Theorem fiabv 43159

Description: In a finite domain (a finite field), the only absolute value is the trivial one (abvtrivg 20884). (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
fiabv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fiabv.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fiabv.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
fiabv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
fiabv.f	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fiabv	⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑇})

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem fiabv

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiabv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2		fiabv.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	abvf 20866	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎:𝐵⟶ℝ)
4	3	ffnd 6694	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 Fn 𝐵)
5	4	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 Fn 𝐵)
6		fiabv.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
7		fiabv.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		fiabv.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
9	1, 2, 7, 8	abvtrivg 20884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑇 ∈ 𝐴)
10	6, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
11	1, 2	abvf 20866	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇:𝐵⟶ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:𝐵⟶ℝ)
13	12	ffnd 6694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 Fn 𝐵)
14	13	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑇 Fn 𝐵)
15		fveq2 6869	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑎‘𝑏) = (𝑎‘ 0 ))
16		fveq2 6869	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑇‘𝑏) = (𝑇‘ 0 ))
17	15, 16	eqeq12d 2780	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝑎‘𝑏) = (𝑇‘𝑏) ↔ (𝑎‘ 0 ) = (𝑇‘ 0 )))
18		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
20	6	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
21		fiabv.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
22	21	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝐵 ∈ Fin)
23		eldifsn 4748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ))
24	23	biimpri 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
25	24	adantll 724	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
26	2, 7, 18, 19, 20, 22, 25	fidomncyc 43158	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))
27		simprr 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))
28	27	fveq2d 6873	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏)) = (𝑎‘(1r‘𝑅)))
29		domnnzr 20758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
30	6, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
31	30	ad4antr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑅 ∈ NzRing)
32		simp-4r 793	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑎 ∈ 𝐴)
33		simpllr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
34		simprl 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑛 ∈ ℕ)
35	34	nnnn0d 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
36	1, 19, 2, 31, 32, 33, 35	abvexp 43155	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏)) = ((𝑎‘𝑏)↑𝑛))
37		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝐴)
38	18, 7	nzrnz 20567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
39	29, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
40	6, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
41	40	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
42	1, 18, 7	abv1z 20875	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ) → (𝑎‘(1r‘𝑅)) = 1)
43	37, 41, 42	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎‘(1r‘𝑅)) = 1)
44	43	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘(1r‘𝑅)) = 1)
45	28, 36, 44	3eqtr3d 2807	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → ((𝑎‘𝑏)↑𝑛) = 1)
46	1, 2	abvcl 20867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎‘𝑏) ∈ ℝ)
47	32, 33, 46	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘𝑏) ∈ ℝ)
48	1, 2	abvge0 20868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝑎‘𝑏))
49	32, 33, 48	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 0 ≤ (𝑎‘𝑏))
50	47, 34, 49	expeq1d 42938	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (((𝑎‘𝑏)↑𝑛) = 1 ↔ (𝑎‘𝑏) = 1))
51	45, 50	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘𝑏) = 1)
52	26, 51	rexlimddv 3171	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑎‘𝑏) = 1)
53		eqeq1 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑏 = 0 ))
54	53	ifbid 4506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑏 = 0 , 0, 1))
55		ifnefalse 4494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ≠ 0 → if(𝑏 = 0 , 0, 1) = 1)
56	55	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → if(𝑏 = 0 , 0, 1) = 1)
57	54, 56	sylan9eqr 2821	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 = 𝑏) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = 1)
58		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑏 ∈ 𝐵)
59		1cnd 11177	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 1 ∈ ℂ)
60	8, 57, 58, 59	fvmptd2 6986	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑇‘𝑏) = 1)
61	60	adantllr 729	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑇‘𝑏) = 1)
62	52, 61	eqtr4d 2802	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑎‘𝑏) = (𝑇‘𝑏))
63	1, 7	abv0 20874	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (𝑎‘ 0 ) = 0)
64	63	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎‘ 0 ) = 0)
65	1, 7	abv0 20874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → (𝑇‘ 0 ) = 0)
66	10, 65	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘ 0 ) = 0)
67	66	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑇‘ 0 ) = 0)
68	64, 67	eqtr4d 2802	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎‘ 0 ) = (𝑇‘ 0 ))
69	68	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎‘ 0 ) = (𝑇‘ 0 ))
70	17, 62, 69	pm2.61ne 3044	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎‘𝑏) = (𝑇‘𝑏))
71	5, 14, 70	eqfnfvd 7016	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 = 𝑇)
72	71, 10	eqsnd 4790	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑇})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959   ∖ cdif 3903  ifcif 4482  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   Fn wfn 6518  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Fincfn 8929  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   ≤ cle 11219  ℕcn 12212  ↑cexp 14076  Basecbs 17247  0_gc0g 17470  ._gcmg 19111  mulGrpcmgp 20188  1_rcur 20233  NzRingcnzr 20564  Domncdomn 20744  AbsValcabv 20859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-ico 13357  df-fz 13515  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-mulg 19112  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-nzr 20565  df-domn 20747  df-abv 20860

This theorem is referenced by: (None)