Theorem fiabv 43791

Description: In a finite domain (a finite field), the only absolute value is the trivial one (abvtrivg 21117). (Contributed by SN, 3-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
fiabv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fiabv.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fiabv.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
fiabv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
fiabv.f	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fiabv	⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑇})

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem fiabv

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiabv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2		fiabv.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	abvf 21099	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎:𝐵⟶ℝ)
4	3	ffnd 6729	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 Fn 𝐵)
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 Fn 𝐵)
6		fiabv.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
7		fiabv.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		fiabv.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
9	1, 2, 7, 8	abvtrivg 21117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑇 ∈ 𝐴)
10	6, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
11	1, 2	abvf 21099	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇:𝐵⟶ℝ)
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:𝐵⟶ℝ)
13	12	ffnd 6729	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 Fn 𝐵)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑇 Fn 𝐵)
15		fveq2 6905	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑎‘𝑏) = (𝑎‘ 0 ))
16		fveq2 6905	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑇‘𝑏) = (𝑇‘ 0 ))
17	15, 16	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝑎‘𝑏) = (𝑇‘𝑏) ↔ (𝑎‘ 0 ) = (𝑇‘ 0 )))
18		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
20	6	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
21		fiabv.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
22	21	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝐵 ∈ Fin)
23		eldifsn 4748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ))
24	23	biimpri 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
25	24	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
26	2, 7, 18, 19, 20, 22, 25	fidomncyc 43790	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))
27		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))
28	27	fveq2d 6909	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏)) = (𝑎‘(1r‘𝑅)))
29		domnnzr 20985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
30	6, 29	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
31	30	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑅 ∈ NzRing)
32		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑎 ∈ 𝐴)
33		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
34		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑛 ∈ ℕ)
35	34	nnnn0d 12691	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
36	1, 19, 2, 31, 32, 33, 35	abvexp 43787	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏)) = ((𝑎‘𝑏)↑𝑛))
37		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝐴)
38	18, 7	nzrnz 20792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
39	29, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
40	6, 39	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
41	40	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
42	1, 18, 7	abv1z 21108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ) → (𝑎‘(1r‘𝑅)) = 1)
43	37, 41, 42	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎‘(1r‘𝑅)) = 1)
44	43	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘(1r‘𝑅)) = 1)
45	28, 36, 44	3eqtr3d 2806	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → ((𝑎‘𝑏)↑𝑛) = 1)
46	1, 2	abvcl 21100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎‘𝑏) ∈ ℝ)
47	32, 33, 46	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘𝑏) ∈ ℝ)
48	1, 2	abvge0 21101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝑎‘𝑏))
49	32, 33, 48	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → 0 ≤ (𝑎‘𝑏))
50	47, 34, 49	expeq1d 43572	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (((𝑎‘𝑏)↑𝑛) = 1 ↔ (𝑎‘𝑏) = 1))
51	45, 50	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑏) = (1r‘𝑅))) → (𝑎‘𝑏) = 1)
52	26, 51	rexlimddv 3173	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑎‘𝑏) = 1)
53		eqeq1 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑏 = 0 ))
54	53	ifbid 4509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑏 = 0 , 0, 1))
55		ifnefalse 4497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ≠ 0 → if(𝑏 = 0 , 0, 1) = 1)
56	55	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → if(𝑏 = 0 , 0, 1) = 1)
57	54, 56	sylan9eqr 2820	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 = 𝑏) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = 1)
58		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 𝑏 ∈ 𝐵)
59		1cnd 11326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → 1 ∈ ℂ)
60	8, 57, 58, 59	fvmptd2 7022	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑇‘𝑏) = 1)
61	60	adantllr 732	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑇‘𝑏) = 1)
62	52, 61	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ 0 ) → (𝑎‘𝑏) = (𝑇‘𝑏))
63	1, 7	abv0 21107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (𝑎‘ 0 ) = 0)
64	63	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎‘ 0 ) = 0)
65	1, 7	abv0 21107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → (𝑇‘ 0 ) = 0)
66	10, 65	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘ 0 ) = 0)
67	66	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑇‘ 0 ) = 0)
68	64, 67	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎‘ 0 ) = (𝑇‘ 0 ))
69	68	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎‘ 0 ) = (𝑇‘ 0 ))
70	17, 62, 69	pm2.61ne 3044	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎‘𝑏) = (𝑇‘𝑏))
71	5, 14, 70	eqfnfvd 7052	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 = 𝑇)
72	71, 10	eqsnd 4789	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑇})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048  ifcif 4485  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Fn wfn 6550  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Fincfn 8998  ℂcc 11222  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   ≤ cle 11368  ℕcn 12359  ↑cexp 14228  Basecbs 17413  0_gc0g 17636  ._gcmg 19303  mulGrpcmgp 20387  1_rcur 20434  NzRingcnzr 20789  Domncdomn 20971  AbsValcabv 21092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-ico 13506  df-fz 13664  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-nzr 20790  df-domn 20974  df-abv 21093

This theorem is used by: (None)