Theorem rpsqrtcld 15623

Description: The square root of a positive real is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrgt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpsqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpsqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrgt0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpsqrtcl 15474	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  ℝ⁺crp 13160  √csqrt 15443

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445

This theorem is used by:  sqrtgt0d  15624  prmreclem3  17140  prmreclem5  17142  cxpsqrt  27088  divsqrtsumlem  27364  bposlem7  27674  bposlem9  27676  chtppilim  27859  chpchtlim  27863  rplogsumlem1  27868  dchrisum0fno1  27895  dchrisum0lema  27898  dchrisum0lem1b  27899  dchrisum0lem1  27900  dchrisum0lem2a  27901  dchrisum0lem2  27902  dchrisum0lem3  27903  dchrisum0  27904  pntlemb  27981  pntlemh  27983  pntlemr  27986  pntlemj  27987  pntlemk  27990  minvecolem5  31540  logdivsqrle  35390  hgt750leme  35398  rrndstprj2  39031  rrncmslem  39032  rrnequiv  39035  aks6d1c7lem1  43496  pellexlem4  44105  pell1qrgaplem  44146  pell14qrgapw  44149  pellqrexplicit  44150  pellqrex  44152  pellfundge  44155  pellfundgt1  44156  rmspecfund  44182  rmxycomplete  44190  stirlinglem2  47358  stirlinglem4  47360  stirlinglem13  47369  stirlinglem15  47371  stirlingr  47373  qndenserrnbllem  47577  hoiqssbllem1  47905  hoiqssbllem2  47906  hoiqssbllem3  47907