Theorem abs3lemi 14823

Description: Lemma involving absolute value of differences. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
absvalsqi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
abssub.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
abs3dif.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
abs3lem.4	⊢ 𝐷 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
abs3lemi	⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷)

Proof of Theorem abs3lemi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absvalsqi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		abssub.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		abs3dif.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	abs3difi 14822	. . 3 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵)))
5	1, 3	subcli 11005	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ
6	5	abscli 14808	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ
7	3, 2	subcli 11005	. . . . 5 ⊢ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ
8	7	abscli 14808	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ
9		abs3lem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
10	9	rehalfcli 11928	. . . 4 ⊢ (𝐷 / 2) ∈ ℝ
11	6, 8, 10, 10	lt2addi 11245	. . 3 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
12	1, 2	subcli 11005	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ
13	12	abscli 14808	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ
14	6, 8	readdcli 10699	. . . 4 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℝ
15	10, 10	readdcli 10699	. . . 4 ⊢ ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) ∈ ℝ
16	13, 14, 15	lelttri 10810	. . 3 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) ∧ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
17	4, 11, 16	sylancr 590	. 2 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
18	10	recni 10698	. . . 4 ⊢ (𝐷 / 2) ∈ ℂ
19	18	2timesi 11817	. . 3 ⊢ (2 · (𝐷 / 2)) = ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))
20	9	recni 10698	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
21		2cn 11754	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		2ne0 11783	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
23	20, 21, 22	divcan2i 11426	. . 3 ⊢ (2 · (𝐷 / 2)) = 𝐷
24	19, 23	eqtr3i 2783	. 2 ⊢ ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) = 𝐷
25	17, 24	breqtrdi 5076	1 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5035  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℂcc 10578  ℝcr 10579   + caddc 10583   · cmul 10585   < clt 10718   ≤ cle 10719   − cmin 10913   / cdiv 11340  2c2 11734  abscabs 14646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-sup 8944  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-rp 12436  df-seq 13424  df-exp 13485  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648

This theorem is referenced by: (None)