Theorem abvtrivg 20986

Description: The trivial absolute value. This theorem is not true for rings with zero divisors, which violate the multiplication axiom; abvdom 20983 is the converse of this theorem. (Contributed by SN, 25-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvtriv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvtriv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvtriv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
abvtriv.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
abvtrivg	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝐹 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝑅   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem abvtrivg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvtriv.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2		abvtriv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		abvtriv.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		abvtriv.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
5		eqid 2765	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		domnring 20856	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
7	2, 5, 3	domnmuln0 20858	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ 0 )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	abvtrivd 20985	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝐹 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4489   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  0cc0 11115  1c1 11116  Basecbs 17291  ._rcmulr 17333  0_gc0g 17514  Domncdomn 20841  AbsValcabv 20961

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-ico 13394  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-nzr 20660  df-domn 20844  df-abv 20962

This theorem is used by:  abvtriv  20987  abvn0b  20989  fiabv  43362