝ
1613, 14, 15lelttri 10810 . . 3 (((abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐶𝐵))) ∧ ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐶𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))) → (abs‘(𝐴𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
174, 11, 16sylancr 590 . 2 (((abs‘(𝐴𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
1810recni 10698 . . . 4 (𝐷 / 2) ∈ ℂ
19182timesi 11817 . . 3 (2 · (𝐷 / 2)) = ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))
209recni 10698 . . . 4 𝐷 ∈ ℂ
21 2cn 11754 . . . 4 2 ∈ ℂ
22 2ne0 11783 . . . 4 2 ≠ 0
2320, 21, 22divcan2i 11426 . . 3 (2 · (𝐷 / 2)) = 𝐷
2419, 23eqtr3i 2783 . 2 ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) = 𝐷
2517, 24breqtrdi 5076 1 (((abs‘(𝐴𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5035  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℂcc 10578  ℝcr 10579   + caddc 10583   · cmul 10585   < clt 10718   ≤ cle 10719   − cmin 10913   / cdiv 11340  2c2 11734  abscabs 14646 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-sup 8944  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-rp 12436  df-seq 13424  df-exp 13485  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator