Theorem fiabv 43601

Description: In a finite domain (a finite field), the only absolute value is the trivial one (abvtrivg 21090). (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
fiabv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fiabv.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fiabv.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
fiabv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
fiabv.f	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fiabv	⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑇})

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem fiabv

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiabv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2		fiabv.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	abvf 21072	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎:𝐵⟶ℝ)
4	3	ffnd 6710	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 Fn 𝐵)
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 Fn 𝐵)
6		fiabv.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
7		fiabv.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		fiabv.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
9	1, 2, 7, 8	abvtrivg 21090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑇 ∈ 𝐴)
10	6, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
11	1, 2	abvf 21072	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇:𝐵⟶ℝ)
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:𝐵⟶ℝ)
13	12	ffnd 6710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 Fn 𝐵)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑇 Fn 𝐵)
15		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑎‘𝑏) = (𝑎‘ 0 ))
16		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑇‘𝑏) = (𝑇‘ 0 ))
17	15, 16	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝑎‘𝑏) = (𝑇‘𝑏) ↔ (𝑎‘ 0 ) = (𝑇‘ 0 )))
18		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
20	6	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
21		fiabv.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
22	21	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝐵 ∈ Fin)
23		eldifsn 4747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ))
24	23	biimpri 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
25	24	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
26	2, 7, 18, 19, 20, 22, 25	fidomncyc 43600	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))
27		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))
28	27	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏)) = (𝑎‘(1r‘𝑅)))
29		domnnzr 20958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
30	6, 29	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
31	30	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑅 ∈ NzRing)
32		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑎 ∈ 𝐴)
33		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
34		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑛 ∈ ℕ)
35	34	nnnn0d 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
36	1, 19, 2, 31, 32, 33, 35	abvexp 43597	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏)) = ((𝑎‘𝑏)↑𝑛))
37		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝐴)
38	18, 7	nzrnz 20765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
39	29, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
40	6, 39	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
41	40	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
42	1, 18, 7	abv1z 21081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ) → (𝑎‘(1r‘𝑅)) = 1)
43	37, 41, 42	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎‘(1r‘𝑅)) = 1)
44	43	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘(1r‘𝑅)) = 1)
45	28, 36, 44	3eqtr3d 2803	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → ((𝑎‘𝑏)↑𝑛) = 1)
46	1, 2	abvcl 21073	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎‘𝑏) ∈ ℝ)
47	32, 33, 46	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘𝑏) ∈ ℝ)
48	1, 2	abvge0 21074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝑎‘𝑏))
49	32, 33, 48	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 0 ≤ (𝑎‘𝑏))
50	47, 34, 49	expeq1d 43382	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (((𝑎‘𝑏)↑𝑛) = 1 ↔ (𝑎‘𝑏) = 1))
51	45, 50	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘𝑏) = 1)
52	26, 51	rexlimddv 3169	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑎‘𝑏) = 1)
53		eqeq1 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑏 = 0 ))
54	53	ifbid 4505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑏 = 0 , 0, 1))
55		ifnefalse 4493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ≠ 0 → if(𝑏 = 0 , 0, 1) = 1)
56	55	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → if(𝑏 = 0 , 0, 1) = 1)
57	54, 56	sylan9eqr 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 = 𝑏) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = 1)
58		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑏 ∈ 𝐵)
59		1cnd 11302	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 1 ∈ ℂ)
60	8, 57, 58, 59	fvmptd2 7002	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑇‘𝑏) = 1)
61	60	adantllr 732	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑇‘𝑏) = 1)
62	52, 61	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑎‘𝑏) = (𝑇‘𝑏))
63	1, 7	abv0 21080	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (𝑎‘ 0 ) = 0)
64	63	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎‘ 0 ) = 0)
65	1, 7	abv0 21080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → (𝑇‘ 0 ) = 0)
66	10, 65	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘ 0 ) = 0)
67	66	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑇‘ 0 ) = 0)
68	64, 67	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎‘ 0 ) = (𝑇‘ 0 ))
69	68	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎‘ 0 ) = (𝑇‘ 0 ))
70	17, 62, 69	pm2.61ne 3040	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎‘𝑏) = (𝑇‘𝑏))
71	5, 14, 70	eqfnfvd 7032	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 = 𝑇)
72	71, 10	eqsnd 4790	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑇})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4045  ifcif 4481  {csn 4583   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   ≤ cle 11344  ℕcn 12335  ↑cexp 14204  Basecbs 17387  0_gc0g 17610  ._gcmg 19277  mulGrpcmgp 20360  1_rcur 20407  NzRingcnzr 20762  Domncdomn 20944  AbsValcabv 21065

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-fz 13640  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-nzr 20763  df-domn 20947  df-abv 21066

This theorem is used by: (None)