Theorem abs3lemi 14608

Description: Lemma involving absolute value of differences. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
absvalsqi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
abssub.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
abs3dif.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
abs3lem.4	⊢ 𝐷 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
abs3lemi	⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷)

Proof of Theorem abs3lemi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absvalsqi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		abssub.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		abs3dif.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	abs3difi 14607	. . 3 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵)))
5	1, 3	subcli 10816	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ
6	5	abscli 14593	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ
7	3, 2	subcli 10816	. . . . 5 ⊢ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ
8	7	abscli 14593	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ
9		abs3lem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
10	9	rehalfcli 11740	. . . 4 ⊢ (𝐷 / 2) ∈ ℝ
11	6, 8, 10, 10	lt2addi 11056	. . 3 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
12	1, 2	subcli 10816	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ
13	12	abscli 14593	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ
14	6, 8	readdcli 10509	. . . 4 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℝ
15	10, 10	readdcli 10509	. . . 4 ⊢ ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) ∈ ℝ
16	13, 14, 15	lelttri 10620	. . 3 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) ∧ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
17	4, 11, 16	sylancr 587	. 2 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
18	10	recni 10508	. . . 4 ⊢ (𝐷 / 2) ∈ ℂ
19	18	2timesi 11629	. . 3 ⊢ (2 · (𝐷 / 2)) = ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))
20	9	recni 10508	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
21		2cn 11566	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		2ne0 11595	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
23	20, 21, 22	divcan2i 11237	. . 3 ⊢ (2 · (𝐷 / 2)) = 𝐷
24	19, 23	eqtr3i 2823	. 2 ⊢ ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) = 𝐷
25	17, 24	syl6breq 5009	1 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2083   class class class wbr 4968  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  ℂcc 10388  ℝcr 10389   + caddc 10393   · cmul 10395   < clt 10528   ≤ cle 10529   − cmin 10723   / cdiv 11151  2c2 11546  abscabs 14431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-seq 13224  df-exp 13284  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433

This theorem is referenced by: (None)