Theorem abs3lemi 15604

Description: Lemma involving absolute value of differences. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
absvalsqi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
abssub.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
abs3dif.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
abs3lem.4	⊢ 𝐷 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
abs3lemi	⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷)

Proof of Theorem abs3lemi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absvalsqi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		abssub.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		abs3dif.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	abs3difi 15603	. . 3 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵)))
5	1, 3	subcli 11658	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ
6	5	abscli 15589	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ
7	3, 2	subcli 11658	. . . . 5 ⊢ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ
8	7	abscli 15589	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ
9		abs3lem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
10	9	rehalfcli 12619	. . . 4 ⊢ (𝐷 / 2) ∈ ℝ
11	6, 8, 10, 10	lt2addi 11902	. . 3 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
12	1, 2	subcli 11658	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ
13	12	abscli 15589	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ
14	6, 8	readdcli 11348	. . . 4 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℝ
15	10, 10	readdcli 11348	. . . 4 ⊢ ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) ∈ ℝ
16	13, 14, 15	lelttri 11461	. . 3 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) ∧ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
17	4, 11, 16	sylancr 599	. 2 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
18	10	recni 11347	. . . 4 ⊢ (𝐷 / 2) ∈ ℂ
19	18	2timesi 12504	. . 3 ⊢ (2 · (𝐷 / 2)) = ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))
20	9	recni 11347	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
21		2cn 12442	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		2ne0 12473	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
23	20, 21, 22	divcan2i 12084	. . 3 ⊢ (2 · (𝐷 / 2)) = 𝐷
24	19, 23	eqtr3i 2788	. 2 ⊢ ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) = 𝐷
25	17, 24	breqtrdi 5149	1 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  ℝcr 11223   + caddc 11227   · cmul 11229   < clt 11367   ≤ cle 11368   − cmin 11565   / cdiv 11997  2c2 12421  abscabs 15427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429

This theorem is used by: (None)