Theorem fiabv 42529

Description: In a finite domain (a finite field), the only absolute value is the trivial one (abvtrivg 20718). (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
fiabv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fiabv.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fiabv.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
fiabv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
fiabv.f	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fiabv	⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑇})

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem fiabv

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiabv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2		fiabv.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	abvf 20700	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎:𝐵⟶ℝ)
4	3	ffnd 6653	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 Fn 𝐵)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 Fn 𝐵)
6		fiabv.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
7		fiabv.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		fiabv.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
9	1, 2, 7, 8	abvtrivg 20718	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑇 ∈ 𝐴)
10	6, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
11	1, 2	abvf 20700	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇:𝐵⟶ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:𝐵⟶ℝ)
13	12	ffnd 6653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 Fn 𝐵)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑇 Fn 𝐵)
15		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑎‘𝑏) = (𝑎‘ 0 ))
16		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑇‘𝑏) = (𝑇‘ 0 ))
17	15, 16	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝑎‘𝑏) = (𝑇‘𝑏) ↔ (𝑎‘ 0 ) = (𝑇‘ 0 )))
18		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
20	6	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
21		fiabv.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
22	21	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝐵 ∈ Fin)
23		eldifsn 4737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ))
24	23	biimpri 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
25	24	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
26	2, 7, 18, 19, 20, 22, 25	fidomncyc 42528	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))
27		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))
28	27	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏)) = (𝑎‘(1r‘𝑅)))
29		domnnzr 20591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
30	6, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
31	30	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑅 ∈ NzRing)
32		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑎 ∈ 𝐴)
33		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
34		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑛 ∈ ℕ)
35	34	nnnn0d 12445	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
36	1, 19, 2, 31, 32, 33, 35	abvexp 42525	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏)) = ((𝑎‘𝑏)↑𝑛))
37		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝐴)
38	18, 7	nzrnz 20400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
39	29, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
40	6, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
42	1, 18, 7	abv1z 20709	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ) → (𝑎‘(1r‘𝑅)) = 1)
43	37, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎‘(1r‘𝑅)) = 1)
44	43	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘(1r‘𝑅)) = 1)
45	28, 36, 44	3eqtr3d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → ((𝑎‘𝑏)↑𝑛) = 1)
46	1, 2	abvcl 20701	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎‘𝑏) ∈ ℝ)
47	32, 33, 46	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘𝑏) ∈ ℝ)
48	1, 2	abvge0 20702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝑎‘𝑏))
49	32, 33, 48	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 0 ≤ (𝑎‘𝑏))
50	47, 34, 49	expeq1d 42317	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (((𝑎‘𝑏)↑𝑛) = 1 ↔ (𝑎‘𝑏) = 1))
51	45, 50	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘𝑏) = 1)
52	26, 51	rexlimddv 3136	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑎‘𝑏) = 1)
53		eqeq1 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑏 = 0 ))
54	53	ifbid 4500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑏 = 0 , 0, 1))
55		ifnefalse 4488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ≠ 0 → if(𝑏 = 0 , 0, 1) = 1)
56	55	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → if(𝑏 = 0 , 0, 1) = 1)
57	54, 56	sylan9eqr 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 = 𝑏) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = 1)
58		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑏 ∈ 𝐵)
59		1cnd 11110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 1 ∈ ℂ)
60	8, 57, 58, 59	fvmptd2 6938	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑇‘𝑏) = 1)
61	60	adantllr 719	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑇‘𝑏) = 1)
62	52, 61	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑎‘𝑏) = (𝑇‘𝑏))
63	1, 7	abv0 20708	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (𝑎‘ 0 ) = 0)
64	63	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎‘ 0 ) = 0)
65	1, 7	abv0 20708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → (𝑇‘ 0 ) = 0)
66	10, 65	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘ 0 ) = 0)
67	66	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑇‘ 0 ) = 0)
68	64, 67	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎‘ 0 ) = (𝑇‘ 0 ))
69	68	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎‘ 0 ) = (𝑇‘ 0 ))
70	17, 62, 69	pm2.61ne 3010	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎‘𝑏) = (𝑇‘𝑏))
71	5, 14, 70	eqfnfvd 6968	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 = 𝑇)
72	71, 10	eqsnd 4781	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑇})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3900  ifcif 4476  {csn 4577   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Fincfn 8872  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   ≤ cle 11150  ℕcn 12128  ↑cexp 13968  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  ._gcmg 18946  mulGrpcmgp 20025  1_rcur 20066  NzRingcnzr 20397  Domncdomn 20577  AbsValcabv 20693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-ico 13254  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-nzr 20398  df-domn 20580  df-abv 20694

This theorem is referenced by: (None)