Theorem rpsqrtcld 15580

Description: The square root of a positive real is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrgt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpsqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpsqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrgt0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpsqrtcl 15432	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  ℝ⁺crp 13121  √csqrt 15401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9435  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-seq 14146  df-exp 14206  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403

This theorem is used by:  sqrtgt0d  15581  prmreclem3  17097  prmreclem5  17099  cxpsqrt  27032  divsqrtsumlem  27308  bposlem7  27618  bposlem9  27620  chtppilim  27803  chpchtlim  27807  rplogsumlem1  27812  dchrisum0fno1  27839  dchrisum0lema  27842  dchrisum0lem1b  27843  dchrisum0lem1  27844  dchrisum0lem2a  27845  dchrisum0lem2  27846  dchrisum0lem3  27847  dchrisum0  27848  pntlemb  27925  pntlemh  27927  pntlemr  27930  pntlemj  27931  pntlemk  27934  minvecolem5  31484  logdivsqrle  35322  hgt750leme  35330  rrndstprj2  38809  rrncmslem  38810  rrnequiv  38813  aks6d1c7lem1  43274  pellexlem4  43883  pell1qrgaplem  43924  pell14qrgapw  43927  pellqrexplicit  43928  pellqrex  43930  pellfundge  43933  pellfundgt1  43934  rmspecfund  43960  rmxycomplete  43968  stirlinglem2  47129  stirlinglem4  47131  stirlinglem13  47140  stirlinglem15  47142  stirlingr  47144  qndenserrnbllem  47348  hoiqssbllem1  47676  hoiqssbllem2  47677  hoiqssbllem3  47678