Theorem fiabv 42491

Description: In a finite domain (a finite field), the only absolute value is the trivial one (abvtrivg 20856). (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
fiabv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fiabv.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fiabv.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
fiabv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
fiabv.f	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fiabv	⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑇})

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem fiabv

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiabv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2		fiabv.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	abvf 20838	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎:𝐵⟶ℝ)
4	3	ffnd 6748	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 Fn 𝐵)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 Fn 𝐵)
6		fiabv.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
7		fiabv.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		fiabv.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
9	1, 2, 7, 8	abvtrivg 20856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑇 ∈ 𝐴)
10	6, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
11	1, 2	abvf 20838	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇:𝐵⟶ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:𝐵⟶ℝ)
13	12	ffnd 6748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 Fn 𝐵)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑇 Fn 𝐵)
15		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑎‘𝑏) = (𝑎‘ 0 ))
16		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑇‘𝑏) = (𝑇‘ 0 ))
17	15, 16	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝑎‘𝑏) = (𝑇‘𝑏) ↔ (𝑎‘ 0 ) = (𝑇‘ 0 )))
18		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
20	6	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
21		fiabv.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
22	21	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝐵 ∈ Fin)
23		eldifsn 4811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ))
24	23	biimpri 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
25	24	adantll 713	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
26	2, 7, 18, 19, 20, 22, 25	fidomncyc 42490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))
27		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))
28	27	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏)) = (𝑎‘(1r‘𝑅)))
29		domnnzr 20728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
30	6, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
31	30	ad4antr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑅 ∈ NzRing)
32		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑎 ∈ 𝐴)
33		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
34		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑛 ∈ ℕ)
35	34	nnnn0d 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
36	1, 19, 2, 31, 32, 33, 35	abvexp 42487	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏)) = ((𝑎‘𝑏)↑𝑛))
37		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝐴)
38	18, 7	nzrnz 20541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
39	29, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
40	6, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
42	1, 18, 7	abv1z 20847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ) → (𝑎‘(1r‘𝑅)) = 1)
43	37, 41, 42	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎‘(1r‘𝑅)) = 1)
44	43	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘(1r‘𝑅)) = 1)
45	28, 36, 44	3eqtr3d 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → ((𝑎‘𝑏)↑𝑛) = 1)
46	1, 2	abvcl 20839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎‘𝑏) ∈ ℝ)
47	32, 33, 46	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘𝑏) ∈ ℝ)
48	1, 2	abvge0 20840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝑎‘𝑏))
49	32, 33, 48	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 0 ≤ (𝑎‘𝑏))
50	47, 34, 49	expeq1d 42311	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (((𝑎‘𝑏)↑𝑛) = 1 ↔ (𝑎‘𝑏) = 1))
51	45, 50	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘𝑏) = 1)
52	26, 51	rexlimddv 3167	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑎‘𝑏) = 1)
53		eqeq1 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑏 = 0 ))
54	53	ifbid 4571	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑏 = 0 , 0, 1))
55		ifnefalse 4560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ≠ 0 → if(𝑏 = 0 , 0, 1) = 1)
56	55	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → if(𝑏 = 0 , 0, 1) = 1)
57	54, 56	sylan9eqr 2802	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 = 𝑏) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = 1)
58		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑏 ∈ 𝐵)
59		1cnd 11285	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 1 ∈ ℂ)
60	8, 57, 58, 59	fvmptd2 7037	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑇‘𝑏) = 1)
61	60	adantllr 718	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑇‘𝑏) = 1)
62	52, 61	eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑎‘𝑏) = (𝑇‘𝑏))
63	1, 7	abv0 20846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (𝑎‘ 0 ) = 0)
64	63	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎‘ 0 ) = 0)
65	1, 7	abv0 20846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → (𝑇‘ 0 ) = 0)
66	10, 65	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘ 0 ) = 0)
67	66	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑇‘ 0 ) = 0)
68	64, 67	eqtr4d 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎‘ 0 ) = (𝑇‘ 0 ))
69	68	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎‘ 0 ) = (𝑇‘ 0 ))
70	17, 62, 69	pm2.61ne 3033	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎‘𝑏) = (𝑇‘𝑏))
71	5, 14, 70	eqfnfvd 7067	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 = 𝑇)
72	71, 10	eqsnd 4855	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑇})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973  ifcif 4548  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  ↑cexp 14112  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  ._gcmg 19107  mulGrpcmgp 20161  1_rcur 20208  NzRingcnzr 20538  Domncdomn 20714  AbsValcabv 20831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-nzr 20539  df-domn 20717  df-abv 20832

This theorem is referenced by: (None)