Theorem abs3lemi 15329

Description: Lemma involving absolute value of differences. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
absvalsqi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
abssub.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
abs3dif.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
abs3lem.4	⊢ 𝐷 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
abs3lemi	⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷)

Proof of Theorem abs3lemi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absvalsqi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		abssub.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		abs3dif.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	abs3difi 15328	. . 3 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵)))
5	1, 3	subcli 11508	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ
6	5	abscli 15314	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ
7	3, 2	subcli 11508	. . . . 5 ⊢ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ
8	7	abscli 15314	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ
9		abs3lem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
10	9	rehalfcli 12433	. . . 4 ⊢ (𝐷 / 2) ∈ ℝ
11	6, 8, 10, 10	lt2addi 11748	. . 3 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
12	1, 2	subcli 11508	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ
13	12	abscli 15314	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ
14	6, 8	readdcli 11201	. . . 4 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℝ
15	10, 10	readdcli 11201	. . . 4 ⊢ ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) ∈ ℝ
16	13, 14, 15	lelttri 11313	. . 3 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) ∧ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
17	4, 11, 16	sylancr 587	. 2 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
18	10	recni 11200	. . . 4 ⊢ (𝐷 / 2) ∈ ℂ
19	18	2timesi 12322	. . 3 ⊢ (2 · (𝐷 / 2)) = ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))
20	9	recni 11200	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
21		2cn 12259	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		2ne0 12288	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
23	20, 21, 22	divcan2i 11929	. . 3 ⊢ (2 · (𝐷 / 2)) = 𝐷
24	19, 23	eqtr3i 2761	. 2 ⊢ ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) = 𝐷
25	17, 24	breqtrdi 5173	1 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5132  ‘cfv 6523  (class class class)co 7384  ℂcc 11080  ℝcr 11081   + caddc 11085   · cmul 11087   < clt 11220   ≤ cle 11221   − cmin 11416   / cdiv 11843  2c2 12239  abscabs 15153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pow 5347  ax-pr 5411  ax-un 7699  ax-cnex 11138  ax-resscn 11139  ax-1cn 11140  ax-icn 11141  ax-addcl 11142  ax-addrcl 11143  ax-mulcl 11144  ax-mulrcl 11145  ax-mulcom 11146  ax-addass 11147  ax-mulass 11148  ax-distr 11149  ax-i2m1 11150  ax-1ne0 11151  ax-1rid 11152  ax-rnegex 11153  ax-rrecex 11154  ax-cnre 11155  ax-pre-lttri 11156  ax-pre-lttrn 11157  ax-pre-ltadd 11158  ax-pre-mulgt0 11159  ax-pre-sup 11160

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3426  df-v 3468  df-sbc 3765  df-csb 3881  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4310  df-if 4514  df-pw 4589  df-sn 4614  df-pr 4616  df-op 4620  df-uni 4893  df-iun 4983  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-tr 5250  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6280  df-ord 6347  df-on 6348  df-lim 6349  df-suc 6350  df-iota 6475  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7340  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-om 7830  df-2nd 7949  df-frecs 8239  df-wrecs 8270  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8677  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9409  df-pnf 11222  df-mnf 11223  df-xr 11224  df-ltxr 11225  df-le 11226  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11844  df-nn 12185  df-2 12247  df-3 12248  df-n0 12445  df-z 12531  df-uz 12795  df-rp 12947  df-seq 13939  df-exp 14000  df-cj 15018  df-re 15019  df-im 15020  df-sqrt 15154  df-abs 15155

This theorem is referenced by: (None)